книги из ГПНТБ / Электрические измерения. Общий курс учебник

цостей 1 . ложно считать, что закон распределения суммарной слу­ чайной погрешности нормальный.

Погрешность результата измерения может быть найдена на осно­ вании одного ряда наблюдений. В особо точных измерениях произ­ водится несколько рядов наблюдений, дающих возможность оценить погрешность среднего арифметического (см. § 7). В дальнейшем будем исходить из наличия одного ряда наблюдений.

На практике обычно число наблюдений в одном ряду невелико (например, 10—20), вследствие чего полученное по опытным данным значение о является весьма приближенным. Для того чтобы полу­ чить более достоверную оценку погрешности (границ доверительного интервала) при сравнительно малом числе измерений п, вводят не­ который коэффициент t (п), предложенный английским математи­ ком В. С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом

плотность распределения вероятности появления величины t имеет вид:

г І )

1 Центральная теорема теории вероятностей формулируется так: если имеется достаточно большое число независимых случайных величин, то сумма пх будет подчиняться нормальному закону распределения даже тогда, когда случайные величины не подчиняются нормальному закону . При этом предпо­ лагается, что ни одна пз этих слагаемых величин существенно не преобладает над остальными. Практически центральная предельная теорема может приме­ няться при 4—5 слагаемых.

50

Вид этой функции должен быть известен. Погрешность косвен­ ного измерения величины х зависит как от случайных, так и от си­ стематических погрешностей прямых измерений величин А, В, С, ...

Будем предполагать, что прямые измерения были правильными, т. е. систематические погрешности прямых измерений исключены. Для оценки случайной погрешности измерения величины х необ­ ходимо знать параметры точности (например, а результатов измере­ ния) величин А, В, С, ... Нахождение средней квадратической по­ грешности о косвенного измерения производится по формуле

Следует отметить, что формула (38) справедлива при условии не­ зависимости прямых измерений величин А, В, С, ... Рассмотрим некоторые частные случаи применения формулы (38):

1. Функциональную зависимость х от однородных величин A vi В можно представить так:

X — аА -f- ЬВ,

где а и Ъ — постоянные положительные или отрицательные безраз­ мерные коэффициенты. В этом случае формула (38) примет вид:

2. Функциональная зависимость между величиной х и непосред­ ственно измеряемыми разнородными величинами А и В выражается формулой

х-Аа-Въ,

где а и Ъ — положительные или отрицательные показатели степени. Находя частные производные — , ^ на основании формулы (38),

получим

Аналогичным путем можно найти выражения для а и для других функциональных зависимостей.

9. Суммирование погрешностей

Погрешность измерения, т. е. отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины, образуется вследствие наличия погрешностей средств измерения, метода измерения и отсчитывания показаний средства измерения.

Результирующая погрешность средства измерений складывается из отдельных составляющих, которые могут быть определены рас­ четным или экспериментальным путем. Число составляющих за­ висит от ряда факторов: принципа действия и конструкции средства измерений, наличия факторов, влияющих на работу средства изме-

52

рений (например, изменения окружающей температуры, колебаний напряжения вспомогательных источников питания), и др. В некото­ рых случаях число составляющих результирующей погрешности может достигать нескольких десятков. Выше были даны определе­ ния систематических и случайных погрешностей, из которых сле­ дует, что критерием отнесения погрешности к систематической или случайной является характер изменения погрешности, устанавли­ ваемый при повторных измерениях физической величины в предполо­ жении, что последняя не изменяется за время измерений. Однако на практике это условие часто невыполнимо.

Необходимо отметить еще одно важное обстоятельство. Некоторые составляющие систематической погрешности известны и, казалось бы, могли быть учтены введением поправки к показаниям прибора. В качестве примера можно указать на погрешность прибора от из­ менения окружающей температуры. Но в процессе эксплуатации прибора значение окружающей температуры может быть не известно, и, следовательно, есть основание рассматривать данную составляю-" щую как случайную величину. Но если систематические погрешности известны и имеются необходимые данные для их расчета, они могут быть учтены введением поправки к результату измерения, вычислен­ ной путем алгебраического сложения систематических составляю­ щих .

Погрешность метода измерения может быть систематической, на­ пример, погрешность, обусловленная потреблением мощности при­ борами. Эту погрешность можно учесть введением поправки. Но мо­ жет быть погрешность метода случайной величиной, например, по­ грешность квантования измеряемой величины (см. гл. 9). Погреш­ ность отсчитывания зависит как от принципа действия и конструкции приборов, так и от органов чувств наблюдателя. В дальнейшем эту погрешность учитывать не будем, полагая ее незначительной. Рас­ сматривая составляющие погрешности измерения как случайные величины, при определении результирующей погрешности видим, что они могут складываться по правилам суммирования случайных ве­ личин. Следует отметить, что некоторые составляющие могут быть коррелпрованы, т. е. изменяться по вполне определенным законам под действием какого-либо внешнего фактора, например, изменяться одинаково. Коррелированные погрешности должны суммироваться алгебраически, причем коэффициент корреляции на практике обычно принимается равным -f-1 или — 1 . Если же погрешности вызываются причинами, не имеющими явной связи, то их корреляция принимается равной нулю. В дальнейшем будем рассматривать суммирование некоррелированных составляющих. Будем считать, что результирую­

интервал. Если доверительный интервал выбран по правилу «трех сигм», то ± ô i m практически означает возможные предельные значе­ ния составляющих.

Возможны следующие подходы к решению задачи суммирования погрешностей.

53

Арифметическое суммирование. Результирующая погрешность определяется по формуле

где \8іт\ — абсолютное значение составляющей суммарной погреш­ ности.

Полученное экспериментальным путем значение результирующей погрешности не может превысить значения, вычисленного по формуле (39), так как погрешности складываются алгебраически. Вероятность достижения значения, вычисленного по формуле (39), очень мала. По этой причине арифметическое суммирование дает заведомо сильно завышенное значение О^.

ляющих. При таком подходе результирующая погрешность вычис­ ляется по формуле

Если составляющие подчинены нормальному закону распределе­ ния, то, как известно из теории вероятностей, при композиции нор- ѵ мальных законов получается нормальный закон. Доверительная вероятность суммарной погрешности при нормальном законе ее распределения, как известно из теории вероятностей, может быть представлена формулой

/г ~ —

где о% — суммарное среднеквадратическое отклонение; Ф означает функцию Лапласа и имеет вид:

X

5

Если доверительный интервал для всех составляющих выбран по одному правилу, например, «трех сигм», то, принимая во внима­ ние, что

доверительная вероятность результирующей погрешности, вычислен­ ной по формуле (41), будет

р = ф (ртЬ0 , 9 9 7 3 -

54

Суммирование погрешностей при их законах распределении, отличных от нормального. По причине различных законов распределения составляющих результирующей погрешности доверительная вероятность может оказаться зна­ чительно меньшей, чем при нормальном законе распределения составляющих. При суммировании случайных погрешностей с различными законами распределе­

возможность гарантировать заданную довери­ тельную вероятность, т. е. следует пользо­ ваться формулой

ный на рис. 19.

Если Р — доверительная вероятность результирующей погрешности при симметричном законе распределения

Задаваясь величиной Р, можно найти значение ( ô 2 ) и значения ± ô 2 . На основании формулы (42) может быть определен коэффициент

1 4

Чт

i = 1

В табл. 3 приведены значения k% для различного числа «слагаемых в пред­ положении, что все составляющие распределены по равномерному закону. До­ верительная вероятность была принята равной 0,9973.

Композиция этих двух законов известна в теории вероятностей. Так как она вы­ ражается через ф у н к щ ш Лапласа, можно вычислить значения для различных отношений ö m (доверительная граница симметричного равномерного закона) к о (среднее квадратическое отклонение нормального закона) и Р = 0,9973. Результаты расчета сведены в табл. 4.

55

конов распределения составляющих и их числа поправочные коэффициенты из­ меняются сравнительно в широких пределах. Основная трудность в применении формулы (42) заключается в том, что законы распределения составляющих не всегда известны, и, следовательно, значение fe2 не может быть найдено. В этом случае при уверенности хотя бы в том, что законы распределения (или некоторые из них) отличаются от нормального, может быть рекомендовано принятие при­ ближенного значения fcv, равного 1,4. Вероятностная оценка результирующей погрешности средства измерения будет, очевидно, приближенной, однако дове­

цией времени, то вследствие инерционности средств измерения и дру­ гих причин 1 возникает составляющая общей погрешности, называе­ мая динамической погрешностью средства измерения. Она может быть определена как разность между погрешностью средства изме­ рений в динамическом режиме и статической погрешностью, соответ­ ствующей значению величины в данный момент времени. Динамиче­ ская погрешность зависит как от свойств средств измерения, так и от характера изменения во времени измеряемой величины. По этой причине динамическая погрешность средства измерения не может быть нормирована аналогично тому, как это делается в статическом режиме. Динамическая погрешность может быть нормирована лишь для конкретных зависимостей х — F (t), например для синусоидаль­ ного, линейно изменяющегося или изменяющегося по какому-либо другому закону входного сигнала.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением динамической по­ грешности средства измерения, обусловленной лишь его инерцион­ ностью, а также в предположении линейности звеньев средства из­ мерения, т. е. наличия звеньев, описываемых линейными дифферен­ циальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Способы определения динамической погрешности. Если средство измерения разбить на звенья, как это было указано в § 3, то динами­ ческий режим каждого звена может быть описай линейными диффе­ ренциальными уравнениями и для конкретной структурной схемы средства измерения может быть получена система дифференциальных

56

соответствует рис. 4. В этом случае система дифференциальных урав­ нений мЬжет иметь вид:

Решить уравнение (44) нельзя, так как его правая часть неизвестна (измеряемая величина). Один из возможных путей определения ди­

родействующим самопишущим прибором (см. гл. 5) и записанная функция выражается аналитически, т. е. экспериментально нахо­ дится решение уравнения (44). Тогда, пользуясь уравнением (44), может быть найден входной сигнал х и определена результирующая погрешность как разность хп (t) — х (t). Если при этом статическая погрешность средства измерения незначительна, то полученная раз­ ность в первом приближении будет равна абсолютной динамической погрешности средства измерения. При этом способе нахождения ди­ намической погрешности удобно пользоваться передаточной функ­ цией средства измерения. Передаточная функция средства измерения

Обычно при составлении дифференциальных уравнений звеньев для упрощения формул и удобства их исследования пользуются без­ размерными координатами и коэффициентами. Например, вместо

мерения; в качестве безразмерной независимой переменной выбирают величину т таким образом, чтобы т являлась безразмерной величи­ ной (относительное время) и т. д. 1 Вопрос формы записи дифферен­ циальных уравнений звеньев не является принципиальным и в рас­

57

It p и M с p. Допустил, что для исследуемого средства измерения уравне­ ние (44) имеет вид:

ГДР ?/, ;/і и Р — безразмерные координаты и коэффициенты. Передаточная фупкцпя н этом случае

Если записанный быстродействующим самопишущим прибором выходной сигнал может быть аппроксимирован уравнением

Пользуясь формулами (47) и (48), находим динамическую погрешность (ста­ тической погрешностью пренебрегаем). В данном случае относительную дина­

Рассмотренный теоретически-экспериментальный способ нахож­ дения динамической погрешности средства измерения имеет достоин­ ство, заключающееся в том, что полученный результат дает возмож­ ность анализировать влияние параметров звеньев на динамическую погрешность и находить оптимальные их значения.

Однако при применении этого способа на практике иногда встре­ чаются большие трудности или вообще данный метод применить нельзя. Получается неправильный результат, если какие-либо со­ ставляющие измеряемой величины (например, высокочастотные) не проходят через средство измерения и, следовательно, не фиксируются регистрирующим устройством. Существенные трудности возникают при наличии в средстве измерения нелинейных звеньев, т. е. таких звеньев, динамический режим которых описывается нелинейным диф­ ференциальным уравнением. Метод не применим, если записанный выходной сигнал не может быть аналитически выражен элементар­ ными функциями и если измеряемая величина представляет собой случайный процесс. В этих случаях исследование динамической по­ грешности может производиться методами теории случайных функ­ ций, рассматриваемых в специальных курсах.

Следует отметить, что в лабораторных условиях всегда остается путь экспериментального исследования динамической погрешности,

58

заключающийся в TUM, ЧТО одновременно быстродействующими само­ пишущими приборами записываются входной и выходной сигналы средства измерения и путем их сопоставления может быть прибли­ женно определена динамическая погрешность при различных по характеру изменениях во времени входных сигналах.

Глава третья

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРИБОРАХ, ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМАХ

И ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯХ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ

11. Принцип работы и общие детали электромеханических приборов

Принцип работы приборов. Электромеханический прибор состоит из двух основных частей: измерительной цепи и измерительного ме­ ханизма.

Измерительная цепь служит для преобразования измеряемой ве­ личины в другую, непосредственно воздействующую на измеритель­ ный механизм.

В измерительном механизме электрическая энергия преобра­ зуется в механическую энергию перемещения подвижной части. Обычно применяется угловое перемещение, поэтому в дальнейшем будут рассматриваться' не силы, действующие в приборе, а моменты.

Момент, возникающий в приборе под действием измеряемой ве­ личины и поворачивающий подвижную часть в сторону возрастаю­ щих показаний, называется вращающим моментом Л/. Он должен однозначно определяться измеряемой величиной а: и в общем случае

Для электромеханических приборов может быть написано общее выражение вращающего момента, вытекающее из уравнений Лагранжа второго рода, являющихся общими уравнениями динамики системы:

где We — энергия электромагнитного поля, сосредоточенная в из­ мерительном механизме.

По способу создания вращающего момента или, другими словами, по способу преобразования электромагнитной энергии, подводимой к прибору, в механическую энергию перемещения подвижной части электромеханические приборы разделяются на следующие основные группы: магнитоэлектрические, электромагнитные, электродинами­ ческие, электростатические, индукционные. В зависимости от кон­ структивных особенностей измерительного механизма внутри неко-

59