книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

против какого класса мешающих факторов направлен фильтр. В упро­ щенной статистической модели сейсмической записи [уравнение (6.1)] мы выделили два главных класса мешающих факторов — ад­ дитивные помехи и искажающие полезный сигнал фильтры. Преобра­ зования, направленные на выделение полезных сигналов из адди­

фильтра совпадает или согласуется с амплитудным спектром полез­ ных сигналов.

Фильтрации, направленные в основном на устранение нежелатель­ ных фильтрующих компонент, называются обратными. Амплитудная и фазовая частотные характеристики такого фильтра в общем случае близки к обратным по отношению к амплитудному и фазовому спект­ рам той компоненты, которую требуется подавить.

1. Фильтрация во временном представлении. Задается входной сигнал у (t) и оператор фильтра I (t), по которым непосредственно вычисляется выходной сигнал у (t).

180

2. Фильтрация в частотном представлении. Собственно фильт­ рация заключается в перемножении комплексного спектра У (со) входного сигнала и комплексной частотной характеристики L (со) фильтра. Однако с этим видом фильтрации неразрывно связана необходимость выполнения прямого преобразования Фурье для получения спектра Y (со) по входному сигналу у (t) и затем обрат­ ного преобразования Фурье для получения выходной трассы у (t) по ее спектру Y (со) (рис. 79).

Для дискретных временных последовательностей, с которыми мы имеем дело при цифровой обработке, существует еще один способ представления — z-преобразование, сочетающее в себе свойства как временного, так и частотного представлений. Фильтрация может быть выполнена также и в области z-представлений.

Все три способа расчетов в основном эквивалентны между собой, и выбор того или иного способа определяется главным образом эко­ номическими соображениями.

Разделение фильтров на одно- и многоканальные, линейные и не­ линейные, согласованные и обратные и т. д. базируется на разных признаках, поэтому один и тот же конкретный случай фильтрации может быть одновременно отнесен к нескольким видам, например линейная, инвариантная во времени, пространственно-временная согласованная фильтрация, выполняемая в частотном представлении. Взаимоотношение между различными видами фильтрации схемати­ чески отображено на рис. 77. При дальнейшем изложении мы не бу­ дем каждый раз давать всестороннюю характеристику фильтрации,

А Л Г О Р И Т М Ы О Д Н О К А Н А Л Ы Ю Й Ф И Л Ь Т Р А Ц И И

В соответствии с двумя аспектами проблемы фильтрации выделяют два этапа: выбор фильтра и собственно фильтрацию. При этом, если первый этап в корне различен для разных видов фильтрации, то второй является одинаковым. Поэтому алгоритмы собственно фильт­ рации — вычисления выходного сигнала по заданному входному сигналу и фильтру — целесообразно рассмотреть отдельно, независимо от способов расчета параметров фильтра.

181

Если оператор фильтра является симметричным относительно

точки А: = 0, т. е. l_ 4 = lt; 1_2 — 12; . . .; lm = lm'i 2то - j - 1 = М, то вместо (6.2) имеем

На рис. 80 для этого же примера показано графически взаимо­ действие входного сигнала и оператора при выполнении свертки.

быть «перевернут» (рис. 80). Это отличает алгоритм свертки от функ­ ции взаимной корреляции (1.57)—(1.59) диух процессов, когда ни один из процессов не «переворачивается». С изменением аргумента i (времени) оператор фильтра «движется» слева направо вдоль сигнала. Для каждого значения происходит попарное перемножение совпав­ ших во времени отсчетов сигнала и оператора; сумма этих произве­ дений дает значение выходного сигнала для данного i. Процесс продолжается до тех пор, пока оператор фильтра не переместится

182

Алгоритм свертки, представленный выражениями (6.2) или (6.3), является основным алгоритмом практического осуществления цифро­ вой фильтрации.

^-Преобразование. Очень удобным для анализа алгоритмов филь­ трации является представление дискретных функций в виде их z-транс-

выражением

Подстановкой z = е-*га Д ( , где z выражает задержку какого-либо значения сигнала на один интервал дискретной шкалы времени, получаем z-преобразование х (z) функции xt:

Так как z-преобрааование эквивалентно одному из представле­ ний спектра функции, операции с z-преобразованиями аналогичны операциям со спектрами. В частности, процесс фильтрации, опи­ сывающийся в частотном представлении произведением спектров

183

. . . есть полином (6.5), вычислительным процессом, соответству­ ющим фильтрации в области z-представлений, является перемноже­ ние полиномов.

Уо = Uoht

Ув = УА,

т. е. получаем те же самые значения, что и при вычислении по фор­ муле свертки. z-Преобразование используется как удобная форма описания дискретных временных рядов вида yk или lk, но для прак­ тического осуществления фильтрации оно применяется редко.

Рекурсивная фильтрация. Допустим, что некоторый фильтр

184

или

y(z)b(z) = y(z)a(z).

Перейдем к временным представлениям, заменив произведение z-трансформант сверткой соответствующих временных рядов:

у *Ъ = у *а.

Проделаем преобразования, соответствующие этой формуле, на конкретном примере. Выберем

Или в общем виде

пm

г=о /=0

185

Процесс получения последовательности у0, уи у2, • • • с помощью (6.11) и есть рекурсивная фильтрация. Из (6.10) и (6.11) видно, что очередной отсчет выходного сигнала при рекурсивной фильтрации

значений входного сигнала и объясняет название «рекурсивная фильтрация».

и подсчет по формуле (6.11) окажется более быстрым, чем по обычной формуле свертки (6.2). Особенно заметно преимущество рекурсив­ ной фильтрации при реализации узкополосных и режекторных фильт­

1151 и сводится к определению корней z полиномов числителя и зна­

«полюсами», полностью характеризуют свойства фильтра. Действи­

комплексной плоскости, то решение остальных проблем будет про­ стым.

Весьма сушественно, чтобы все корни знаменателя — «полюсы» были по модулю больше единицы. В противном случае фильтр будет нестабильным, т. е. не сможет описываться ограниченным числом весовых коэффициентов. Это легко показать на рассмотренном при­

делим из (6.8). Действуя по правилу деления многочленов, получим

Напомним, что фильтр с весовой функцией, z-представление которой имеет все корни по модулю больше единицы, называется минимально-фазовым (см. гл. 1).

186

Фильтрация в области частот

В ряде случаев фильтрацию более целесообразно осуществлять в частотной области. При этом, как уже говорилось, для входной

Затем находят комплексный спектр Y (п) выходной трассы путем перемножения Y (п) и заданной комплексной частотной характери­ стики L (п) фильтра:

Y (и) = Y (п) L (п).

После этого вычисляют выходную трассу yk путем обратного преобразования Фурье ее комплексного спектра:

эффекта, возникающего при декретировании непрерывных времен­ ных функций (см. гл. 1).

Фильтрации во временной и частотной области эквивалентны между собой. Выбор того или иного варианта расчетов определяется экономическими соображениями. Естественно, что перемножение спектров требует значительно меньше машинного времени, чем свертка (I.N операций). Однако вычисление прямого и обратного преобразования Фурье по обычным формулам (6.14) и (6.15) требует TV2 операций, что значительно превышает число операций при свертке.

В 1955 г. был найден новый алгоритм преобразования Фурье, получивший но имени авторов название «алгоритм Кули—Туки» или алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), который

1 Точнее, главный полупериод периодического комплексного спектра дискретной функции (см. гл. 1).

187

позволяет выполнить преобразование Фурье, используя 2NlgN операций. Это делает расчеты в частотной области более экономичными чем во времени, особенно для больших массивов чисел, характерных для задач обработки сейсмических данных.

Алгоритм быстрого преобразования Фурье. Предположим, что нам нужно рассчитать уравнение (6.14). Запишем его в виде матрицы,

Квадратная матрица в (6.17), если в ней поменять местами вторую третью строки, может быть преобразована следующим образом:

(6.18)

Введем обозначение

V i ( 3 )

Выражение (6.17) после подстановки в него (6.19) с учетом пере­ мены мест второй и третьей строки принимает вид

(6.20)

188

а затем изменить порядок бит в каждом аргументе на обратный, т. е.

00 00

01 -> 10

1001

1111,

то матрица [ Y (п) | примет вид

Следовательно, будет иметь именно тот порядок членов, который был принят для удобного разложения квадратной матрицы Ъ в выражении (6.17). Эта закономерность справедлива для любого N.

Продолжим основное решение. Из выражения (6.19), выполняя перемножение матриц, имеем

Аналогично из (6.20) получим:

189