Математическая логика и теория алгоритмов Лекция 3. Релейно-контактные схемы, двойственность, логическое следствие

Куценко Дмитрий Александрович

Белгородский государственный технологический университет имени В. Г. Шухова

Институт информационных технологий и управляющих систем

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем

20 сентября 2010 г.

1 / 20

Алгоритм получения СДНФ с использованием эквивалентных преобразований

1 Для формулы A получить любую ДНФ.

2Если в ДНФ есть конъюнкт C, не содержащий переменную Xi , то необходимо её добавить, используя правила расщепления:

C (C & Xi ) _ (C & Xi ).

3Если в ДНФ встречаются равные конъюнкты, то повторяющиеся нужно отбросить.

4Если в ДНФ в некотором конъюнкте литерал Xi встречается несколько раз, то повторяющиеся нужно отбросить.

Если в ДНФ в некотором конъюнкте литерал Xi встречается несколько раз, то повторяющиеся нужно отбросить.

5Если в ДНФ некоторый конъюнкт содержит конъюнкцию Xi & Xi , то данный конъюнкт нужно отбросить.

2 / 20

Алгоритм получения СКНФ с использованием эквивалентных преобразований

1 Для формулы A получить любую КНФ.

2Если в КНФ есть дизъюнкт D, не содержащий переменную Xi , то необходимо её добавить, используя правила расщепления:

D (D _ Xi ) & (D _ Xi ).

3Если в КНФ встречаются равные дизъюнкты, то повторяющиеся нужно отбросить.

4Если в КНФ в некотором дизъюнкте литерал Xi встречается несколько раз, то повторяющиеся нужно отбросить.

Если в КНФ в некотором дизъюнкте литерал Xi встречается несколько раз, то повторяющиеся нужно отбросить.

5Если в КНФ некоторый дизъюнкт содержит дизъюнкцию Xi _ Xi , то данный дизъюнкт нужно отбросить.

3 / 20

Пример получения СКНФ

Получить СКНФ формулы (A _ C) & (B _ C).

Решение

(A _ C) & (B _ C) (A _ C _ B) & (A _ C _ B) & (B _ C)

(A _ C _ B) & (A _ C _ B) & (B _ C _ A) & (B _ C _ A)

(A _ B _ C) & (A _ B _ C) & (A _ B _ C):

Ответ: (A _ B _ C) & (A _ B _ C) & (A _ B _ C).

4 / 20

Двойственные функции

Функция алгебры логики f называется двойственной для функции f , если таблицу истинности для f можно получить из таблицы для f , заменив в ней всюду 1 на 0 и 0 на 1,

т. е. функция f (X1; : : : ; Xn), двойственная к функции f (X1; : : : ; Xn), удовлетворяет равенству

f (X1; : : : ; Xn) = f (X1; : : : ; Xn):

Например, конъюнкция и дизъюнкция двойственны друг другу:

5 / 20

Самодвойственные функции

Функция, совпадающая со своей двойственной, называется самодвойственной.

Самодвойственная функция на противоположных наборах

sv; : : : ; sv и sv; : : : ; sv принимает противоположные значения.

1 n 1 n

Примером самодвойственной функции является отрицание:

6 / 20

Двойственные формулы

Если в формуле A заменить знаки всех логических функций на знаки двойственных функций, то получится

двойственная формула A , реализующая функцию, двойственную той, которая реализуется формулой A.

Если некоторая формула алгебры логики содержит только операции &; _; (не содержит операций ! и $), то получить двойственную к ней можно заменой &; _; 1; 0 соответственно на _; &; 0; 1.

Пример

A = (X & Z) _ (X _ Z) & Y ;

A = (X _ Z) & (X & Z) _ Y :

7 / 20

Принцип двойственности

Принцип двойственности:

Если верно A B, то верно и A B .

Равенство A B называется двойственным равенству A B.

Другими словами, если две формулы равносильны, то двойственные им формулы тоже равносильны.

Каждая КНФ имеет двойственную ей ДНФ.

8 / 20

Примеры двойственных равенств

9 / 20

Электрическое реле

10 / 20