книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

Примером нелинейных операций является возведение в квадрат или в другие степени, логарифмирование и т. п. (в сейсморазведке — автоматическая регулировка амплитуд записи).

Остановимся на операции свертки, которая является важнейшим, наиболее часто применяемым преобразованием в цифровой обработке данных сейсморазведки.

Функция kt в выражении (1.34) называется весовой функцией свертки х . Поскольку операция свертки выполняется в одной и той же области (т. е. левая и правая части выражения (1.34) имеют один и тот же аргумент, и перехода из области времен в область частот не происходит), весовая функция к$ представляет собой просто после­ довательность чисел к0, кх, к2, . . ., кт.

В матричном представлении весовая функция свертки имеет вид

Для уяснения сущности операции свертки рассмотрим пример

вленной последовательностью kt — к0, &ь к2. Здесь каждая из трех последовательностей имеет всего три ординаты.

Запишем элементы входной последовательности xt в первой строке, располагая их по возрастанию индексов слева направо, а весовую функцию — во второй строке, располагая элементы в порядке возра­

Будем перемещать вторую строку слева направо, осуществляя такое перемещение дискретными шагами (каждый шаг равен интер­ валу временного квантования). После каждого перемещения произве­ дем следующие математические действия: 1) перемножим элементы входной последовательности на совпадающие с ними по вертикали элементы весовой функции kt; 2) сложим парные произведения эле­ ментов, получив, таким образом, элемент выходной последователь­ ности yt.

30

Последовательно проводимые этапы такого перемещения изобра­ жаются следующим образом.

1-й этап

У4 = ^2^2-

В результате проведения описанной операции свертки мы полу­ чили выходную последовательность

yt ~ ^о^о' (^I-^O ~Ь'^o^i)' (^г^о ^~ ^1^1 ~Ь ^-о^-г)» (^2^1 ~f~ ^ I * ^ ) ? кч,х2'

Отметим, что при выполнении операции свертки, как видно из разобранного примера, использовались только две арифметические операции: получение парных произведений элемента входной после­ довательности и элемента весовой функции и суммирование получен­ ных парных произведений. Приведенные операции и раскрывают существо формулы свертки (1.34).

стает, аргумент весовой функции убывает. В рассмотренном примере этот момент выразился в том, что мы с самого начала записали весо­ вую функцию в порядке возрастания индекса справа налево, в то время как у сворачиваемой функции индекс возрастал слева направо.

31

-%

Отмеченная особенность обусловливает свойство перестановоч­ ности (коммутативность) операции свертки. Это означает, что формулу (1.34) можно представить в виде

трудно убедиться, положив в рассмотренном выше примере весовую функцию kt — к0, ki, к2 равной соответственно 1, 0, 0.

Это свойство в сочетании со свойством коммутативности позволяет определять неизвестную весовую функцию kt некоторой системы. Для этого на вход системы следует подать единичную функцию xt =

32

При этом амплитудный спектр функции у, равен произведению амплитудных спектров функции xt и kt, а фазовый — сумме фазовых спектров этих функций:

z - П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я В Р Е М Е Н Н Ы Х П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т Е Й

z-преобразования последовательностей дискретных чисел, в част­ ности цифровых сейсмических записей, широко используются в тео­ рии цифровой фильтрации, позволяя давать весьма удобные и ком­ пактные описания процессов обработки. Рассмотрим получение z-пре­ образования из исходной временной последовательности чисто фор­ мально; в последующем будет раскрыт математический смысл пре­ образования.

z-преобразованием последовательности yt = у0, у1? уг, . . ., y„_t называется полином

Как видно из этого выражения, каждый элемент последователь­ ности преобразуется в член полинома следующим образом: элемент является коэффициентом при символе z, возведенном в степень, рав­ ную индексу элемента. Поясним формулу z-преобразования при­ мерами.

что символ z, являющийся сомножителем второго члена полинома, показывает, что элемент yt временной последовательности yt смещен на один шаг временного квантования записей по отношению к началу отсчета процесса; символ z2 означает, что элемент у2 смещен на два шага, символ zp — что элемент ур смещен на р шагов, и т. д.

Чтобы раскрыть математический смысл z-преобразования более полно, обратимся к преобразованию Фурье (1.15). Перепишем эту

Придавая I значения О, 1,. . ., представим это выражение следу­ ющим образом:

Согласно (1.41), z-преобразование той же временно!! последова­ тельности х имеет вид

Из сопоставления (1.42) и (1.43) вытекает, что если под символом единичного сдвига z понимать комплексную величину е"г ш , то z-пре­ образование некоторой временной последовательности есть своеобраз­ ное представление комплексного спектра этой последовательности. Это представление очень удобно: оно наглядно отображает структуру последовательности х( во временной области и в то же время обладает некоторыми преимуществами спектральных представлений.

Рассмотрим некоторые свойства z-преобразования. Начнем с опе­ рации свертки yt = kt * xt. Заменим последовательность xt и весо­ вую функцию kt их z-преобразованиями

х (z) — х0 - f хгг + x2z2 + • • • + ar„_1z("-D,

к (z) = к0 - f kxz + k2z2 +. . . + km„Lz(m-iK

Перемножим оба z-преобразования, т. е. получим произведение

Сопоставляя (1.44) с (1.41), легко увидеть, что первый член правой части (1.44) представляет собой начальный (нулевой) элемент выход­ ной последовательности, коэффициент при z — первый элемент вы­ ходной последовательности, коэффициент при z2 — второй элемент выходной последовательности и т. д., а вся правая часть (1.44) представляет собой z-преобразование выходной последовательности yt.

Следовательно, можно написать равенство

из которого следует, что произведение z-преобразований входного оператора и свертываемой с ним последовательности равно z-преобра- зованию результата свертки.

Свойство (1.45) z-преобразования совпадает с соответствующим свойством комплексных спектров [см. (1.38)]. z-преобразование сей­ смических сигналов часто используется как удобное средство количе­ ственного описания фазовых соотношений, характерных для этих

34

сигналов. Как известно [74], многочлен вида (1.41) всегда может быть разложен на произведение биномов:

где а 4 , а2, а3. . . — корни многочлена.

Во временной области разложению (1.41') соответствует покаскад­ ная свертка множества сигналов, характеризующихся двумя орди­ натами:

—аь 1> — я 2 > 1> —аз> 1» • • —ami 1>

Рассмотренные свойства z-преобразований позволяют раскрыть смысл некоторых терминов, которые будут встречаться в дальней­ шем.

1. Если некоторый сигнал у (t) представлен всего двумя ордина­ тами, т. е. у (z) = у0 + t/t z, то при у0 > г / 4 он называется мини­ мально-фазовым, или с минимальной задержкой (the minimum

ляется минимально-фазовым; сигнал называется максимально-фазо­ вым, если каждый из биномов является максимально-фазовым. Таким

задержку, в комплексной плоскости представляет собой окружность единичного радиуса. Поэтому иногда говорят, что сигнал является

Одним из основных процессов цифровой обработки сейсморазведочных данных является частотная фильтрация. Фильтрация есть линейное преобразование сейсмической записи, целью которого является изменение спектрального состава сейсмических записей — пропускание одних спектральных компонент и ослабление (подавле­ ние) других. В аналоговых обрабатывающих устройствах частотная фильтрация сейсморазведочных данных осуществляется физическими фильтрами, представляющими собой определенную совокупность эле­ ментов электрических схем. Для выбора требуемого режима фильтра­ ции рассчитывают схему физического фильтра, определяя параметры включаемых в нее деталей.

При цифровой обработке частотная фильтрация осуществляется либо во временной, либо в частотной области. В первом случае филь-

фильтра поступит новый импульс Хи в результате реакции фильтра на выходе возникнет величина к^с^ однако поскольку реакция филь­

реакция на ранее поданные импульсы хг и а 0 и т. д.

Как видно из изложенного, существует прямая связь между мате­ матической операцией свертки и физическим явлением возникнове­ ния импульсной реакции фильтра. Эта связь подчеркивает логически единую основу фильтраций, совершаемых как с помощью физических фильтров на аналоговых обрабатывающих машинах, так и с помощью цифровых фильтров на ЭВМ. Как известно, в области частот физиче­ ские фильтры характеризуются своей передаточной функцией — комплексной частотной характеристикой. Каждое значение передаточ­ ной функции для заданной частоты представляет собой, как правило, комплексную величину вида С (со) е- 1 ? ( ш > .

Дла цифровых фильтров передаточной функцией является дис­ кретный комплексный спектр весовой функции фильтра. Каждая составляющая комплексного спектра представляет собой комплекс­ ную величину вида Си е~г < Р и > . Подобно тому, как в физических филь­ трах выходная функция является результатом взаимодействия гар­ моник входной функции с гармониками передаточной функции филь­ тра, так и в цифровых фильтрах выходная последовательность является результатом взаимодействия комплексных спектров вход­ ной последовательности с оператором фильтрации. Чтобы найти амплитудный спектр выходной функции необходимо перемножить ординаты амплитудных спектров входного сигнала и весовой функ­ ции, относящиеся к равным частотам. Полученное произведение будет представлять собой ординату амплитудного спектра выходной (от­ фильтрованной) функции. Ординаты фазовых спектров входного сиг­ нала и весовой функции следует сложить. Полученная сумма будет

37

ординатой фазового спектра выходной функции. Например, если амплитудный спектр входной функции описывается частотной после­

то амплитудный спектр выходной функции, получаемой в результате

последовательностью <р0, ф ь ср2 . . . ., Фп _1, а фазовый спектр весовой функции — частотной последовательностью i])0 , ^ и ty2, . . ., ф„_1, то фазовый спектр выходной функции будет описываться последо­ вательностью ф0 + г|)0, ф! + 1» Фг + 'Фг, • • Фл-1 + 4>n-i-

Таким образом, физические и цифровые фильтры имеют следу­ ющие общие особенности.

\. Физические и цифровые фильтры характеризуются своей им­ пульсной реакцией, которая для цифрового фильтра представляет собой временную последовательность, выражаемую весовой функ­ цией фильтра.

?. Физические и цифровые фильтры характеризуются своей пере­ даточной функцией, которая для цифрового фильтра описывается дискретной частотной последовательностью, составленной в общем случае из комплексных элементов и равной дискретному комплекс­ ному спектру весовой функции фильтра.

3. Спектр выходной функции, получаемой в результате фильтра­ ции (как аналоговой, так и дискретной), может содержать только те частоты, которые присутствуют и в спектре входной функции, и

вспектре оператора.

4.При фильтрации аналоговых и цифровых сигналов происходит увеличение длительности выходных сигналов (по сравнению с вход­

ными). Исключением является идеальный обратный фильтр.

5. Для установления нормального режима фильтрации требуется некоторое время вхождения в заданный режим; у физических филь­ тров это время определяется зарядкой емкостных элементов схемы, у цифровых — совмещением всех элементов оператора с элементами фильтруемой последовательности.

Вместе с тем у физических и цифровых фильтров имеются и весьма существенные различия.

1. В отличие от физических цифровые фильтры всегда имеют дискретную весовую функцию и ограниченный величиной Q = +

частотный диапазон.

2. В зависимости от нашего пожелания цифровые фильтры могут иметь «собственный процесс», характеризующийся не только послед­ ствием, но и опережением во времени по отношению к моменту подачи сигнала на вход фильтра. У физических фильтров такого опережения быть не может. Иначе говоря, если на вход физического фильтра в момент времени t — О подается единичный импульс, то на выходе

38

весовой функции цифрового фильтра: у первой ординаты весовой функции, у последней, даже до первой и после последней (рис. 14). Эта особенность цифровых фильтров является их важным преимуще­ ством по сравнению с физическими фильтрами, работающими в ре­ жиме реального времени.

Для удобства описания процессов цифровой фильтрации каждый фильтр, обладающий определенными амплитудным и фазовым спек­ трами, может рассматриваться как совокупность некоторых элемен­

ющая выходную функцию, будет состоять из элементов, представля­ ющих собой произведение соответствующих элементов входной после­ довательности х на константу к: yt — kxt.

Фильтр, описываемый таким оператором, может быть уподоблен усилителю с постоянным коэффициентом усиления к, не зависящим от частоты входного сигнала и не создающим фазовых сдвигов гармони­

Такой фильтр также может быть уподоблен «идеальному» усилителю,

н о г о в р е м е н и , н а п р и м е р о с у щ е с т в л я ю щ и е ц и ф р о в у ю ф и л ь т р а ц и ю в п р о ц е с с е р е г и с т р а ц и и .

39