книги из ГПНТБ / Электрические измерения. Общий курс учебник

декады емкости — со ступенчатым включением, функцию четвертой декады выполняет воздушный конденсатор переменной емкости. Для комплектования декад применяют разномерные по значению емкости конденсаторы числом 4 с кратностями емкости 1, 2, 3, 4 или 1, 2; 2,5 или 1, 2, 3, 6, а также конденсаторы равной емкости. Преимущество декад с конденсаторами одинаковой емкости заключается в меньших скачках значений емкости при коммутации, однако стоимость таких декад больше, чем декад с разномерными конденсаторами.

5. Классификация измерений

Общие замечания. Электрические измерения весьма разнообразны. Это объясняется множеством измеряемых электрических и неэлект­ рических величин, различным характером их изменения во времени, различными требованиями к точности измерений, различными спо­ собами получения результата измерения и другими факторами.

Рассмотрим классификацию измерений, наиболее важную для теории и практики электрических измерений. К такой классифика­ ции можно отнести классификацию измерений с методологической точки зрения, т. е. в зависимости от общих приемов получения резуль­ татов измерений (виды или классы измерений), классификацию изме­ рений в зависимости от использования принципов и средств измере­ ний (методы измерений) и классификацию измерений в зависимости от динамики измеряемых величин.

Виды электрических измерений. В зависимости от общих приемов получения результата измерения делятся на следующие виды: пря­ мые, косвенные и совокупные измерения.

К п р я м ы м измерениям относятся те, результат которых полу­ чается непосредственно из опытных данных. Прямое измерение услов­ но можно выразить формулой

К этому виду измерений относятся измерения различных физи­ ческих величин при помощи приборов, градуированных в установлен­ ных единицах. Например, измерения силы тока амперметром, тем­ пературы — термометром и т. д. К этому виду измерений относятся

иизмерения, при которых искомое значение величины определяется непосредственным сравнением ее с мерой. Например, измерение со­ противления резистора при помощи образцовой меры сопротивления

идр. Применяемые средства и простота (или сложность) экспери­ мента при отнесении измерения к прямому не учитываются.

Ко с в е н н ы м называется такое измерение, при котором иско­ мое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым изме­ рениям. При косвенных измерениях числовое значение измеряемой

величины определяется путем вычисления по формуле

40

мерение мощности в цепях постоянного тока амперметром и вольт­ метром.

С о в о к у п и ы м и называются такие измерения, при которых искомые значения величин определяются путем решения системы уравнений, связывающих значения искомых величин с непосредст­ венно измеренными величинами, т. е. путем решения системы урав­ нений:

В качестве примера совокупных измерений можно привести опре­ деление коэффициентов в формуле, связывающей сопротивление рези­ стора с его температурой:

r( = r 2 0 [ l + a ( * - 2 0 ) + ß ( * - 2 0 ) a ] .

где rt — сопротивление резистора при температуре f С; г2 0 — сопро­ тивление резистора при температуре 20° С; а, ß и г2 0 — искомые ве­ личины.

Измеряя сопротивление резистора при различных температурах tx, t3 и t3, измеряемых термометром, получим систему уравнений:

приемов использования принципов и средств измерений все методы делятся на метод непосредственной оценки и методы сравнения.

Сущность м е т о д а н е п о с р е д с т в е н н о й о ц е н к и заключается в том, что о значении измеряемой величины судят по по­ казанию одного (прямые измерения) или нескольких (косвенные из­ мерения) приборов прямого преобразования, заранее проградуированных в единицах измеряемой величины или в единицах других величин, от которых зависит измеряемая величина. Простейшим при­ мером метода непосредственной оценки может служить измерение

.какой-либо величины одним прибором, шкала которого ироградупрована в соответствующих единицах.

Вторая большая группа методов электрических измерений объеди­ нена под общим названием м е т о д о в с р а в н е н и я . К ним относятся все те методы электрических измерений, при которых изме-

U

ряемая величина сравнивается с величиной, воспроизводимой мерой. Таким образом, отличительной чертой методов сравнения является непосредственное участие мер в процессе измерения.

Методы сравнения распадаются на следующие: а) нулевые, б) диф­ ференциальные, в) замещения и г) совпадения.

Нулевой метод — это метод сравнения измеряемой величины с мерой, при котором результирующий эффект воздействия величин на индикатор доводится до нуля. Таким образом, при достижении равновесия наблюдается исчезновение определенного явления, на­ пример тока в участке цепи или напряжения на нем, что может быть зафиксировано при помощи служащих для этой цели приборов — нуль-индикаторов. Вследствие высокой чувствительности нуль-ин­ дикаторов, а также потому, что меры могут быть выполнены с боль­ шой точностью, получается и большая точность измерений. Приме­ ром применения нулевого метода может быть измерение электриче­ ского сопротивления мостом с полным его уравновешиванием.

При дифференциальном методе, так же как и при нулевом, изме­ ряемая величина сравнивается непосредственно или косвенно с ме­ рой, а о значении измеряемой величины в результате сравнения судят но разности одновременно производимых этими величинами эффек­ тов и по известной величине, воспроизводимой мерой. Таким образом, в дифференциальном методе происходит неполное уравновешива­ ние измеряемой величины, и в этом заключается отличие дифферен­ циального метода от нулевого. Дифференциальный метод сочетает в себе часть признаков метода непосредственной оценки и часть при­ знаков нулевого метода. Он может дать весьма точный результат из­ мерения, если только измеряемая величина и мера мало отличаются друг от друга. Например, если разность этих двух величин равна 1 % и измеряется с погрешностью до 1 %, то тем самым погрешность изме­ рения искомой величины уменьшается до 0,01%, если не учитывать погрешности меры. Примером применения дифференциального ме­ тода может служить измерение вольтметром разности двух напряже­ ний, из которых одно известно с большой точностью, а другое явля­ ется искомой величиной.

Метод замещения заключается в поочередном измерении искомой величины прибором и измерении этим же прибором меры, воспроиз­ водящей однородную с измеряемой величину. По результатам двух измерений может быть вычислена искомая величина. Вследствие того что оба измерения делаются одним й тем же прибором в одинаковых внешних условиях, а искомая величина определяется по отношению показаний прибора, в значительной мере уменьшается погрешность результата измерения. Так как погрешность прибора обычно неоди­ накова в различных точках шкалы, наибольшая точность измерения получается при примерно одинаковых показаниях прибора. Приме­ ром применения метода замещения может быть измерение сравни­ тельно большого электрического сопротивления на постоянном токе путем поочередного измерения силы тока, протекающего через иско­ мое сопротивление и образцовое. Питание цепи при измерениях дол­ жно производиться от одного и того же источника тока. Сопротивле-

42

ние источника тока и прибора, измеряющего ток, должно быть очень мало по сравнению с измеряемым и образцовым сопротивлениями.

Метод совпадения — это такой метод, при котором разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, изме­ ряют, используя совпадение отметок шкал или периодических сигна­ лов. Этот метод широко применяется в практике незлектрических измерений. Примером может служить измерение длины штанген­ циркулем с 'Нониусом. В электрических измерениях в качестве при­ мера іМОЖНО привести измерение скорости вращения тела стробо­ скопом.

сов или скорости вращения тела), то время одного оборота тела будет равно пе­

Статическими называются измерения постоянных или установив­ шихся значений. К ним относятся и измерения действующих и амплитудных значений величин, но в установившемся режиме.

Если измеряются мгновенные значения изменяющихся во вре­ мени величин, то измерения называются динамическими. Если при динамических измерениях средства измерений позволяют непрерывно следить за значениями измеряемой величины, такие измерения на­ зываются непрерывными.

Можно осуществить измерения какой-либо величины путем из­ мерений ее значений в некоторые моменты времени tt, t2 и т. д., как показано на рис. 16. В результате окажутся известными не все зна­ чения измеряемой величины, а лишь значения в выбранные моменты времени. Такие измерения называются дискретными.

1 Обычно для этой цели на осп вращающегося тела укрепляют так называе­ мый стробоскопический диск с концентрическими рядами отметок различной формы.

43

Глава вторая

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

6. Основные понятия

Определение и виды погрешностей. Результаты измерения той или иной физической величины дают лишь приближенное ее значе­ ние. Отклонение результата измерения от истинного значения из­ меряемой величины называют погрешностью измерения. Однако поскольку истинное значение измеряемой величины остается не­ известным, взамен истинного значения принимают так называемое действительное значение, под которым понимают значение измеряе­ мой величины, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что может быть исполь­ зовано вместо него. По этой причине на практике можно найти лишь приближенную оценку погрешности измерения.

Иногда для характеристики результата измерения пользуются термином «точность измерения», иод которым понимают качество измерения, отражающее близость его результата к действительному значению измеряемой величины. Высокая точность измерения со­ ответствует малой погрешности измерения.

Погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины, называется абсолютной погрешностью, а отношение абсолютной по­ грешности измерения к истинному значению измеряемой величины —

Практически обычно пользуются приближенным значением от­ носительной погрешности, выражая абсолютную погрешность в про­ центах от действительного или измеренного значения. Погрешности считаются положительными, если результат измерения превышает действительное значение. В противном случае погрешности являются отрицательными.

Взависимости от характера изменения погрешности различают:

1)систематические погрешности — погрешности, остающиеся по­ стоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измере­

чайным образом при повторных измерениях одной и той же вели­ чины.

Кроме перечисленных погрешностей измерения, встречается так называемая грубая погрешность измерения, существенно превы­ шающая ожидаемую при данных условиях погрешность. Иногда грубую погрешность измерения называют также промахом. Приме­ ром промахов могут быть неправильные отсчеты показаний средств измерения и др. Грубые погрешности измерения выявляются при повторных измерениях и должны быть отброшены, как не заслужи­ вающие доверия.

44

Систематические погрешности. Систематические погрешности разделяются на постоянные, т. е. погрешности, сохраняющие при повторных измерениях свой знак и величину, и переменные погреш­ ности, изменяющиеся по определенному закону. Примером постоян­ ной систематической погрешности может быть погрешность, обуслов­ ленная несоответствием действительного значения меры, с помощью которой производится измерение, ее нормальному значению. При­ мером переменной систематической погрешности может быть по­ грешность от постоянного изменения напряжения вспомогательного источника питания (разряд аккумулятора или элемента), если ре­ зультат измерения зависит от величины этого напряжения. . Дл я учета и исключения систематических погрешностей необходимо рас­ полагать возможно полными данными о наличии отдельных видов погрешностей и о причинах их возникновения. Систематические по­ грешности могут быть исключены или значительно уменьшены уст­ ранением источников погрешностей или введением поправок, уста­ навливаемых на основании предварительного изучения погрешно­ стей, путем поверки мер и приборов, используемых при измерении, введением поправочных формул и кривых, выражающих зависимость показаний приборов от внешних условий (например, температуры) и т. д. Систематические погрешности могут быть также исключены путем нескольких проведенных определенным образом измерений. Одним из таких приемов является метод замещения. Возможны и другие приемы исключения систематических погрешностей. Приме­ нение того или иного способа устранения систематических погреш­ ностей зависит от требуемой точности, условий проведения экспери­ мента, наличия поправочных формул и других причин.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий практические приемы учета п умень­ шения систематических погрешностей измерения. Допустим, что необходимо намерить с возможно большей точностью э. д. с. некоторого источника постоян­ ного тока, имеющего внутреннее сопротивление около 20 О.м. Дл я измерения имеется вольтметр постоянного тока класса точности 0,5, имеющий пределы из­ мерения 0—1,5 — 15—150—1500 В . Шкала прибора имеет 150 равномерных делений с зеркальным отсчетом. Ток полного отклонения указателя прибора равен 3 мА. Измерение производится в помещении с нормальными для работы

Анализируя возможные причины появления составляющих погрешности измерения, можно установить следующее. Имеется систематическая составляю­ щая погрешности метода измерения, вызванная потреблением мощности вольт­ метром. Так как ток отклонения указателя прибора на отметку шкалы 1,0 равен 2 мА, то составляющая этой погрешности может быть приблизительно равна — 0,04 В. Погрешность результата измерения может быть значительно уменьшена введением поправки, равной +0,04 В, т. е. за значение э. д. с. элемента следует принять величину 1,015 В .

Случайные погрешности. Случайные погрешности обнаруживаются при многократном измерении искомой величины, когда повторные измерения проводятся одинаково тщательно и, казалось бы, при од­ них и тех же условиях. Случайные погрешности нельзя исключить

45

опытным путем, но их влияние на результат измерения может быть теоретически учтено путем применения при обработке результатов измерений методов теории вероятностен.

7. Вероятностные оценки ряда наблюдений

Оценка ряда наблюдений. При выполнении повторных наблюдений имеется в виду соблюдение правильности измерений, под которой понимают качество измерений, отражающее близость к нулю си­ стематических погрешностей в их результатах. При этом условии наиболее достоверное значение, которое можно приписать измеряе­ мой величине на основании ряда наблюдений, есть арифметическое среднее из полученных значений, определяемое как

Отклонение менаду каждым из отдельных значений и средним арифметическим, т. е. их разности рг — ах — Л с р ; р2 == а2 — Асѵ; Рп —• ап — ^ср> называется случайным отклонением результата наблюдения и может иметь как положительный, так и отрицатель­ ный знак.

Одним из свойств среднего арифметического является то, что алгебраическая сумма случайных отклонений результатов наблюде­

результата наблюдений. При неограниченно большом числе наблюде­

способов. Наиболее распространена оценка в виде среднего квадратического отклонения результата наблюдений, под которым понимают параметр функции распределения результатов наблюдении, характе­ ризующий их рассеивание и равный корню квадратному из диспер­ сии .результата наблюдения с положительным знаком.

Как следует из приведенного определения, для нахождения среднего квадратического отклонения необходимо знать закон рас­ пределения случайной погрешности. В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон (Гаусса), который ба­ зируется на двух аксиомах:

1)при очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто;

2)чаще всего встречаются меньшие погрешности, а большие погрешности встречаются тем реже, чем они больше.

46

Математически нормальное распределение случайных погрешно­ стей может быть представлено следующей формулой:

(31)

где р (о) — плотность вероятности случайной погрешности Ô; о* — среднее квадратическое отклонение.

Характер кривых, описываемых уравнением (31) для двух зна­ чений о, показан на рис. 17. Из этих кривых видно, что чем меньше о", тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т. е. тем

ряда наблюдений (или срединная погрешность). Вероятной погреш­ ностью называется такая погрешность, относительно которой при повторных измерениях какой-либо величины имеются Случайные погрешности, одна половина которых по абсолютной величине

Наряду с погрешностями о и е, применяется еще средняя ариф­

где I pu означает аосолютную величину остаточной погрешности. Можно также установить связь а и а. Оказывается, что

о'

1Деление суммы квадратов остаточных погрешностей па п — 1 вместо п приближает вычисляемое значение а к его теоретическому значению. Чем больше я, тем ближе вычисленное значение о к его теоретическому значению.

47

Погрешность среднего арифметического. Как ранее указывалось, среднее арифметическое ряда измерений Аср является лишь наиболее достоверным (следовательно, приближенным) значением измеряемой величины. IIa основании экспериментальных результатов можно дать вероятностную оценку погрешности среднего арифметического. (Погрешность среднего арифметического является случайной вели­ чиной.) Если случайные погрешности распределены по нормальному закону, Л с р также имеет нормальное распределение со средним квад-

ратическим отклонением оѵ'|/п. Для уточнения значения Аср можно выполнить Лг рядов измерений, на основании которых может быть вычислено среднее арифметическое результата измерений по сред­

ностью. Доверительный интервал выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются

погрешность по абсолютной величине будет больше За. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем За, будет маловероятным событием, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным ос­ нованием утверждать, что все возможные случайные погрешности

Закон равномерной плотности. Кроме нормального закона рас­ пределения случайных погрешностей, в практике электрических из­ мерений сравнительно часто встречается закон равномерной плот­ ности. При измерении какой-либо величины прибором всегда суще­ ствуют некоторые границы неопределенности, например, определяе­ мые основной погрешностью прибора. В пределах этих границ не­ возможно установить опытным путем значение измеряемой величины, которое в пределах границ может быть различным, причем эти зна­ чения могут оказываться равновероятными.

48

На рис. 18 показан симметричный закон равномерной плотно­ сти. Аналитически он может быть записан так:

В практике измерений встречаются и другие законы распреде­ ления, которые могут быть установлены на основании статистической обработки опытных данных.

8. Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений

Погрешность результата прямых измерений. Измерения физиче­ ских величин могут быть произведены с различной точностью. Иногда оказывается вполне достаточным знание приближенного значения измеряемой величины, полученного, например, по показанию при­ бора низкого класса точности. В некоторых научных исследованиях при измерениях, преследующих цель определения точности изготов­ ления какой-либо детали и др., оказывается необходимым дать оценку погрешности результата измерения или установить границы искомого параметра. Эти оценки могут быть получены на основании обработки результатов наблюдений. При выполнении точных изме­ рений имеется в виду их правильность, т. е. близость к нулю систе­ матических погрешностей. Как следует из § 7, для оценки случайных погрешностей необходимо знать закон их распределения. При из­ мерении какой-либо величины чаще всего имеется несколько источ­ ников случайных погрешностей, например, основная погрешность прибора, погрешность отсчета, неучтенные отклонения окружающей температуры от нормальной и др. Если соблюдены условия возмож­ ности применения центральной предельной теоремы теории вероят-

49