книги из ГПНТБ / Бердичевский, Марк Наумович. Электрическая разведка методом теллурических токов

При этом согласно (126)

U = a р cos а + b р sin а — р (a cos а + b sin а),

V = с q cos а + d р sin а = р (с cos а + d sin а). ' '

Величины U, V удовлетворяют уравнению

U2 + V2 = R2,

следовательно,

р2 (a cos а + fe sin а)2 + р2 (с cos а + d sin а)2 = 7?2, (168)

Рис. 40.

откуда

При а =

Сопряженные радиусы

Сопряженными радиусами эллипса назовем два центральных радиуса, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому радиусу. Сопряженные радиусы окруж­ ности взаимно-перпендикулярны.

69

Углы, заключенные между сопряженными радиусами эллипса

ном преобразовании переходят в сопряженные радиусы эллипса (рис. 40, в). Действительно, при линейном преобразовании пря­ мая, проходящая через начало координат, преобразуется в пря­ мую, проходящую через начало координат, а параллельные пря­ мые остаются параллельными. Следовательно, произвольно вы­ бранному радиусу ОМ окружности соответствует радиус О'Р эллипса^ а хорды окружности, параллельные радиусу ОМ, пре­ образуются в хорды эллипса, параллельные радиусу О'Р. Как указывалось выше, образ середины отрезка есть середина образа отрезка. Следовательно, геометрическое место середин хорд окружности, параллельных радиусу ОМ (т. е. радиус ON), пре­ образуется в геометрическое место середин хорд эллипса, парал­ лельных радиусу О'Р (т. е. в радиус О' Q). Таким образом, сопря­ женные радиусы ОМ и ON окружности преобразуются в сопря­ женные радиусы О'Р и О'Q эллипса, что и требовалось доказать.

Векторы соответствия

Пусть в плоскости XY дана окружность радиуса R (рис. 41). Ее сопряженным радиусам ОМ и ON, направленным вдоль осей X и Y, соответствуют в плоскости UV сопряженные радиусы эллипса О'Р и O'Q. Рассмотрим последние как векторы m и п, которые назовем векторами соответствия.

70

Как видим, по проекциям векторов соответствия легко найти коэффициенты соответствия:

Отметим, что длина и направление векторов соответствия за­ висят от направления координатных осей X, Y.

Длина векторов соответствия согласно (173) определяется формулами

т — Vту + ту = R 1/ а2 + с2,

, . ___ (175)

п = V пу + пу — R ]/ b2 + d2,

Рис. 41.

откуда с'учетом (170) и (171) следует, что

ось X совпадала по направлению с малой осью обратного эллипса,

71

Согласно (177) и (178) угол между векторами соответствия в рассматриваемом случае равен л/2 и, следовательно, угловые

Д2 _ Д2

~А

т. е. вектор т совпадает с большой полуосью прямого эллипса, а вектор п — с его малой полуосью. Следовательно, согласно (174)

и=±4х>

которое назовем главным с о о т в е т с т в и е м.

В случае главного соответствия упрощаются многие из выве­ денных ранее формул. В частности, если в плоскости XY задана прямая с угловым коэффициентом к, то согласно (136) угловой коэффициент ее образа в плоскости UV может быть определен при помощи формулы

72

Построение векторов соответствия

Задача формулируется следующим образом. Даны сопряжен­ ные эллипсы. Требуется построить векторы соответствия для про­

ствия т, п. Их направление определяется с точностью до 180°. При построениях следует иметь в виду, что угол между векто­ рами т, п, отсчитываемый от вектора m против часовой стрелки, должен быть меньше 180° (это отвечает условию J > 0).

Взаимное расположение сопряженных эллипсов

Если оси координатных систем расположены так, что ось X параллельна оси U, а ось У параллельна оси V (рис. 44), то угол, заключенный между продолжениями большой оси обратного эллипса и малой оси прямого эллипса, будет

73

При b = с имеем у = 0, т. е. разноименные оси прямого и обратного эллипсов параллельны. При а = —d имеем у = л/2, г. е. разноименные оси прямого и обратного эллипсов перпенди­ кулярны.

Преобразование окружности в окружность

Рис. 45.

Рассмотрим некоторые свойства такого линейного соответствия. Угол у между произвольной прямой У = кХ -I- р и ее обра­ зом V = IU + q есть постоянная величина, не зависящая от углового коэффициента к. Для доказательства этой теоремы рас­

74

Поскольку векторы соответствия пъ, п являются образами векторов, направленных вдоль осей плоскости XY, то очевидно, что угол, образованный вектором т с осью X (так же как и угол, образованный вектором п с осью У), совпадает по величине с углом у между произвольной прямой У = fcX + р и ее обра­ зом V = IU 4- q. Очевидно также, что угол между векто­ рами т, п равен л:/2. Таким образом, если в рассматриваемом слу­ чае задан радиус Ri, то для построения векторов соответствия т, п достаточно знать величину угла у (рис. 45, б).

(194) и (197), то коэффициенты соответствия (195) могут быть вычислены при помощи формул

для (197) J = ad — be.

75

Здесь в качестве нижних индексов даны координаты, являю­ щиеся аргументами в формулах (194), (195) и (197). Координаты,

являющиеся в этих формулах функциями, показаны верхними индексами.

В случае измерительных установок, линии которых располо­ жены под углом, отличным от прямого, пространственные коорди­ натные системы ху, uv косоугольны. Согласно (125) им соответ­

ствуют косоугольные координатные системы XY, UV, в которых координаты произвольных точек М и Р определяются проекциями этих точек на координатные оси (рис. 46).

В косоугольных координатных системах XY, UV, как и в рас­ смотренных ранее случаях, действует соответствие (126).

Выясним, чему равен инвариант J этого соответствия. Рас­ смотрим косоугольные координатные системы XY и UV, изобра-

76

(рис. 47, б) с прямоугольными координатами

Ui = aXi + bYi,

Vi = eXr -J- dYr. (204)

Отметим, что инварианты J соответствий (126) и (204) имеют одинаковую величину.

3. Преобразуем плоскость UiVv в плоскость UV (рис. 47, в) с косоугольными координатами

и = f/i, V = V1. (205)

фх1у1

77

Таким образом,

§ 14. ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ПОЛЕ ТЕЛЛУРИЧЕСКИХ ТОКОВ

Как говорилось выше, исходной величиной при интерпрета­ ции теллурических наблюдений служит параметр р, представляю­ щий собой отношение напряженностей поля ТТ в полевой и ба­ зисной точках. В благоприятных условиях ц отражает изменения суммарной продольной проводимости осадочной толщи, подсти­ лаемой опорным горизонтом высокого сопротивления.

Согласно (83) и (124)

где Ехр, Еур, Euq, Ет — составляющие поля ТТ по осям прямо­ угольных координатных систем ху, uv (система ху относится к ба­ зисной точке р, система uv — к полевой точке q).

Из (211) видно, что параметр р, в общем случае зависит не только от коэффициентов a, b, с, d, но и от величины Ет /Ехр, т. е. от направления первичного поля. Таким образом, в районах с негоризонтальным залеганием горных пород каждому напра­ влению первичного поля соответствует своя карта р. Изменение направления первичного поля порой заметно преобразует карту параметра р, либо сглаживая, либо подчеркивая теллурические аномалии.

Для получения достаточно полной информации о характере теллурических аномалий приходится строить карты параметра р для нескольких направлений первичного поля. При этом напра­ вление поля из-за отсутствия критериев выбирают вслепую, что снижает надежность геологических выводов.

В последнее время широкое распространение получили более совершенные способы интерпретации теллурических наблюдений.

78