Лекции-презентации по математической логики / MLLect09

Математическая логика и теория алгоритмов Лекция 9

Формальные теории

Куценко Дмитрий Александрович

Белгородский государственный технологический университет имени В. Г. Шухова

Институт информационных технологий и управляющих систем

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем

1 ноября 2010 г.

1 / 16

Эффективные процедуры

Пусть заданы элементы некоторого множества M, часть из которых может обладать некоторым свойством U.

Будем считать, что задана эффективная процедура, если:

1есть предписание, определяющее последовательность преобразований, которые надо применять одно за другим к элементу из M;

2если элемент x из M задан, предписание однозначно определяет такую последовательность преобразований, которая за конечное число шагов позволяет выяснить, обладает x свойством U или нет.

Иными словами, если задана эффективная процедура, то для любого элемента из M за конечное число шагов выясняем, обладает заданный элемент свойством U или нет.

2 / 16

Пример эффективной процедуры

Пусть M = f0; 1; 2; 3; : : :g.

Пусть U(x) ¾Число x квадрат какого-либо числа из M¿.

Эффективной процедурой для выяснения, обладает ли элемент x из M свойством U, может быть следующая:

Берём последовательно a = 1; : : : ; (x 1) и проверяем, выполняется равенство a2 = x или нет.

Очевидно, что таким образом мы всегда сможем выяснить для любого x за конечное число шагов, обладает ли x свойством U.

3 / 16

Полуэффективные процедуры

В отличие от эффективной процедуры полуэффективной процедурой считается некоторая процедура, которая не всегда позволяет для произвольного элемента x из M за конечное число шагов выяснить, обладает x свойством U или нет.

Точнее будем считать, что полуэффективная процедура задана, если выполняется вышеуказанное условие 1, а вместо условия 2 используется следующее:

2если элемент x из M задан, предписание однозначно определяет такую последовательность преобразований, что если x обладает свойством U, то это можно выяснить за конечное число шагов; если же x не обладает

свойством U, то, возможно, это нельзя выяснить за конечное число шагов.

4 / 16

Пример полуэффективной процедуры

Пусть M множество положительных рациональных чисел. Пусть V (x) ¾px положительное рациональное число¿.

Полуэффективной процедурой для выяснения, обладает ли элемент x из M свойством V , может быть следующая:

Берём последовательно a = 1; 2; 3; : : :, затем последовательно берём b = 1; : : : ; a и проверяем, выполняется или нет хотя бы одно из равенств

за конечное число шагов (при a = 37, b = 21), а для x = 12 нет.

5 / 16

Дедукция и индукция

Дедукция форма мышления, когда заключение выводится по правилам логики из некоторых данных посылок.

Пример дедуктивного рассуждения

Все люди смертны. Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен.

Индукция форма мышления, посредством которой от некоторых фактов или истинных высказываний переходят к некоторой гипотезе (общему утверждению).

Пример индуктивного рассуждения 1

График функции y = 2x + 3 прямая, график функции

y= 3x + 1 прямая, следовательно, график функции вида

y= kx + b прямая.

Полученная здесь гипотеза оказывается истинной.

6 / 16

Дедукция и индукция (продолжение)

Пример индуктивного рассуждения 2

Рассмотрим предположение Ферма, что числа p = 22n + 1 являются простыми для всех n = 0; 1; 2; 3; : : :

При n = 1; 2; 3; 4 Ферма получил соответственно простые числа p = 3; 5; 17; 257; 65 537.

Но Эйлер показал, что при n = 5 получается число p = 4 294 967 297, которое делится на 641.

Заметим, что заключение, полученное дедуктивным способом, уже не нуждается в доказательстве, а заключение, полученное индуктивным способом, требует доказательства его истинности.

7 / 16

Формальные теории

Формальная теория результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причём все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других. Формальная теория считается определённой, если:

1Задано конечное или счётное множество произвольных символов, называемое алфавитом теории.

Конечные последовательности символов называются выражениями теории.

2Имеется подмножество выражений, называемых формулами.

3 Выделено подмножество формул, называемых аксиомами.

4Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода.

8 / 16

Формальные теории (продолжение)

Обычно имеется эффективная процедура, позволяющая по данному выражению определить, является ли оно формулой.

Часто множество формул задаётся индуктивным определением. Как правило, это множество бесконечно.

Множество символов и множество формул в совокупности определяют язык формальной теории.

Чаще всего имеется возможность эффективно выяснять, является ли данная формула аксиомой; в таком случае теория называется аксиоматической.

Множество аксиом может быть конечным или бесконечным.

Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом.

9 / 16

Формальные теории (окончание)

Обычно аксиомы делятся на два вида:

1логические аксиомы общие для целого класса формальных теорий;

2нелогические или собственные аксиомы определяют специфику и содержание конкретной теории.

Для каждого правила вывода R и для каждой формулы A эффективно решается вопрос о том, находится ли выбранный набор формул B1; : : : ; Bn в отношении R с формулой A, и если да, то A называется непосредственным следствием данных формул по правилу R:

B1; : : : ; Bn (R):

A

10 / 16