Соединение треугольником

№	U	U12	U31	U23	UC	UK	I	IC	IK	∑P
1.
2.
3.

4. По данным табл. 5.1 рассчитать Z₁₂, Z₂₃, Z₃₁, Z_C, Z_K и сравнить с заданными или предварительно рассчитанными.

5. Пользуясь формулами (4.11) рассчитать сопротивление экви­валентной звезды, установить на реостатах эти значения и собрать схему рис. 5.2.б. После проверки схемы преподавателем, включить напряжение и запол­нить табл. 5.2.

Таблица5.2

Соединение звездой

№

U

U10

U03

U02

UC

UK

I

IC

IK

U12

U31

U23

∑P

1.

2.

3.

По результатам измерений пользуясь значениями Ů₁₀, Ů₀₃, Ů₀₂ рассчитать напряжения Ů₁₂, Ů₂₃, Ů₃₁ и сравнить с полученными в опыте. Рассчитать сопротивления Z₁, Z₂, Z₃ и сравнить с полученными теоретически.

6. Сравнивая данные табл. 5.1 и 5.2 сделать выводы и привести их в отчете.

Контрольные вопросы

1. Пользуясь формулами (4.10) получить сопротивления эквивалент­ной звезды Z₁, Z₂, Z₃, если известны сопротивления треугольника Z₁₂, Z₂₃, Z₃₁.

2. Записать формулу для эквивалентного сопротивления всей цепи, представленной на рис. 5.2.а.

3. Объясните во всех ли случаях возможно преобразование треу­гольника в эквивалентную звезду.

Лабораторная работа № 6 Цепь переменного синусоидального тока с последовательным соединением катушки и конденсатора. Резонанс напряжений

Цель работы: изучить явления, происходящие в неразветвленных цепях переменного синусоидального тока при изменении соотношений величин индуктивности и емкости; ознакомиться с явлением резонанса напряжений.

Основные понятия

Рассмотрим процессы в цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора (рис. 6.1)

Рис. 6.1. Схема цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора

Реальная катушка обладает индуктивным сопротивлением Х_L=ωL и активным сопротивлением r=ρ, где ω – угловая частота переменного тока, L – индуктивность катушки, ρ – удельное электрическое сопротивление провода катушки, – длина провода, S – площадь поперечного сечения провода. При прохождении тока через катушку, электрическая энергия расходуется на нагревание провода катушки. Скорость преобразования электрической энергии в тепловую учитывается с помощью величины, называемой активной мощностью

P=ri².

Измерив ток и активную мощность катушки можно вычислить активное сопротивление катушки

r=P/I².

Его можно определить также, пропуская через катушку постоянный ток.

В цепи постоянного тока катушка обладает только активным сопротивлением, так как угловая частота ω=2πf=0 и Х_L=ωL=0.

Поэтому r=U/I , где U – постоянное напряжение, приложенное к катушке, а I – сила постоянного тока, протекающего через ка­тушку.

Эквивалентная схема замещения катушки может быть представле­на в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного идеальных элементов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Эквивалентная схема замещения катушки

Напряжение на катушке U_k можно разложить на две составляющие – активную U_ak и индуктивную U_L. Векторная диаграмма напряжений и тока для катушки приведена на (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Векторная диаграмма напряжений и тока для катушки

Напряжение U_k можно измерить на выводах катушки с помощью вольтметра, ток I – помощью амперметра. Угол сдвига фаз между током и напряжением катушки φ_к можно определить из формулы P_k= U_kIcosφ_к, если измерить с помощью ваттметра активную мощность катушки P_k. Составляющие напряжения U_k , U_L и U_ak можно вычислить из треугольника напряжений ОАВ (рис. 6.3): U_ak = U_kcosφ_к или определить графически, опустив перпендикуляр из конца вектора U_k (точка А на рис. 6.3) на линию вектора тока I.

Конденсатор в цепи переменного тока обладает емкостным сопро­тивлением X_c = , где С - емкость конденсатора. Следует указать, что в конденсаторе также имеются активные потери энергии в диэлектрике. Однако величина этих потерь настолько мала, что ими мож­но пренебречь. На схеме замещения конденсатор можно представить в виде идеального емкостного элемента с параметром С, равным емкости конденсатора.

Последовательное соединение катушки и конденсатора изображе­но в виде схемы замещения на (рис. 6.4).

Рис. 5.4. Схема замещения цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора

При подключении такой цепи под напряжение U в ней возникает ток I. Вектор активной составляющей напряжений на катушке Ů_ak будет совпадать по направлению с вектором тока İ (рис. 6.5), так как соответствующие синусоиды мгновенных значений совпадают по фазе:

I = I_msinωt и u=ir=I_mrsinωt (6.1)

Рис. 6.5. Вектор активной составляющей напряжения на катушке

Вектор индуктивного напряжения U_L= İ Х_L опережает по фазе вектор тока İ на 90° (рис. 6.6), так как синусоида напряжения U_L индук­тивности опережает по фазе синусоиду тока İ на 90°.

U_L= L=I_m ωtsin(ωt+90^o) (6.2)

Рис. 6.6. Вектор индуктивной составляющей напряжения на катушке

Вектор емкостного напряжения U_с= İ Х_с отстает по фазе от век­тора тока İ на 90° (рис. 6.7), так как синусоида напряжения на ем­кости при нулевых начальных условиях отстает от синусоиды тока i на 90°

U_c= sin(ωt+90^o) (6.3)

Рис. 5.7. Вектор емкостного напряжения

Для рассматриваемой цепи уравнение по второму закону Кирхгофа имеет следующий вид:

Ů= Ů₀ + Ů_L + Ů_c , (6.4)

где Ů₀=IR ; Ů_L= İ Х_L ; Ů_c= İ Х_c.

Согласно уравнению (6.4) и рис. 5.5 – 5.7, векторная диаграм­ма напряжений цепи (рис. 6.4) будет иметь вид, показанный на рис. 6.8, где вектор Ů_а совпадает по фазе с вектором İ а вектор Ů_L опережает по фазе на 90° вектор тока İ. Сумма векторов Ů_а и Ů_L дает вектор напряжения катушки:

Ů_k= Ů_ak+ Ů_L,

опережающий по фазе ток на угол φ_к.

Вектор Ů_с отстает по фазе на 90° от вектора тока İ. Сумма векторов Ů_L , Ů_а и Ů_с дает вектор напряжения сети Ů, опережающий ток по фазе на угол φ_к.

Разделив и умножив стороны треугольника (рис. 6.8) на вели­чину İ получим подобные треугольники сопротивлений и мощностей (рис. 6.9 –6.10).

Рис. 6.8. Векторная диаграмма напряжений цепи

Рис. 6.9. Треугольник сопротивлений

Рис. 6.10. Треугольник мощностей

Из треугольника сопротивлений (рис. 6.9) найдем полное сопротивление Z и cosφ цепи:

(6.5)

(6.6)

Из векторной диаграммы напряжений (рис. 6.8) получим формулу тока I, которая является выражением закона Ома для последовательной цепи переменного тока:

(6.7)

Из диаграммы мощностей получим соотношение между полной S, активной P и реактивными Q_c и Q_L мощностями:

(6.8)

Изменяя величину емкости или индуктивности в цепи, можно изменять соотношение между емкостными и индуктивными сопротивления­ми и напряжениями

U_c= и U_L=I

и получать различные значения угла сдвига фаз φ между вектором тока İ и вектора напряжения сети Ů согласно уравнению (5.6). Если величина имеем: и U_L >U_c в цепи преобладает индуктивное сопротивление X_L и напряжение U_L, поэтому вектор тока İ отстает по фазе от вектора напряжения сети Ů на угол φ (см. рис. 5.8).

Если наоборот, преобладает емкостное сопротивлениеX_c и напряжение U_c, поэтому вектор тока İ опережает по фазе вектор напряжения сети (см. рис. 6.11).

Рис. 6.11. Векторная диаграмма напряжений цепи припреобладании емкостного сопротивления

При величине индуктивности

L_рез = (6.9)

индуктивное сопротивление будет равно емкостному:

, (6.10)

а следовательно, будут равны между собою индуктивное и емкостное

напряжения (рис. 6.12).

IX_L = IX_c ; U_L=U_C (6.11)

Рис. 6.12. Векторная диаграмма напряжений при резонансе

Мы получим резонанс напряжений, т.е. полную взаимную компенсацию индуктивного и емкостного напряжений: Ů_L + Ů_c = 0. При резонансе напряжений угол сдвига фаз φ=0 , следовательно: cosφ =0 (рис. 6.12). Вектор напряжения Ů= Ů_ак (рис. 6.12).

Полное сопротивление цепи при резонансе Z_рез принимает минималь­ное значение Z_рез=r , так как X_L – X_C = 0, следовательно, ток при резонансе I_рез и активная мощность принимают максимальные значения:

I_рез =

P=I²_резr=UI_рез (6.13)

Реактивная мощность равна нулю:

Q=I(U_L-U_C)=0 ; Q_L-Q_C=0 (6.14)

Индуктивное U_L и емкостное U_c напряжения в раз больше напряжения сетиU:

U_L=U_C= I= X_L=X_C.

Поэтому резонанс напряжений может оказаться опасным для установки. При испытании таких цепей требуется особая осторожность. Явление резонанса напряжений, т.е. взаимной компенсации реактивных напряжений (U_L-U_C=0), а, последовательно, и реактивных мощностей (Q_L-Q_C=0) объясняется тем, что мгновенные значения напряжений на индуктивности U_L и на емкости U_c в любой момент времени равны и имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что если, например индуктивность берет энергию из сети для создания магнитного поля, то в этот момент конденсатор разряжаясь, отдает энергию в сеть.

Происходит взаимная компенсация энергии потребляемой ими из сети.

Таким образом, при резонансе полная энергия, потребляемая из сети, расходуется только на нагревание резистивного элемента цепи.

Кривые зависимостей полного сопротивления Z цепи от величины емкости С показаны на рис. 6.13. При С_р = величина Z минимальна и равна Z_рез=r.

Рис. 6.13. Зависимости Z, I и cosφ от величины емкости С

На рис. 6.13 показана также кривая зависимости тока I и cosφ от величины емкости С. При С = С_рез ток I имеет максимальное значение I_рез = , при всех других значениях емкости I= .

Из выражения (6.10) видно, что резонанс напряжений в цепи может быть получен изменением индуктивности L или емкости С при неизменной частоте сети f или изменением частоты сети при задан­ных постоянных L и С.