Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 6627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

2 6 0

СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕД НЕ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII

3.Другой вывод интегрального уравнения (7.14)

Ввиду исключительной важности уравнения (7.14) дадим несколько

другой	его	вывод.			что величина е2 с точ
Выше мы видели [см.			формулу (7.13)],		что величина е2 с точ
ностью до		постоянной Rh(0) определяется выражением
		СО	СО	со
/ =	—	2 f k ( k ) R k, ( k ) d \ - \ - f k ( \ ) d \		f А(&)/?,(Х — 9) d».		(7.24)
		о	о	о
Пусть
		= /	/?¥(Х — &)g(&)dH,		Х > 0 .	(7.25)
		о

где ^(Э) — пока неизвестная функция, которая должна быть найдена таким образом, чтобы выражение (7.24) имело минимум.

Учитывая (7.25) вместо (7.24), можно написать:

СО

/ = — 2 f 9(9)d9 J # ? (Х — 9)fc(X)dX +

	и	о
				ОО	00
			+	f £ (9)d9 f Л(Х)Я,(Х — 9)dX =
				О	О
	ОО	ОО
= - /	q (9) d9 J * ,(X -» )? (X )d X -\|-
0		0
	со		со
+	f	\k (9) - q (9)] db f		R9(X -	9) [k (X) -	q (X)] dX.	(7.26)
	0	•	о
Учитывая,		что			e7“TtfiD, и	полагая
			ОО
		Q ( » =	f	q (t)e - № dt,			(7.27)

4 ]		ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ				ПЕРЕДАТОЧНОЙ		ФУНКЦИИ	2 6 1
вместо		(7.26)		получим:
/	=	—		/	7 ( f l q) (e K- ) 'e“ ^ ed ld f fr 5		?	( c o ) r f w	+
		0			0	—со
		CO			CO			CO
+	i		/ *	( ^ )	— <7 J( 8 e) 1^ [e k -( k^ ) °— q ( \ ) ] d - k f 5				¥ ( c o ) d u )
	0				0			-со
		с о				CO
=	— 27 f		\Q(M\l2Sv((0)dw			f \| Ф (y’co)		Q(/to) I2 Sy (ш) du>.
		— CO				— CO			(7.28)
	Выражение (7.28), очевидно, имеет минимум,						если		(7.28)
	Выражение (7.28), очевидно, имеет минимум,						если
					<3 С/'ш) =	Ф (уш).			(7.29)
В силу		(7.29)		мы можем	написать:
					q(t) =	k(t),

и равенство (7.25) сводится к интегральному уравнению (7.14).

Итак, мы опять пришли к выводу, что условия минимума на е2 определяются интегральным уравнением (7.14).

4. Определение оптимальной передаточной функции без учета условия физической осуществимости ‘)

В предыдущих параграфах было показано, что среднее значение квадрата ошибки имеет минимум в том и только в том случае, если импульсная переходная функция системы k (() удовлетворяет инте гральному уравнению (7.14).

Поэтому следующая наша задача состоит в решении этого инте грального уравнения относительно неизвестной функции '

Основная трудность решения уравнения (7..14) связана с тем, что ■

функция k (t)	должна удовлетворять условию физической осуществи
мости (7.12),	т. е. должна равняться нулю			при 7 < 0 .
Для того	чтобы показать	это,	отбросим	указанное	ограничение,
т. е. допустим, что функция k (t)			может не равняться нулю при t < 0.
Тогда, исходя	из (7.11), получим:
		СО
	ЯАтС 0=	/ Я9(т-Х )Л (Х )Л .			(7.30.)

l) Bode Н. W., S h a nn o n С. Е., A simplified derivation of Linear Least Square Smoothing and Prediction theory, Proc, IRE, April.1950, pp. 4.17-7425,

2 6 2 СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII

Уравнение (7.30) отличается от уравнения (7.14) лишь нижним

пределом	интегрирования.
Попытаемся		решить уравнение (7.30). Умножая обе его части
на	и интегрируя по х от — со			до -(-оо, получим:
	оо		со	со
J		dx —	J e-j^d-c	J	R,f (т — X) k (X) dl =
— CO			— CO	— CO	*
			CO	CO
		=	j" k (X) dX	J	e~JmR 4(x — X) dx.

Произведя в последнем интеграле замену переменной по формуле

получим:

о о	ОО		ОО
J e - ^ R /!7(x)dТ = f		e - ^ k ( l ) d k J е-7шГ>Я? (&) d&.		(7.31)
— 00	- С О		—со
Вводя спектральные	плотности:
		со
	5л?(ш )=	J	e - ^ R h,(x)dx,	(7.32)
	— СО
		СО
	s 9(ш )=	J	e - ^ R 9(-)dx	(7.33)

—С О

ипринимая во внимание (7.6), вместо (7.31) можем написать:

Sh9(ш) = Ф (У'ч>)	(со),
откуда
Ф а ” ) _ s , w
и
k ^ = 2 , J	eJW‘dw-

(7.34)

(7.35)

(7.36)

Выражение (7.36) представляет собой решение уравнения (7.30), не связанное с условием физической осуществимости.

Как мы видим, оно может быть получено без всяких затруднений. Возвратимся к уравнению (7.14) и сделаем попытку решить его

•тем же способом, который был только что применен к решению ■уравнения (7.30),

5] УЧЕТ УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ 263

Умножая обе части (7.14)			на е Juix	и интегрируя по т от 0 до
^{- оо '), имеем:
СО		СО	СО
f	Rh9(x)e~i™dx =	f	e~J™dx f	R9(x — X) k (X) dX =
0		0	0
		с о	00
	= f		k(X)dX f	e ~ ^ R 9(x — X)dx.	(7.37)
		6	о
Произведя в последнем интеграле в				правой части (7.37)	замену
переменной	по формуле	S	— X,
найдем:		S	— X,
найдем:
о о		с о		о о
J	R,^{x)e-j™dx =	f	e~^k(X )dX J e~>^R9 (0)		(7.38)
о		о		—x

Легко видеть, что выражение (7.38) не позволяет выразить функ цию Ф (у’ш) через спектральные плотности вследствие того, что ниж ним пределом интегрирования в его правой части является» — X. Очевидно, что эта трудность отпала бы, если бы функция R9(x) обращалась в нуль при т < 0, что, конечно, невозможно.

б. Формула для оптимальной передаточной функции, учитывающая условие физической осуществимости 2)*

Перейдем теперь к изложению способа решения интегрального уравнения (7.14), с учетом условия физической осуществимости.

Итак, задача состоит в том, чтобы найти решение интегрального уравнения (7.14), т. е.

СО

Дл-рСО — /

я ,( т — X)k(X)dX = 0,

т > 0 ,

(7.14)

так,

чтобы имело место

равенство (6. 12), т. е.

k(t) =

7 <

(7.12)

Выше было

показано,

что

трудность

решения

уравнения

(7.14)

при

учете

условия (7.12)

связана с тем,

что

оно

содержит

функ

цию R9(т),

не

равную

нулю при т <

Поэтому мы, прежде

всего,

попытаемся

преобразовать

уравнение (7.14) таким образом,

чтобы

оно вместо функции R9(x)

содержало некоторую функцию, обращаю-

В Интегрировать по т от — оо до + со мы не имеем права, так как

вследствие условия физической осуществимости уравнение справедливо лишь при т > 0. '

2) См. работы, цитированные на стр. 256.

264		СИНТЕЗ ПО	МИНИМУМУ		СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ						[ГЛ. VII
щуюся	в нуль при		т < 0.	Для	того чтобы		выполнить		это преобра
зование, введем вспомогательные						функции	^ (0	и ф2(0 *		удовлетво
ряющие условиям:
			Ц»! (0 = 0 .			/<о.					(7.39)
			ф2(0 =		о.	/ > о ,					(7.39)
			ф2(0 =		о.	/ > о ,
и
					оо
			Я ,С 0 = /		Ф, (X — X) ф2(X) dX.						(7.40)
				— СО
Каким		образом	могут	быть	найдены эти		функции		или	их	преоб
разования		Фурье:
			ч \и < » )=		/	е - ^ Ч . а ) dt,
					— ОО						(7.41)
					со						(7.41)
					со
			В Д <“) =		/		dt,
будет показано в дальнейшем.						Кстати заметим,		что	в	силу	(7.39)
вместо	(7.41) мы можем написать:
					СО
			^ ( »	=	/	e - M ^ (0 dt,
					о

о	(7.42)

w2( » = J e-^4fz{t)dt.

— ОО

Подставляя (7.40) в (7.14), получим:

	ОО		оо
ЯЛТС0 =	/	k(k)dk	/	(т — X — -О) Jj2({>) db =
	0		—оо
		0	оо
=	. f & ( Q ) d & f			— X — &)Л (X)rfX,		т > 0 .	(7.43)
	—со		О
Кроме того, предположим,			что	мы можем	найти функцию		Р(/) так,
чтобы		о
		о
д * ,(* )=		/ р (х — X) ф2(X) rfX. -			00 < т <	оо.	(7.44)

УЧЕТ

УСЛОВИЯ

ФИЗИЧЕСКОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ

265

Тогда (7.43) примет

вид

J p ( T — X)t|»2(X)dX =

ф2(Х)Л f

^ (х — X— b)k(b)

dfr.

—со

t > 0,

или

(7 45)

t 2(X)

p(x — X) — J ф1(т —X—&)A(fr)

rfX =

(7.46)

Ясно, что это уравнение, а следовательно, и (7.43), из которого

оно

вытекает, будет

справедливо, если

СО

Р(х — X) — J

^ (х — X — 8)fc(»)d8 = 0 ,

т >

X <

(7.47)

или

так как т — Х > 0

отрицательно),

то

вместо

(7.47)

можно

также написать:

СО

Р(*) = /

ф! (х — X) Л (X) rfX,

т >

(7.48)

Заметим, что (7.48) имеет

такой

же

вид,

как

и (7.14),

если не

считать того, что вместо функции R9(x), входящей в (7.14)

и не

обращающейся в нуль при х <

0, оно

содержит функцию ^ ( 0 .

рав

ную

нулю при t

Это обстоятельство позволяет решить уравнение (7.48) сравни

тельно простым

способом.

Умножая обе его части на

е~;шг. и интегрируя

от

0 до

со,

по

лучим:

о о

СО

р(т) е-Х” d x =

f e-i™ dx J ^

(x — X) A(X)rfX =

— J

k(K)dl J

^ ( x —• \)e~'“"dx.

(7.49)

Заменяя

в (7.49)

т — X

через 8, найдем:

ОО

СО

Р(х)е_7шт dx =

k ( \ ) e ~ ^ xd\ J

ф1 (Э) е-7“ 8db,

или, учитывая (7.6), (7.42):

В (у'ш) = J р(t) е-^1dt = Ф(у'ш) ф,(у'ш)

2 6 6

СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЙ

ОШИБКИ

[ГЛ.

VII

и,

следовательно,

р (t)e~iwtdt

В (У«)

Ф (Уш) = -

(7.50)

Ч-'i (у«)

Wi ( »

•

Умножая теперь обе части уравнения (7.44) на e~JU* и интегрируя

по

х от — оо до -(- схз, найдем '):

оо

R h 9 ( f ) e - J ^ d - z =

e - j ^ d x

J p ( т —

X ) i|>2 (A ) d X

—со

—CO

—00

со

J«l»2(X )d \

P(x —

\ ) e - J ^ d x

— CO

со

f ^ 2(X )e~^dX

f P (x )e -^ d n .

(7.51)

- CO

—oo

Принимая во внимание (7.32) и (7.41),

на основании (7.51) можем

написать:

5 „ ?( Ш) =

В Д ш )

p ( x ) e - * ” rfx

(7.52)

и,

следовательно,

/ т

5л<? (“)

(7.53)

Ч'2(уш) •

—00

Применяя в (7.53) теорему

обращения, получим:

•

Г S/!? (“)

(7.54)

rf(U.

З Д

« а )

бУ Ш 1

до

i) Заметим, что интегрирование нужно

производить именно

от

—оо

оо,

а не от 0 до оо.

В самом

деле, во

втором случае

в результате

замены переменной в интеграле

I р (т— Х)е~-/ипйт

мы получили бы выра

жение J р (т) e~JWZ d-z, в котором нижний предел интегрирования нельзя

заменить нулем, так как Р (т) Ф 0 при х < О,

5 ]

УЧЕТ УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ

2 6 7

Подставляя (7.54) в (7.50), получим следующее выражение для искомой передаточной функции:

со	со
ф У “» = е т г ш / ‘ ~ы м	/ Ш ' " " " '	(7'55)
О	—оо

Передаточную функцию Ф(у'ш), удовлетворяющую равенству (7.55), мы условимся в дальнейшем называть оптимальной передаточной функцией, так как она обеспечивает минимальную среднеквадратиче скую ошибку, совместимую с условием физической осуществимости.

Следует, однако, заметить, что мы еще не можем считать свою задачу полностью решенной. В самом деле, нам еще осталось пока зать, каким образом могут быть найдены пока еще не известные функции Ф, (y’io), Ф2(усо), входящие в формулу (7.55).

Кроме того, необходимо еще убедиться в том, что импульсная переходная функция

ОО

k(t) = -±- У Ф (у'ш) */»' da,	(7.56)
— СО

соответствующая передаточной функции Ф (у'ш), определенной из (7.55), действительно удовлетворяет условию физической осуществи мости (7.12).

Функции Ф, (у'ш), Ф2(у’ш) можно найти следующим образом.

Умножая (7.40) на		и интегрируя				по т от — со до -f-oo,
найдем:
ОО		ОО			ОО
J R9(x)e-S«"dx= f		e - j ^ d -		f	^	(т — X) ф* (X) dX =
— СО	— СО			• — ОО
		СО			ОО
=	/	M	X) dX	/	'WC' — x) e - /u,trfT =
	— ОО			— ОО
		ОО				ОО
=		J ф2 (х) е			rfX	f	(т)е-7«” й?т,
	— ОО					— ОО
откуда, принимая во внимание			(7.33)	и (7.42),			получим:
5 ? (ш) =			Ф1 (уш)Ф2(уш).				(7.57)

Так как функция Ф,(уш) представляет собой преобразование Фурье для функции ф,(7), равной нулю при t < 0, то функция Ф^уш) является аналитической и ограниченной функцией в нижней полу плоскости (см. гл. I, § 6).

Точно так же функция Ф2(у’ш) представляет собой аналитическую и ограниченную функцию в верхней полуплоскости, так как она

268	СИНТЕЗ ПО	МИНИМУМУ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII
является	преобразованием Фурье для		функции ф2(О» равной нулю
при t >	0.	что так как 5? (ш),
Заметим теперь,			есть спектральная плотность,

то она представляет собой четную функцию от ш, удовлетворяющую условию

Таким образом,	задача нахождения функций		(уш), \F2(_/m) све
дена к задаче разложения четной функции		5 ? (ш),	удовлетворяющей
условию 5 ?(ш )^ 0	, на два множителя, из	которых один предста

вляет собой функцию, аналитическую и ограниченную в верхней полуплоскости, а другой — функцию, аналитическую и ограниченную

внижней полуплоскости.

Саналогичной задачей мы уже встречались в § 14 гл. I, в ко тором был изложен способ определения передаточной функции Ф (Уш) по амплитудной характеристике И(ш). Как мы видели, квадратичная амплитудная характеристика Л2(ш) является подобно 5 ф(ш) неотри

цательной	и	четной	функцией	от ш	и	может	быть представлена
в виде произведения			двух множителей,		один из		которых содержит
все нули	и	полюсы, расположенные			в	верхней полуплоскости,
а другой — все нули			и полюсы,	расположенные			в нижней полупло

скости, причем эти множители представляют собой функции, ком плексно-сопряженные друг другу.

Отсюда следует, что функции Ч-, (у'ш) и Ч;2(у'ш) в (7.57), удовле творяющие тем же условиям, что и указанные два множителя, также представляют собой комплексно-сопряженные функции, т. е. что

VF, (Уш) = Ч* (уш) = W (уш), )

(7.58)

1Г2(уш) = Ч* (уш) = Ч* (уш) }

• и	Ч-, (уш) Ч2(уш) = \| Ч (уш) \|2= 5 , (ш)									(7.59)
	Ч-, (уш) Ч2(уш) = \| Ч (уш) \|2= 5 , (ш)									(7.59)
и что, таким	образом, способ				определения функций Ч, (уш),					Ч'2(у‘ш)
из 5? (ш) (по крайней мере, если эта						последняя	представляет			собой
дробно-рациональную функцию от ш)						аналогичен	способу		определе
ния передаточной функции Ф (уш) по						соответствующей		ей	квадрати
ческой амплитудной		частотной			характеристике. Итак,			окончательное
выражение для оптимальной				передаточной функции имеет вид
					СО	СО
®	( » =	s ®	W	/	‘ ~ Ы м	f				< 7 ' 6 0 >
				0		— с о
где функция Ч (у’ш) определяется формулой (7.59).
Покажем	теперь,	что	функция k (t), соответствующая						передаточ
ной функции	(7.60),	удовлетворяет условию
			к (0 =		0,	t < 0.

МИНИМАЛЬНАЯ СРЕДИЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА

269

Для этого, очевидно, необходимо показать, что передаточная функция Ф(/ш), определяемая (7.60), представляет собой функцию, аналитическую и ограниченную в нижней полуплоскости.

Рассмотрим выражение

	с о		0		с о
	J р (t)e~j'»l d t =		f e-S*ffl(t)dt + f				(t)dt.		(7.61)
	— с о		— c o		0
Первый интеграл в правой части (7.61) представляет собой функ
цию, аналитическую		и ограниченную в верхней				полуплоскости,				так
как в нем интегрирование производится для значений								t < 0.	Точно
так же второй интеграл			в правой	части	(7.61)	представляет			собой
функцию,	аналитическую		и ограниченную		в нижней			полуплоскости,
так как в нем интегрирование производится						для	значений		^ > 0.
Таким	образом,	числитель в		(7.50)	является		аналитической			и

ограниченной функцией в нижней полуплоскости. Такого же рода

функцией является также и выражение , так как не только

все полюсы, но и все нули ФДуш) расположены в верхней полу плоскости.

Отсюда вытекает, что передаточная функция Ф (Jш) — аналитиче ская и ограниченная в нижней полуплоскости и, следовательно, функ ция k(t), определяемая (7.56), удовлетворяет условию (7.12).

6. Выражение для минимальной среднеквадратической ошибки

Рассмотрим выражение (7.13) для среднего значения квадрата ошибки. Оно может быть представлено в виде

ё* = ЛА(0) + /.

(7.62)

где / определяется формулой (7.24).

Из (7.28) легко видеть, что в случае удовлетворения условия оптимума (7.29)

СО

/ = — 5 Г /		\|ФС/®)\|*59((0)йш.		(7.63)
— СО
Поэтому минимальное среднее	значение квадрата ошибки
		СО
= ЯА(°) - i		/	I Ф ( » I2Sf (СО) rfo.	(7.64)
Учитывая, что
			СО
Я/г(0) = ^	=	^	/ Sh (ш) du>L	(7.65)

— СО

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 6627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ