1.6. Истечение из суживающегося (простого) сопла

Итак, необходимо различать два режима истечения: докритический (дозвуковой), когда w < а, т.е. М < 1, и сверхкритический (сверхзвуковой), когда w > а, т.е. М>1. Обозначим Р₁ - давление на входе в сопло, Р₂ - давление в среде, в которую происходит истечение. Решение задачи на истечение начинается выяснением того, каков в данном частном случае режим истечения:

1. Если заданное отношение давлений (b = Р₂/Р₁) больше критического (b_кр = Р_кр/Р₁), т.е. b > b_кр, то возможен докритический (дозвуковой) режим истечения.

2. Если заданное отношение давлений меньше критического, т.е. b < b_кр, то потенциально возможен сверхкритический (сверх-звуковой) режим истечения. В том случае, когда отношение давлений равно критическому, т.е. b = b_кр, иногда говорят о критическом (звуковом) режиме истечения.

Рис. 1.6. К расчету сужающегося сопла при b>b_кр

Рис. 1.7. К расчету сужающегося сопла при b£b_кр

Таким образом, для различных режимов истечения необходимо иметь значение b_кр. Строго аналитическим путем значение b_кр можно вычислить только для идеального газа, для которого известно уравнение состояния в простой форме Клапейрона.

Примем без доказательства универсальную теорему, дающую определенное представление о механизме возникновения кризиса течения сжимаемой жидкости.

При докритическом истечении, т.е. при b > b_кр, давление Р_а на выходе из суживающегося (простого) сопла равно давлению Р₂ в окружающей среде (рис. 1.6). При потенциально возможном сверх-критическом истечении, т.е. при b < b_кр , давление Р_а на выходе из простого сопла равно критическому давлению, большему, чем Р₂, т.е. Р_а = Р_кр > Р₂, Т_а = Т_кр, u_а = u_кр, w_а = w_кр = а_кр. (рис. 1.7).

По этому поводу О.Рейнольдс заметил: в этом случае поток на выходе из сопла не знает о том, что давление в среде понизилось до Р₂ < Р_кр - информация об этом не может дойти до среза сопла, т.к. скорость ее перемещения внутрь потока равна нулю.

Имея в виду эту теорему, рассмотрим далее два возможных режима истечения из простого сопла. При этом решение справедливо только для идеального газа.

А) Докритическое (дозвуковое) истечение из суживающегося сопла

В этом случае b > b_кр, и задача исследования ставится следующим образом. Найти расход m*, кг/с через сопло, если известны: неизменные во времени параметры рабочего тела на входе в сопло (Р₁, u₁, Т₁), давление в среде Р₂, показатель адиабаты k = const, площадь выходного сечения f_a.

Расход через любой канал ограничивается пропускной способностью его минимального сечения, т.е. площадью этого сечения, и предельно возможными параметрами рабочего тела в нем. Поэтому для решения поставленной задачи следует воспользоваться уравнением сплошности потока, написанным для выходного сечения сопла:

, кг/с.

Пусть истечение идеального газа, начинающееся из состояния покоя (w₁ = 0), развивается изоэнтропно в условиях энергетической изоляции. Тогда скорость истечения будет

, м/с.

Удельный объем идеального газа на выходе из сопла можно найти из условия адиабатности (k = const) процесса

u_a = u₁(P₁/P₂)^1/k , м³/кг.

Присоединяя эти результаты к исходному уравнению сплошности, найдем (заменяя RT₁ = P₁u₁)

и окончательно

, кг/с. (1.23)

В) Истечение из суживающегося сопла в условиях b < b_кр . Предельный расход

Постановка задачи такая же, как в предыдущем пункте. В уравнении (1.23) единственной переменной является отношение давлений b = Р₂/Р₁, т.е.

, кг/с.

Формальный анализ этого уравнения показывает, что m* = 0 как при b = 1, так и при b = 0. Это означает, что в промежутке от b = 1 и до b = 0 рассматриваемая функция m* = m*(b) имеет по меньшей мере одну особенность. Обычное исследование этой функции на экстремум показывает, что она имеет максимум при критическом отношении давлений, т.е. при b_кр, определяемое выражением (1.14).

Кривая, изображающая функцию m* = m*(b) на плоскости b- m* координат показана на рис. 1.8. Левая ветвь этой кривой не имеет физического смысла. При понижении давления в среде от Р₂ = Р_кр до Р₂ = 0 параметры рабочего тела на выходе из простого сопла остаются критическими (согласно теоремы, рассмотренной выше). Поэтому при неизменных параметрах на входе в сопло расход через данное сопло остается неизменным, предельно возможным, а не снижается до нуля, как это следует из формального, а поэтому неприемлемого, анализа функции m* = m*(b).

Рис. 1.8. Зависимость массового расхода сжимаемой жидкости через сопло от отношения b=P₂ / P₁

Предельный (максимальный) расход можно вычислить следующим образом:

, кг/с.

Заменяя здесь u_кр и w_кр их значениями по уравнениям (1.17), (1.18) соотвественно, найдем

и окончательно

, кг/с. (1.24)

Разумеется, к этому результату можно придти, заменяя в уравнении (1.23) отношение давлений b его критическим значением по (1.14).

Таким образом, если остаются неизменными во времени параметры рабочего тела на входе в сопло, а также давление в среде Р₂ то, по-прежнему полагая течение изоэнтропным, можно утверждать, что каким бы ни был режим истечения, изменением геометрии простого сопла нельзя изменить ни одной характеристики рабочего тела в его выходном сечении кроме расхода.

Следовательно, в упомянутых допущениях геометрию простого сопла можно выбирать из конструктивных соображений с учетом заданного расхода.