книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных
..pdfи входного |
сигналов, |
а сумма второго слагаемого — 9 — т-е |
|
значение автокорреляционной функции |
Ьу, (9—т) входного сигнала. |
||
Приравнивая |
выражение |
(6.41) нулю, |
получим |
г
2 l(x)bv.(Q~T)
= rxy.(Q). |
(6.42) |
Это соотношение, известное как уравнение Колмогорова — Винера [74] (в зарубежной литературе уравнение Винера — Хопфа), занимает важнейшее место в статистической теории фильтрации. Левая часть (6.42) представляет собой свертку весовой функции фильтра и функции автокорреляции Ъу, (9). Следовательно, экви
валентом (6.42) |
в области частот |
является |
соотношение |
|
L(w)By,(u) |
= Rxv,(«>), |
(6.43) |
где Ву, (&)wRxy, |
(со) — соответственно спектр мощности функции у' |
ивзаимный спектр функций х (t) и у' (t) (см. гл. 1). Аналогично в области z-представлений
l{z)by.{z)=rxy,{z). |
(6.43') |
Уравнения некоторых применяемых при цифровой обработке
фильтров вытекают из (6.42) и (6.43) как частные |
случаи. |
Подчерк |
||||
нем еще раз, что выражения (6.4?) и (6.43^, |
выведенные |
|
примени |
|||
тельно к одиночному импульсу ak |
S (t — Qk), остаются |
справедли |
||||
выми для всей суммы (6.30), если в выражении для у' (t) |
заменить |
|||||
ak на среднюю для всего процесса |
(6.30) величину а, квадрат кото |
|||||
рой равен дисперсии |
импульсной |
сейсмограммы |
к (t). |
При этом |
||
гху> |
(t) =• rxy (t), |
by' (t) = by |
(t), |
|
|
|
Bxy{td) |
= rxy(a), |
By. (a) = By |
(a). |
|
|
|
Обратные фильтры
Существует несколько разновидностей обратных фильтров — фильтр сжатия, фильтр ошибки предсказания, дереверберационный фильтр, корректирующий фильтр. Рассмотрим их подробнее.
Фильтр сжатия. Как уже указывалось, главной целью обратной фильтрации является получение процесса к (t) «в чистом» виде, т. е. наилучшее приближение («сжатие») каждого отдельного им пульса aks (t — Qk) к единичной функции (6.35). Такой фильтр является обратным по отношению ко всей совокупности компонент, входящих в выражение (6.31) для формы s (t) единичного импульса. Будем называть этот фильтр фильтром сжатия, или собственно обратным фильтром. Для фильтра сжатия х (t) = 8 ( I ) , следова тельно,
гхуф)~М |
k-*-T |
|
|
2 |
8(t)y"(t-Q) = Af [ ^ ( - e ) ] = s ( - 0 ) . |
(6.44) |
200
Здесь |
запись вида М |
(х) |
означает |
математическое ожидание |
величины |
х. Соотношение |
М[у' |
(—9)] = |
s (—0) справедливо в силу |
того, что |
математическое |
ожидание помех п (t) равно нулю. |
Таким образом, уравнение Колмогорова—Винера для обратного
фильтра сжатия будет |
иметь |
вид |
|
2 |
ln(x)by(Q-x) |
= s(-Q). |
(6.45) |
Частотный спектр «перевернутого» импульса s ( — В), как известно, равен комплексно-сопряженной функции S* (со) по отношению к спектру S (со) импульса s (0). Следовательно, аналогом выражения (6.45) в области частот является уравнение
В » { ( * > |
| S |
(<D)|2 + J - |
Б„(«>) |
|
|
fl2 |
|
Полагая Вп (со) =- 0, получаем |
частотную |
характеристику «идеа |
льного» обратного фильтра (6.33), выведенную в предположении отсутствия помех, как частный случай.
|
Фильтр |
ошибки |
предсказания, |
дереверберационный фильтр. |
||||||||||||
В |
отличие |
от фильтра |
сжатия, |
некоторые об |
|
|||||||||||
ратные фильтры |
предназначены |
|
для |
устране |
|
|||||||||||
ния действия не |
всех фильтрующих компонент |
|
||||||||||||||
[см. (6.31)], а только некоторых |
|
из них. Чаще |
|
|||||||||||||
всего наиболее нежелательным является фильт |
|
|||||||||||||||
рующее |
действие |
поверхностного разреза или |
|
|||||||||||||
водного |
слоя |
(при |
морской |
сейсморазведке), |
|
|||||||||||
выражающееся в появлении волн-спутников и |
|
|||||||||||||||
реверберации, |
сопровождающих |
|
каждый |
оди |
|
|||||||||||
ночный сейсмический импульс (рис. 86). Вол |
|
|||||||||||||||
ны, отраженные от разных |
границ |
01, |
02, |
. . ., |
|
|||||||||||
проходят один и тот же поверхностный разрез, |
|
|||||||||||||||
поэтому |
форма |
сложного |
импульса, |
включа |
|
|||||||||||
ющая волны-спутники и реверберации, яв |
|
|||||||||||||||
ляется |
относительно |
стабильной. Это |
позво |
|
||||||||||||
ляет, |
получив |
однажды |
необходимые |
данные |
|
|||||||||||
о |
форме |
|
сложного |
|
колебания, |
«предсказы |
|
|||||||||
вать» появление волн-спутников после каждой |
|
|||||||||||||||
регистрации основного (первого) импульса и |
|
|||||||||||||||
затем вычитать предсказанные мешающие ко |
|
|||||||||||||||
лебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
соответствии с изложенным |
будем |
назы |
|
|||||||||||
вать |
фильтром |
предсказания |
|
такой |
|
фильтр |
fH C - 8 6 - Постоянство |
|||||||||
1И 1 (*) который по |
значениям |
„ (й |
входной |
$SJS5^S? |
||||||||||||
функции |
в |
моменты |
времени |
t |
^ |
0 позволяет |
ном слое. |
201
найти оценку |
у |
(t) |
функции 1 |
у (t) в некоторый будущий |
момент |
времени 9 -+ а, |
а |
^ 1: |
|
|
|
|
|
lilui |
(t)y(Q—t) |
= x (9) = y(Q + а). |
(6.47> |
Величина а называется интервалом предсказания. Если пред шествующие значения процесса у (t), t ^ 9 нам известны точно и оператор предсказания l n i (t) выбран правильно, то ошибка пред сказания
|
e{Q + a) = y(Q + a)-y(Q + a) = ^lnl{t)y(Q-t)-y(Q |
+ a) (6.48) |
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
представляет |
собой |
непредсказуемую часть |
процесса |
у |
(t). |
Если |
||
е (9 + |
а) = 0, |
то, следовательно, значение |
процесса у (t) |
в момент |
||||
0 + а |
представлено |
волнами-спутниками |
и |
реверберациями, |
свя |
занными с предшествующими вступлениями волн, и никаких новых
вступлений — ни |
помех, ни полезных |
сигналов — не |
появилось. |
Если же 8 (9 + а) |
0, то, очевидно, такие вступления |
появились. |
|
Таким образом, |
последовательность |
е (t) ошибок предсказания |
|
представляет собой не что иное, как последовательность |
вступлений |
новых волн. Именно эти новые волны и представляют для нас инте
рес. Поэтому искомым фильтром |
l o n l (t) является |
оператор |
ошибки |
|||||||||
предсказания, |
определяемый |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
||||
|
e(0 = |
2 * o n i ( T ) y ( * - T ) , |
* = 0 + |
<x. |
|
|
(6.49) |
|||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая |
(6.48) и (6.49), можно найти связь между |
оператором |
||||||||||
предсказания |
l n i (t) |
и |
оператором ошибки |
предсказания |
l o n i |
(t). |
||||||
Если оператор |
Zn l (t) |
записать |
в |
виде l n i |
(t) |
= Z0, |
l u |
lz, |
. . ., |
ln, |
||
то соответствующий |
оператор |
Z o n l |
(t) с интервалом |
предсказания ос |
||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*oni(0 = |
l , |
0, 0, . . ., О, - / „ , |
- Л , . . ., |
-1П. |
|
(6.50) |
ан у л е й
Вобласти z-преобразований, очевидно,
lom(z) = l-lnl(z). |
(6.51) |
Найдем теперь выражение для фильтра предсказания l n i (t), пользуясь уравнением Колмогорова — Винера. В соответствии с (6.47) желаемым выходным сигналом х (t) для фильтра Zn l (t) явля ется входной сигнал в последующие моменты времени. Поэтому
гху (т) = Ьу (t + а)
1 Так как мы предсказываем мешающую компоненту записи с целью ее последующего вычитания, следует прогнозировать не только спутники и ре верберации, но и помехи n (t), т. е. процесс у (t) в целом.
202
и уравнение Колмогорова — Винера для фильтра |
предсказания |
п ринимает вид |
|
2 / П 1 ( т ) м е - т ) = М е + а ) . |
( 6 - 5 2 ) |
Особенностью этого выражения является то, что кроме неизвест
ной величины — фильтра l n i (т) — в него входит |
только |
функция |
|
автокорреляции исходной трассы Ъу (г). Определив |
из |
(6.52) lnl {t) |
|
с помощью зависимости (6.51). находим оператор |
/ о п 1 |
(t) |
фильтра |
ошибки предсказания х . |
|
|
|
Отметим одно интересное обстоятельство. Интервал предсказания а выбирается произвольно, и можно выбрать его так, чтобы, поль зуясь оператором lon t (t), предсказывать и вычитать не только волныспутники и реверберации, но и последующие экстремумы главного («чистого») импульса. Например, можно выбрать or, равное длине первого полупериода импульса s (t) (рис. 87): тогда все последующие полупериоды будут подавляться, т. е. будет достигнуто существенное сокращение длительности импульса. Можно далее выбрать а рав ным одному интервалу дискретности Дг. Тогда будут предсказываться и вычитаться все ординаты импульса, кроме первой. Это, в сущ ности, означает, что мы поставим задачу наилучшего приближения к единичному импульсу [его роль будет играть первая ордината импульса s (£)]. Оказывается [107], что в этом случае фильтр ошибки предсказания сводится к фильтру сжатия. Таким образом, послед ний может рассматриваться как частный случай фильтра предска
зания при |
сс—1. В |
общем случае |
фильтр ошибки |
предсказания |
превращает |
сложный |
импульс (рис. 87) длиной а |
+ п значений |
|
в более короткий импульс длиной а |
значений. |
|
Рассмотрим еще один частный случай фильтра ошибки предска зания, когда причиной образования сложного импульса является водная реверберация (рис. 88). Будем считать, что источником возбуждения генерируется одиночный импульс s0 (t). Принимая коэффициент отражения от границы вода — воздух за —1 и обо значая коэффициент отражения границы вода—дно через к, мы можем представить волну, прошедшую водный слой и распространяющуюся
в толще |
пород, в виде последовательности импульсов s0 (t), — ks 0 (t), |
k2s0 (t), |
— k3s0 (t) . . . Эти импульсы располагаются через интервалы |
времени, равные удвоенному времени пробега Е±Т в слое воды, и обу
словлены |
реверберацией. |
Преобразование |
исходного |
одиночного |
||
1 М о ж н о |
было бы о п р е д е л я т ь фильтр 1оПх |
(t) н е п о с р е д с т в е н н о и з у р а в н е н и я |
||||
К о л м о г о р о в а — В и н е р а , п о л а г а я |
х |
(t) равным |
и с к о м о м у «чистому» |
с и г н а л у без |
||
в о л н - с п у т н и к о в и р е в е р б е р а ц и и . |
Однак о это |
менее |
у д о б н о , так |
к а к «чистый» |
с и г н а л |
н а м никогда з а р а н е е не |
известен, |
а |
а в т о к о р р е л я ц и ю |
Ву (т) |
л е г к о |
о п р е |
|
делить |
непосредственно |
п о н а б л ю д е н н о м у |
м а т е р и а л у у (t). |
К р о м е |
т о г о , |
вычи |
||
с л е н и е |
н е п о с р е д с т в е н н о |
Z n i С) |
оказывается |
более г р о м о з д к и м . |
|
|
203
о
г
Р и с . 87. Выбо р интер вал а предсказани я а пр и прогностическо й обратно й фильтрации .
а — о д и н о ч н ы й с и г н а л 8 (V) в х о д н о й трассы у (t),
б — ф у н к ц и я |
а в т о к о р |
||
р е л я ц и и |
by(x) = |
6 S (т) |
|
в х о д н о й |
трассы; |
в — |
|
ф у н к ц и я |
а в т о к о р р е л я |
||
ц и и ь |
(т) = b s |
(т) вы |
х о д н о й т р а с с ы ; г — о д и
ночный с и г н а л s |
(<) вы |
х о д н о й трассы |
у ((). |
а
|
Р и с . |
88. Р е в е р б е р а ц и я |
в |
водном |
слое . |
|
|
|
а — х о д л у ч е й ; б — |
одиночный |
и м п у л ь с бе з р е в е р б е р а ц и и ; в — |
одиночный |
|||||
и м п у л ь с |
с р е в е р б е р а ц и е й п р и |
н е б о л ь ш о й |
г л у б и н е |
в о д н о г о |
с л о я |
(малое |
||
Д Т ) ; г — о д и н о ч н ы й и м п у л ь с с р е в е р б е р а ц и е й п р и б о л ь ш о й |
г л у б и н е |
|||||||
в о д н о г о |
с л о я ( б о л ь ш о е ЛТ); д, |
е, ж — |
соответствующие с л у ч а я м |
б, в, г |
||||
|
|
ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и . |
|
|
|
импульса S0 (t) в такую последовательность можно рассматривать как результат действия некоторого оператора
Q = l, 0, 0, . . ., —к, 0, 0, . . ., к\ 0, 0, . . ., -А», 0, 0 . . .,
где отличные от нуля значения встречаются через каждые п = А.Т/Ы точек.
Весьма просто выглядит z-преобразование оператора Q: Q(z) = l-kzn + k*z™-k3z*n + .. - = - д а г .
Каждая волна, отраженная в толще пород, выходя к приемнику, вновь проходит через водный слой и претерпевает те же воздействия, что и возбужденный сигнал. Поэтому действие водного слоя на пути волны в прямом и обратном направлениях описывается оператором реверберации
Q2(z)= ( 1 _ Д 2 П ) а ~l-2kzn |
+ 3kz™-4kzsn+. |
. ., |
(6.53) |
а сложный импульс на выходе этого оператора имеет вид
s (z) = s0 (z) <?2 (z) = s0 (z) (1 - 2kzn + 3kzm-Akz3n |
+ . . . ) . |
205
Компонентой, подлежащей предсказанию и последующему вы читанию, является выражение
s0 (z) ( - 2kzn + |
- . . .) = s0 (z) [Q2 (z) - 1 ] . |
Построим уравнение Колмогорова — Винера. Продолжая опе рировать в области z-преобразований, с учетом некоррелированно сти полезной компоненты и помех (rSn (z) — 0), находим
V (z) = bs (z) + bn (z) = [s0 (z) Q* (z)f +^-bn (z),
rxy.(z)=s*0(z)QHz) [Q*(z)-\],
откуда
Q2 (*) + |
|
J2 |
S%(Z)Q*(Z) |
Оператор ошибки предсказания определяется соотношением (6.51).
При отсутствии помех подстановка Вп |
(z) = |
0 в (6. 54) и затем — |
|||
в (6.51) приводит к широко известному |
[109] дереверберационному |
||||
оператору / д 1 (z): |
|
|
|
|
|
*дх (z ) = -ш = (1 + k z n ) 2 |
= 1 |
+ 2 к г П |
+ kzZn- |
|
(6-55) |
Этот фильтр выделяется среди |
других |
обратных |
операторов |
||
своей простотой — он представлен всего |
тремя отсчетами |
(рис. 89). |
|||
Однако он обладает слабой помехоустойчивостью и не может |
устра |
||||
нять реверберации, связанные с другими |
(помимо поверхности воды |
||||
и дна) границами. Поэтому фильтр ошибки |
предсказания |
общего |
|||
вида (6.52) находит более широкое |
применение. |
|
|
Корректирующий (формирующий) фильтр. Задачей корректиру ющей фильтрации является устранение изменчивости формы записи по профилю, связанной с изменчивостью поверхностных условий, и обеспечение стабильности (по профилю) некоторой выбранной
заранее |
«наиболее |
подходящей» |
формы одиночного импульса. |
Опти |
|
мальным |
образом |
эта задача |
решается с помощью фильтра |
(6.42) |
|
|
3* |
SA* |
|
|
|
|
-2к |
|
|
|
|
|
Входной |
сигнал |
Фильтр |
Выходной сигнал |
|
|
|
|
Р и с . 89. М о д е л ь д е р е в е р б е р а ц и о н н о й ф и л ь т р а ц и и .
206
общего вида, обеспечивающего наилучшее (в среднеквадратичном
смысле) приближение к заданной форме х (t) |
сигнала: |
т |
|
2 h(r)by'(Q-x)^rXV'(Q)=x(Q)*y'(-Q). |
(6.56) |
В сущности, этот фильтр не является обратным. Однако он по явился в результате попыток устранения некоторых нежелатель ных эффектов «чистой» обратной фильтрации. Кроме того, он как бы содержит обратный фильтр в качестве своей компоненты. В самом деле, произвольный желаемый сигнал х (t) всегда можно предста вить как результат свертки с единичным импульсом а (£) (6.35):
x(t) — |
x(t)*8{t). |
|
Следовательно, (6.56) можно |
переписать в |
виде |
Х=0 |
|
|
или с учетом (6.44) |
|
|
г |
|
|
2 l1(x)by,{Q—x) |
= x{Q)*s{-Q). |
(6.57) |
т = о |
|
|
Переходя в область частот, получаем
/>1 (ш)Ди (<в)«яХ(©)5» (09),
откуда
Ь * И = тгЩ) х ( с ° ) = ь * ( с о ) х ((0)- |
( 6 - 5 8 ) |
Таким образом, |
оптимальный |
|||||||
корректирующий |
фильтр |
|
можно |
|||||
рассматривать |
как |
два |
последо |
|||||
вательно |
включенных |
фильтра: |
||||||
оптимальный |
|
обратный |
|
фильтр |
||||
сжатия |
L c i (to) и фильтр |
с произ |
||||||
вольной |
частотной |
характеристи |
||||||
кой X (со). В |
идеальном |
случае |
||||||
[при |
отсутствии |
|
помех |
п (t)] |
||||
фильтр Zc l (co) превращает |
сигнал |
|||||||
s (t) в |
единичный |
|
импульс б (t). |
|||||
Тогда фильтр |
с частотной характе |
|||||||
ристикой X (со), воздействуя на |
||||||||
полученный |
единичный |
импульс, |
||||||
дает на выходе |
желаемый |
сигнал |
||||||
х (t). |
Чем выше |
уровень |
помех, |
|||||
тем сильнее |
отличается результат |
|||||||
действия |
фильтра |
L c |
i (со) от |
Р и с . 90. |
Разновидност и обратны х |
|
фильтров . |
а — фильтр |
с ж а т и я ; б — фильтр с ж а т и я |
сз а д е р ж к о й ; в — к о р р е к т и р у ю щ и й
фильтр; г — фильтр о ш и б к и п р е д с к а з а н и я .
единичного импульса б (t), а результат действия всего фильтра L c l (со) Х((и) в целом — от желаемого импульса х (t). Схематически действие различных обратных фильтров показано на рис. 90.
Фильтр оптимального воспроизведения сигнала
Для фильтра оптимального воспроизведения желаемым сигналом на выходе является сигнал на входе, освобожденный от помех, следо
вательно, |
x(t) = s (t); |
rxy, |
(9) = rsu' (9) = bs (9) + |
± - r s n (9). |
|
|
Но так как сигнал и помеха статистически независимы, то rsn |
(8) = |
|||||
= 0. Следовательно, гху. |
(9) = |
bs (9). Аналогично, |
|
|
||
|
V ( 0 - T ) |
= 6 s ( e - x ) + 6„(e—t), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(6.59) |
|
Вху> N = | S (со) |2 , |
Ву. (со) = | S (со) |2 + |
Вп (со). |
|
||
Подставляя |
эти соотношения |
в (6.42) и (6.43), получим |
|
|||
|
т |
|
|
|
|
|
|
2 М т ) b y . { Q - x ) ^ b s ( Q ) , |
|
(6.60) |
|||
|
м » н - £ 4 § £ - — ^ |
. |
( 6 . 6 1 ) |
Из выражений (6.59)—(6.61) видно, что оптимальный фильтр воспроизведения сигнала целиком определяется через автокорреля ционные функции сигнала и помех на входе (либо через модуль спектра сигнала и спектр мощности помех) и не требует знания конкретной формы сигнала, в частности его фазового спектра.
Оптимальные фильтры обнаружения
Вернемся к фильтру обнаружения Z3 (t), условием оптималь ности которого является выражение (6.39). Пусть формам (t) вход
ного сигнала описывается функцией, имеющей ненулевые |
значения |
в моменты времени t = —tu — -f-1, . . ., — 1 , 0 , 1 , . . .,t2 |
— 1 , 12. |
Будем считать временем прихода этого сигнала момент £0 —0. Чтобы найти фильтр, максимизирующий отношение (6.39) в момент вре мени t = 0 (выходной сигнал s (t) в этот момент должен принять пиковое значение), воспользуемся неравенством Шварца — Буняковского, гласящего, что если а (х) и 6 (х) — произвольные комплекс-
208
ные функции, и а* (х) — функция, комплексно сопряженная с а (х), то справедливо соотношение
|
|
|
|
|
| J g * ( , ) P W < f a | |
|
|
|
|
|
|
|
[j" |
|а(ж)|2йж flP (x)\2dx]l/* |
' |
|
|
||
причем |
знак |
равенства |
(т. е. |
максимум |
правой |
части) |
имеет |
место |
|
только |
тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
${х) = са{х), |
|
|
|
(6.63) |
|
где с — константа. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Полагая |
f} (х) = L (со), |
а (х) = S (со) |
и учитывая, |
что |
с точ- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
ностью |
до константы |
всегда |
можно считать |
J | а (х)\2 |
dx = |
п0, мы |
|||
|
|
|
|
|
|
- о о |
|
|
видим, что правые части (6,39) и (6.62) имеют одинаковую структуру. Следовательно, (6.39) максимизируется в том случае, когда в соот
ветствии с (6.63) |
|
|
L s (to) = cS* (со). |
(6.64) |
|
Переходя к временному |
представлению, |
получим |
l3(t) |
= cs(-t). |
(6.65) |
Таким образом, при помехах, представленных белым шумом, фильтр обнаружения имеет амплитудную частотную характеристику, совпадающую (с точностью до постоянного множителя) с модулем спектра одиночного полезного сигнала; весовая функция фильтра повторяет зеркальное отображение полезного сигнала.
Перейдем теперь к более общему случаю стационарных коррели рованных помех п (t), рассматривая по-прежнему модель у' (t) вместо у (t). Вывод формулы для частотной характеристики фильтра J8 (t) в этом случае можно построить, исходя из следующих сообра жений. Представим искомый фильтр как совокупность двух линей ных фильтров, действующих последовательно. Задачей первого фильтра является превращение помехи п (t) в белый шум. Для этого,
очевидно, он должен иметь частотную |
характеристику |
L'a(<*)=Vn0/Bn(ri), |
(6.66) |
где Вп (со) — спектр мощности помехи; п0 |
— постоянная, формально |
соответствующая спектру мощности белого шума на выходе фильтра. Поскольку на выходе фильтра L ' 3 (со) помеха станет белым шумом, вторым фильтром L'a' (со) должен быть фильтр типа (6.64). Однако вместо S* (со) в формулу (6.64) мы должны теперь подставить ком плексно сопряженный спектр полезного сигнала на выходе первого
фильтра, равный |
|
S* (со)Ь'ъ (со) = S* (со) Уп0/Ва{а). |
(6.67) |
14 З а к а з 312 |
209 |