Малышев Вычислительная математика EQ3

11

В данном примере отсутствует информация о значении четвертой производной исходной функции, поэтому оценить погрешность не представляется возможным.

Пример 2 [3].

Дана функция y = x . Найти погрешность интерполяции функции при х = 115. Запишем:

Имеем всего три узла интерполяции, n = 2. Оценим максимальное значение третьей производной для оценки погрешности

y′ = x−1 2 / 2; y′′ = −x−32 / 4; y′′′ = 3x−52 / 8 ;

M 3 = max y′′′ = 3(100)−52 / 8 .

Погрешность при интерполяции по трем узлам будет:

R ≤ 3(100)−52 / 8 (115 −100)(115 −121)(115 −144) /(1 2 3) ≈ 1, 6 10−3 .

Ошибка получилась достаточно малой, а само значение у(115) можно найти самостоятельно и проверить его по таблицам или на калькуляторе.

2.2. ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Часто исходные данные представляются в виде таблиц. Это связано с тем, что они получены экспериментально. Сущность интерполяции состоит в отыскании значения функции в некоторой промежуточной точке по отношению к табличным данным.

Простейший вид интерполяции является линейная интерполяция [2]. Этот простейший метод приближения функций приведён на рис. 2.1. Он широко применяется на практике. В частности, различные таблицы составляются так, чтобы промежуточные значения функции с принятой точностью можно было вычислить с помощью линейной интерполяции.

13

Подставив эти выражения в R1(x), получаем интегральное представление остаточного члена интерполяции:

x xk +1

R1 (x) = (1 − u) ∫ (ζ − xk )f ′′(ζ)dζ + u ∫ (xk +1 − ζ)f ′′(ζ)d ζ.

xk x

Вкаждом из интегралов сделаем замену переменной интегрирования

ζ= xk + hτ, 0 ≤ τ ≤ 1. Тогда:

Из последнего неравенства выводится оценка максимальной погрешности. Для этого достаточно подсчитать максимум функции (1 – u)u. Он достигается в середине отрезка при u = 0,5 и равен 0,25. Окончательно:

|| R1 (x)||[ xk , xk +1 ] ≤ 0,125 h2 ||f ′′(x)||[ xk , xk +1 ]

14

2.3. ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ, БЛИЗКИЕ К НАИЛУЧШИМ РАВНОМЕРНЫМ

Наряду с интерполяцией по линейной формуле, на отрезке [x0, x1] рассмотрим аппроксимацию (рис. 2.2) [2]:

u = (x − xk )/h, 0 ≤ u ≤ 1, h = xk +1 − xk .

f(x)

P1(x)

f(x)

0 x0 x1 x

Рис. 2.2. Приближение многочленом 1-ой степени

Её погрешность для функции f(x) C(3)[a, b] даётся формулой: || R1 (x)||[ x0 , x1 ] ≤ h2 /16[||f ′′(x)||[ x0 , x1 ] + ch||f ′′′(x)||[ x0 , x1 ] ].

Причем значение второго слагаемого стремится к 0 при h → 0.

Из этого видно, что коэффициент при f ′′( x)[x0 , x1 ] вдвое меньше, чем

при интерполяции. Эта аппроксимация для многочленов второго порядка (f ″′(x) = 0) является наилучшим равномерным (чебышевским) приближением.

Для других функций она даёт приближение, качественно похожее на чебышевское. Второй член правой части при h → 0 есть малая более высокого порядка по сравнению с первым членом. В этом смысле построенное приближение можно назвать асимптотически наилучшим равномерным приближением.

2.4. ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Наряду с линейной интерполяцией интерполяции кривыми более высокого порядка – это часто используемые методы приближения функций [2]. Характеристики методов приведены в табл. 2.1.

* – интерполируемая функция из более высокого класса гладкости, f(x) C(3)[x0, x2].

Представим интерполяционный многочлен Лагранжа

Ln(x) = f0Ф0(x) + ... + fnФn(x)

через разделенные разности:

– разделенная разность порядка 0 равна значению функции в точке

f(x0);

– разделенная разность порядка k:

f [x0, …, xk] = (f [x1, …, xk] – f [x0, …, xk – 1])/(xk – x0).

Если f (k)(x) – непрерывная, то f (x0, …, xk) = f (k)(ζ)/k!, ζ – точка на отрезке [x0, xk].

16

Тогда Ln(x) = f0 + (x – x0) f [x0, x1] +…+ (x – x0)…(x – xn – 1) f [x0,…, xn].

Интерполяционный многочлен вида P2(x) = ax2 + bx + c возьмём в форме:

L2(x) = f0 + (x – x0) f [x0, x1] + (x – x0)(x – x1)f [x0, x1, x2].

Точность приближения функции f(x) так же, как и ранее, зависит от того, к какому классу она принадлежит, и от расстояния между узлами. Обозначим h0 = x1 – x0, h1 = x2 – x1, H = max (h0, h1). Остаточный член интер-

поляции R2(x) = L2(x) – f(x) [2, 3]. Тогда, если f(x) C(2)[x0, x2], то

R2 ( x)[x0 , x2 ] ≤ 0,1546H 2 f ′′( x)[x0 , x2 ].

Сравнивая эту оценку с оценкой линейной интерполяции, видно, что при h0 = h1 = h они практически совпадают, незначительно различаясь коэффициентами.

Если интерполируемая функция из более высокого класса гладкости,

Как видно из последнего неравенства (см. табл. 2.1), здесь порядок приближения относительно H, на единицу выше, и при малых H точность повышается. Однако дальнейшее повышение класса гладкости уже не приводит к увеличению порядка приближения относительно H или уменьшению коэффициента. Происходит насыщение интерполяционного процесса. Для многочленов первой степени этому соответствует класс C(2), второй степени – C(3), третьей – C(4).

2.5. КУБИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Интерполяционный многочлен вида P3(x) = ax3 + bx2 + cx + d возьмём в форме многочлена Лагранжа:

L3(x) = f0 + (x – x0) f [x0, x1] + (x – x0)(x – x1) f [x0, x1, x2] + + (x – x0)(x – x1)(x – x2) f [x0, x1, x2, x3].

Эта формула даёт примерно такую же точность приближения, что и формула параболической интерполяции для функций из классов C(2)[x0, x3] и C(3)[x0, x3]. Наивысший порядок H4 достигается, если f C(4)[x0, x3]. Так как многочлен L3 симметричен относительно индексов 0, 1 и 2, 3, то оценки погрешности будут одинаковыми для промежутков [x0, x1] и [x2, x3]:

17

||L3(x) – f(x)|| [xk , xk +1 ] ≤ K0k H4|| f IV(x)|| [x0 , xk ] ,

где K00 = K02 = 1/24; K01≤ 3/128; H = max(h0, h1, h2). Как видно, K01 < K00 = = K02. Это означает, что точность приближения на среднем звене отрезка [x0, x3] выше, чем на крайних звеньях.

Эрмитова кубическая интерполяция представлена графически на рис. 2.3 и в табл. 2.1.

f(x)

f(x)

3(x)

0 x0 x1 x

Рис. 2.3. Эрмитова кубическая интерполяция

Вывод оценок погрешности эрмитовой интерполяции принципиально не отличается от предыдущих случаев. Дополнение состоит лишь в том, что по формуле Тейлора в узлах приходится представлять не только значения функции f0, f1 , но и значения её производной f0', f1', которые входят в выражение интерполяционного многочлена 3(x). При этом, естественно, число членов в представлениях значений производной на единицу меньше.

Для интерполируемой функции f(x) C(2)[x0, x1] оценки

||R3(p)(x)||[x0 , x1 ] ≤ Kph2 – p||f ″(x)||[x0 , x1 ] ,

p = 0, 1 – порядок производной: при р = 0 получаем погрешность функции, при р = 1 – погрешность производной, где K0 = 1/16, K1 = 0,2515.

Вторая производная многочлена 3(x) не аппроксимирует вторую производную функции f(x). Можно только показать, что

|| 3″(x)||[x0 , x1 ] ≤ 5/3 ||f ″(x)||[x0 , x1 ] .

Если функция f(x) C(4)[x0, x1], то аппроксимируются и вторые производные. Оценки имеют вид:

||R3(p)(x)||[x0 , x1 ] ≤ Kph4 – p||f IV(x)||[x0 , x1 ] , p = 0, 1, 2,

где K0 = 1/384, K1 = 3/ 216 ; K2 = 1/12.

18

Привлекают внимание очень малые значения K0 и K1. Сравнивая оценку из табл. 2.1 для эрмитовой кубической интерполяции при p = 0 с оценкой кубической интерполяции, видим, что здесь коэффициент K0 меньше K01 в 9 раз.

Используя большое число соседних точек и аппроксимируя истинную кривую более сложной линией, можно уточнить полученный результат.

Существуют методы нахождения единственного многочлена n-ой степени Pn(x), аппроксимирующего функцию f(x) кривой, проходящей через все n + 1 заданные в таблице точки (xi, yi), где i = 0, 1, ... , n. Многочлен удовлетворяет условиям: Pn(xi) = yi при i = 0, 1, ... ,n.

Методы отыскания такого многочлена делятся на три группы [2]: методы Лагранжа, разностные методы и итерационные методы.

2.6. МЕТОД РАЗДЕЛЁННЫХ РАЗНОСТЕЙ

Существует множество разностных методов интерполяции, однако наиболее распространён метод Ньютона для интерполирования вперёд, известный также как метод Ньютона-Грегори. Интерполяционный многочлен для этого имеет вид [1]:

Pn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0)(x – x1) + ... + cn(x – x0)(x – x1) ... (x – xn – 1).

Коэффициенты сj находят из уравнений Pn(x) = yi при i = 0, 1, ... , n, позволяющих записать систему:

Pn(x = x0) = c0 + c10 + c20(x0 – x1) + ... +cn0(x0 – x1) ... (x0 – xn – 1);

Pn(x = x1) = c0 + c1(x1 – x0) + c2(x1 – x0)0 + ... +cn(x1 – x0)0... (x1 – xn – 1);

.. .

Pn(x = xn) = c0 + c1(xn – x0) + c2(xn – x0)(xn – x1) + ... + + cn(xn – x0)(xn – x1) ... (xn – xn – 1).

Отсюда:

c0 = y0, x = x0;

c0 + c1 (x1 – x0) = y1, x = x1, (x1 – x0) = h;

c0 + c1 (x2 – x0) + c2 (x2 – x0)(x2 – x1) = y2, x = x2, (x2 – x1) = h, (x2 – x0) = 2h;

.. .

c0 + ... +cn (xn – x0) (xn – x1) ... (xn – xn-1) = yn, x = xn, xn – x0 = nh, xn – x1 = (n – 1)h,…, xn – xn – 1 = h.

Эта линейная система уравнений с треугольной матрицей, и определение с её помощью значений cj не вызывает затруднений. Однако сущест-

19

вует ещё более простой способ определения cj, основанный на применении правых конечных разностей. Если значения x заданы через равные промежутки xi + 1 – xi = h, то в общем случае xi = x0 + ih, где i = 1, 2, ... , n. Последнее выражение позволяет привести решаемые уравнения к виду:

y0 = c0;

y1 = c0 + c1h;

y2 = c0 + c12h + 2h2c2;

.. .

yi = c0 + c1ih + c2ih[(i – 1)h] + ... +ci (i!)hi,

откуда для коэффициентов получаем:

c0 = y0;

c1 = (y1 – c0)/h = (y1 – y0)/h = y0/h .

y0 называется первой правой разностью. Продолжая вычисления, находим:

c2 = (y2 – c0 – c12h)/2h2 = [(y2 – y1) – (y1 – y0)]/2h2 = [ ( y0)]/2h2= 2y0/2h2,

где 2y0 – вторая правая разность, представляющая собой разность разностей. Коэффициент cj можно представить в виде:

cj = jy0/(j!)h j.

В общем случае разности более высоких порядков для функции y = f(x) в интервале x0 ≤ x ≤ xn определяются выражением:

jyi = j – 1yi + 1 – j – 1yi,

где i = 0, 1, ... , n – j. Часто их сводят в таблицы, где разности порядка n выражены через разности порядка n – 1 (табл. 2.2).

R(x) = |f(x) – Ln(x)| ≤ Mn + 1 hn + 1/(n + 1)! q(q – 1)(q – 2) … (q – n);

20

Таблица 2.2

Правые разности

q = (x – x0)/h (h = 0,1, что видно из исходных данных) будет равно q = 0,5. Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона для безразмерной переменной q, для чего предварительно составим таблицу конечных разностей (табл. 2.3).