Лекции-презентации по математической логики / MLLect07
.pdf
Подстановки
Подстановка конечное множество ft1=v1; : : : ; tn=vng,
где каждая vi предметная переменная, каждый ti терм, а запись ti =vi означает, что переменная vi заменяется термом ti , причём ti отличается от vi , а среди v1; : : : ; vn нет одинаковых переменных.
Подстановки будем обозначать строчными греческими буквами a; : : : ; w.
Подстановка, не содержащая элементов, называется пустой и обозначается символом e.
Пример
Следующие множества являются подстановками:
j = ff (z)=x; y=zg; sv= a=x; g(y)=y; f g(b) =z ; e = fg:
21 / 101
Примеры
Пусть j = ft1=v1; : : : ; tn=vng подстановка, E выражение. Выражение Ej называется примером E, если Ej получено из E путём замены одновременно всех вхождений переменных
v1; : : : ; vn на термы t1; : : : ; tn соответственно.
Пример
Пусть j = fa=x; f (b)=y; c=zg, E = P(x; y; z). Тогда Ej = P a; f (b); c .
22 / 101
Примеры
Пусть j = ft1=v1; : : : ; tn=vng подстановка, E выражение. Выражение Ej называется примером E, если Ej получено из E путём замены одновременно всех вхождений переменных
v1; : : : ; vn на термы t1; : : : ; tn соответственно.
Пример
Пусть j = fa=x; f (b)=y; c=zg, E = P(x; y; z). Тогда Ej = P a; f (b); c .
23 / 101
Примеры
Пусть j = ft1=v1; : : : ; tn=vng подстановка, E выражение. Выражение Ej называется примером E, если Ej получено из E путём замены одновременно всех вхождений переменных
v1; : : : ; vn на термы t1; : : : ; tn соответственно.
Пример
Пусть j = fa=x; f (b)=y; c=zg, E = P(x; y; z). Тогда Ej = P a; f (b); c .
24 / 101
Примеры
Пусть j = ft1=v1; : : : ; tn=vng подстановка, E выражение. Выражение Ej называется примером E, если Ej получено из E путём замены одновременно всех вхождений переменных
v1; : : : ; vn на термы t1; : : : ; tn соответственно.
Пример
Пусть j = fa=x; f (b)=y; c=zg, E = P(x; y; z). Тогда Ej = P a; f (b); c .
25 / 101
Примеры
Пусть j = ft1=v1; : : : ; tn=vng подстановка, E выражение. Выражение Ej называется примером E, если Ej получено из E путём замены одновременно всех вхождений переменных
v1; : : : ; vn на термы t1; : : : ; tn соответственно.
Пример
Пусть j = fa=x; f (b)=y; c=zg, E = P(x; y; z). Тогда Ej = P a; f (b); c .
26 / 101
Композиция подстановок
Пусть j = ft1=x1; : : : ; tn=xng и l = fu1=y1; : : : ; u1=ymg две подстановки.
Композицией j и l называют подстановку j l, которая получается из множества
ft1l=x1; : : : tnl=xn; u1=y1; : : : um=ymg
вычёркиванием всех элементов tjl=xj , для которых tjl = xj , а также всех элементов ui =yi , таких, что yi 2 fx1; : : : ; xng. Композиция подстановок ассоциативна:
(j l) m = j (l m):
Пустая подстановка обладает следующим свойством:
e j = j e = j:
27 / 101
Композиция подстановок
Пусть j = ft1=x1; : : : ; tn=xng и l = fu1=y1; : : : ; u1=ymg две подстановки.
Композицией j и l называют подстановку j l, которая получается из множества
ft1l=x1; : : : tnl=xn; u1=y1; : : : um=ymg
вычёркиванием всех элементов tjl=xj , для которых tjl = xj , а также всех элементов ui =yi , таких, что yi 2 fx1; : : : ; xng. Композиция подстановок ассоциативна:
(j l) m = j (l m):
Пустая подстановка обладает следующим свойством:
e j = j e = j:
28 / 101
Композиция подстановок
Пусть j = ft1=x1; : : : ; tn=xng и l = fu1=y1; : : : ; u1=ymg две подстановки.
Композицией j и l называют подстановку j l, которая получается из множества
ft1l=x1; : : : tnl=xn; u1=y1; : : : um=ymg
вычёркиванием всех элементов tjl=xj , для которых tjl = xj , а также всех элементов ui =yi , таких, что yi 2 fx1; : : : ; xng. Композиция подстановок ассоциативна:
(j l) m = j (l m):
Пустая подстановка обладает следующим свойством:
e j = j e = j:
29 / 101
Композиция подстановок
Пусть j = ft1=x1; : : : ; tn=xng и l = fu1=y1; : : : ; u1=ymg две подстановки.
Композицией j и l называют подстановку j l, которая получается из множества
ft1l=x1; : : : tnl=xn; u1=y1; : : : um=ymg
вычёркиванием всех элементов tjl=xj , для которых tjl = xj , а также всех элементов ui =yi , таких, что yi 2 fx1; : : : ; xng. Композиция подстановок ассоциативна:
(j l) m = j (l m):
Пустая подстановка обладает следующим свойством:
e j = j e = j:
30 / 101