matstatistika_1_2_3_RGR

Ряд 5. Точечный ряд, построенный по накопленным частотам.

5. Графики:

По графикам можно определить следующие меры положения: моду xmod – по полигону частот, как значение, соответствующее наибольшей частоте

31

( xmod ≈106 чел.), медиану xmed – по кумуляте, как значение, соответствующее

половине выборке, т.е. 50 ( xmed ≈106 чел.). Это означает, что на авиарейсах «Иркутск–Москва» или «Москва–Иркутск» чаще всего летает 106 пассажиров, средневероятное число пассажиров тоже составляет 106 пассажиров.

6. Эмпирическая функция распределения: F*(x) – это статистическая аппроксимация функции распределения F(x) = P(x < X ) . Например, F*(x) = 0,75

– это вероятность того, что x <118,688 , т.е. в 75% случаев число пассажиров в одном рейсе составляло менее 119 чел.

0, x ≤88,063,

0,04, 88,063 < x ≤94,188,0,12, 94,188 < x ≤100,313,0,25,100,313 < x ≤106,438, F*(x) = 0,52,106,438 < x ≤112,563,0,75,112,563 < x ≤118,688,0,88,118,688 < x ≤124,813,0,94,124,813 < x ≤130,938,

1, x >130,938.

32

Медиану также можно определить, как значение случайной величины X, расположенное между xn / 2 и x(n / 2)+1 при четном п. x50 , x51 определяем по ряду

1, как значения, распложенные напротив накопленных частот 50 и 51:

По ряду 1 xmod – это значение, соответствующее наибольшей частоте, следовательно, xmod =108 или 109 (значения, стоящие напротив частот n17,18 = 7 ).

Таким образом, наиболее часто встречающееся число пассажиров одного авиарейса составляет 108 чел., средневероятное – 109 чел.

Б) Меры разброса (рассеяния)

Дисперсия:

Dв =1001 (1838,27 +1875,78 +1097,33 + 253,23 + 215,71+1097,33 +1406,84 +

более длинная часть графика находится справа от вершины. Отрицательное значение коэффициента эксцесса говорит о плосковершинности кривой распределения.

34

8. Вывод о близости наблюдаемого распределения к нормальному:

1)Полигон частот имеет колоколообразный вид;

2)xв ≈ xmod ≈ xmed : 109,5 ≈109,046 ≈108,139;

3)Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса близки к нулю;

4)коэффициент вариации меньше 33%.

Таким образом, на основании проделанных расчетов можно сделать вывод о близости наблюдаемого распределения случайной величины Х – числа пассажиров одного авиарейса «Иркутск–Москва» или «Москва–Иркутск» к нормальному.

35

1.3. Тема 2. Статистическое оценивание параметров. Основные формулы и расчеты

1. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочное среднее: a~ = xв.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является

распределения Стьюдента.

Интервальная оценка дисперсии при неизвестном математическом ожидании. Для того чтобы построить интервальную оценку для σ , воспользуемся формулой

Вычисление в MS Excel несмещенных оценок генеральных средней и дисперсии большой сложности не составляет (рис. 1.28). Для нахождения квантилей распределения Стьюдента воспользуемся встроенными в MS Excel специальными статистическими функциями. Для tγ нам понадобится функция

=СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени свободы). В качестве вероятности вводится значение 1−γ , степеней свободы – n −1. Пересчет (1+γ)/ 2 уже

встроен в эту функцию, т.е. специально его делать не надо. Для вычисления

=ХИ2ОБР(вероятность; степени свободы). Вероятность для u1 равна 1−α / 2 , для u2 – α / 2 , степени свободы = n −1. Когда все компоненты формул (1.18) и

(1.19) уже записаны, можно вычислить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсии (рис. 1.28).

36

Из расчетов видно, что при меньшей доверительной вероятности ширина доверительного интервала сужается.

Б) для неизвестной дисперсии:

Пусть доверительная вероятность γ1 = 0,95, тогда

Доверительный интервал от 82,088 до 143,699 с вероятностью 0,95 покроет неизвестное значение дисперсии, а доверительный интервал от 9,06 до 11,987 – неизвестное значение среднего квадратического отклонения.

Пусть доверительная вероятность γ2 = 0,9, тогда

Доверительный интервал от 85,550 до 136,825 с вероятностью 0,9 покроет неизвестное значение дисперсии, а доверительный интервал от 9,249 до 11,697

– неизвестное значение среднего квадратического отклонения.

38

1.5. Тема 3. Статистическая проверка гипотез. Основные формулы и расчеты

Критерий согласия Пирсона

По результатам первичной статистической обработки данных делается вывод о принадлежности или нет наблюдаемого распределения к нормальному.

Чтобы убедиться в этом окончательно, воспользуемся критерием согласия χ2 : 1. Выдвигаем гипотезу Η0 о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону:

Η0 : X ~ N (a,σ), где a~ = xв =.... , σ~ = s =.....

2.α = 0,05 – ошибка 1 рода.

χкр2 =...

5.Для расчета наблюдаемого значения критерия χ02 составим две вспомога-

тельные таблицы (используем интервальный ряд 2 и значения функции Лапласа). Расчет npi , где

39

вой гипотезы, гипотезу о нормальном распределении следует принять. В противоположном случае – отвергнуть, т.е. наблюдаемое распределение не согласуется с нормальным.

Для выполнения расчетов в MS Excel составляем таблицы 1.8 и 1.9 (рис.

1.29) . Значения Φ(Zi ) и Φ(Zi −1) находим, используя встроенную статистическую функцию =НОРМСТРАСП(z)–0,5 (от полученного значения отнимаем 0,5). χкр2 находим также с использованием уже известной встроенной функции ХИ2ОБР(вероятность; число степеней свободы). Вероятность равна 0,05.

Рис. 1.29. Проверка гипотезу о виде распределения

Пример 4. Оформление результатов проведенных расчетов по Теме 3.

1. Выдвигаем гипотезу Η0 о том, что случайная величина Х – число пассажи-

ров одного авиарейса распределена по нормальному закону:

Η0 : X ~ N (a,σ), где a~ = xв =109,5, σ~ = s =10,319.

40