matstatistika_1_2_3_RGR

2 этап. Нахождение оценок параметров по МНК. Формируем вспомогательную таблицу (рис. 2.15). Затем очень аккуратно находим значения оценок параметров a и b по формулам (2.1) и (2.2). Не забудьте после вычислений сверить их значения с теми, что получились в уравнении на диаграмме, так как MS Excel для расчетов также использует метод наименьших квадратов (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Расчет коэффициентов регрессии

Рис. 2.17. Расчет всех значений, необходимых для анализа полученной модели

62

Далее вычисляем значения остатков, остаточной суммы квадратов, дисперсии коэффициентов регрессии, ковариацию, несмещенной оценки дисперсии ошибок наблюдений (формулы (2.3)–(2.5)) (рис. 2.17). Также можно сразу вычислить для дисперсионного анализа в регрессии сумму квадратов SSR и

SSобщ (2.10) и (2.11).

3 этап. Оценивание коэффициентов регрессии с использованием доверительных интервалов и критерия Стьюдента.

А) Оценка значимости коэффициентов регрессии с использованием доверительных интервалов.

Расчет доверительных интервалов проводим по формулам (2.6). Для этого нам нужно будет найти значение квантиля распределения Стьюдента tγ при

γ = 0,95 , как в теме 2. Все расчеты в MS Excel представлены на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Нахождение доверительных интервалов

Б) Критерий Стьюдента.

Находим для проверки гипотез H0a и H0b наблюдаемые значения статистики критерия Стьюдента по формулам (2.7) и (2.8) (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Вычисление наблюдаемого значения критерия Стьюдента

4 этап. Верификация модели.

А) Дисперсионный анализ в регрессии. Так как суммы квадратов мы уже рассчитали, остается только составить таблицу критерия Фишера, найти значе-

ние коэффициента детерминации R2 (2.12), наблюдаемого значения критерия Фишера F0 (2.13) и критического значения критерия Фишера Fкрит , аналогично

теме 4, (рис. 2.20).

63

Б) Элементы теории корреляции. Находим значение коэффициента корреляции по формуле (2.14). Сразу делаем проверку (rB )2 = R2 . Затем проверяем

гипотезу о незначимости полученного коэффициента корреляции по формуле (2.15). Все расчеты представлены на рис. 2.21.

Рис. 2.20. Дисперсионный анализ в регрессии

2.21. Вычисление коэффициента корреляции и проверка его значимости

64

Рис. 2.22. Вычисление коэффициента эластичности и прогноза

5этап. Интерпретация коэффициентов регрессии. На данном этапе из расчетной части нужно вычислить коэффициент эластичности по формуле (2.16) и сделать вывод (рис. 2.22).

6этап. Построение прогноза. Пусть в заданном примере доходы населения увеличатся на 12% в случае оптимистического прогноза и уменьшатся на 12% –

впессимистическом случае. Точечные прогнозные значения переменных находим по формулам (2.17) и (2.18), интервальные – (2.19) и (2.20). Все расчеты представлены на рис. 2.22.

Проверка всех результатов расчетов проводится с использованием пакета анализа: меню Сервис – Анализ данныз – регрессия (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Использование меню Анализа данных в MS Excel.

Результаты расчетов, проведенных с помощью Пакета анализа, представлены на рис. 2.24. Множественный R – это значение коэффициента корреляции, R-квадрат – коэффициент детерминации. В таблице Дисперсионный анализ F – это значение Fнабл . Если Значимость F меньше значения 0,05, то гипотеза об от-

сутствии линейной связи отклоняется. В следующей таблице в столбце Коэф-

~

фициенты и строке Y-пересечение – это значение a~ , в строке xi – это b . В

столбце P-значение стоит число меньшее, чем 0,05, то соответствующий коэффициент регрессии спастически значим с вероятностью 0,95. Нижние и верхние 95% – это границы доверительных интервалов при γ = 0,95. В последней таблице Вывод остатка даны теоретические или предсказанные значение зависимой переменной, рассчитанные по построенной модели

65

3 этап. Оценка значимости коэффициентов регрессии при γ = 0,95 с помо-

щью:

а) доверительных интервалов истинных значений параметров

25891,81− 2,101 1456,55 < a < 25891,81+ 2,101 1456,55, 22831,71< a < 28951,92.

0,7422 − 2,101 0,0539 <b < 0,7422 + 2,101 0,0539, 0,6289 <b < 0,8555.

Как мы видим, оба доверительных интервала для коэффициентов регрессии не содержат нулевых значений, значит оба коэффициента считаются статистически значимыми.

б) t-критерий Стьюдента

69

Проверяем гипотезу H0 : a = 0 против альтернативной гипотезы H1 : a ≠ 0,

используя при этом статистику t0a = a~~−(~0) tγ .

D a

t0a = 25891,811456,55− 0 =17,78 – наблюдаемое или экспериментальное значение t -

статистики.

Критическая область двухсторонняя:

Гипотеза H0 отвергается с вероятностью 0,95, следовательно, принимается гипотеза H1, так как t0a >tγ , т.е. 17,78 > 2,101. Это означает, что параметр

статистики.

Критическая область двухсторонняя:

Гипотеза H0 отвергается с вероятностью 0,95, следовательно, принимается гипотеза H1, так как t0b >tγ , т.е. 13,78 > 2,101. Это означает, что параметр b – значим.

качество оценивания регрессии может быть проверено двумя равноценными способами: дисперсионным анализом в регрессии и с использованием элементов теории корреляции.

а) Дисперсионный анализ в регрессии

Суть метода заключается в разложении общей суммарной дисперсии вкладов физических лиц в банках на составляющие, обусловленные действием доходов населения, и остаточную дисперсию, обусловленную ошибкой или всеми неучтенными в данной модели переменными. Для проверки гипотезы о равенстве таких дисперсий используется критерий Фишера (F-критерий). Поскольку для оценок дисперсий используются суммы квадратов SS отклонений значений данной переменной от ее средней величины, то можно говорить о разложении

70