книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

Таким образом, учитывая (6.64), (6.66) и (6.67) и опуская кон­ станты с и п0, имеем

Весовая функция l3 (t) фильтра обнаружения может быть полу­ чена обратным преобразованием Фурье выражения (6.68). Сделаем

Здесь предполагается, что длина оператора фильтра равна длине полезного сигнала.

Сравнение характеристик различных оптимальных фильтров

Полученные выражения (6.45), (6.46), (6.52), (6.55), (6.57), (6.58) (6.59), (6.61), (6.68), (6.69) описывают частотные характеристики и весовые функции всех основных видов оптимальных временных цифровых фильтров, применяемых в сейсморазведке. Сравним частотные характеристики обратного фильтра сжатия (этот фильтр будем считать основным из всех обратных фильтров)

Эти три вида фильтров построены, исходя из различных крите­ риев, и должны решать разные задачи. Их типичные частотные характеристики различаются весьма значительно. Особенно велики различия между обратными фильтрами, с одной стороны, и филь­ трами воспроизведения и обнаружения, с другой. В частности, при

210

фильтров воспроизведения и обнаружения похожи на модуль спектра полезных сигналов; они как бы согласуются с сигналом (рис. 91). Поэтому фильтры L 2 (со) и L s (со) получили название согласованных. Наилучшим образом согласуется со спектром сигнала фильтр обна­ ружения: при равномерном спектре помех Вп (со) = const (помеха— белый шум) амплитудная характеристика фильтра совпадает (с точ­

к обратной по отношению к амплитудному спектру сигнала и, сле­ довательно, по отношению к характеристике согласованных филь­ тров. Таким образом, если согласованные фильтры стремятся пропу­ стить сигнал и подавить помеху (предполагаем, что помеха имеет более широкий спектр, чем сигнал), то обратный фильтр как бы стремится подавить сигнал и пропустить помеху. На самом деле, задача оптимального обратного фильтра — сделать спектр сигнала равномерным в области, где сигнал преобладает над помехой, и ослабить спектр помехи в области, где она преобладает над сигна­ лом. Но так или иначе, а форма частотных характеристик обратных фильтров обусловливает существенно более низкую помехоустойчи­ вость, чем у согласованных. Помехоустойчивость обратных филь­ тров тем ниже, чем уже спектр полезного сигнала и чем круче спадает

Из этого соотношения видно, что в присутствии помех обратный фильтр сжатия может рассматриваться как комбинация двух фильт­ ров, включенных последовательно: первый фильтр должен опти­ мальным образом воспроизвести полезный сигнал на фоне помех, а второй — идеальный обратный фильтр 1/S (со) — произвести обрат­ ную фильтрацию. Необходимость в фильтре Ьг(ы) перед идеальным обратным фильтром очевидна: фильтр 1/S (со) в области малых значений сигнала обладает чрезмерной чувствительностью к поме­ хам и, следовательно, в присутствии помех дает неустойчивое ре­ шение.

Связь между фильтрами L t (со) и Ь3 (со) можно установить из следующего рассуждения. Допустим, что предстоит решить задачу обнаружения сигнала, но, в отличие от стандартной постановки задачи, требуется обеспечить максимальную разрешенность записи,

избрать фильтр обнаружения ls (t), но в качестве помех рассматри­ вать не только собственно помехи п (t), но и все сигналы, кроме к-то. Так как сейсмических сигналов в пределах сейсмограммы бывает очень много, понятие «все сигналы, кроме к-то», по сути не отличается от понятия «все сигналы». Поэтому вместо п (t) в (6.72)

Это выражение совпадает с уравнением (6.70). Следовательно, фильтр обнаружения, обеспечивающий наилучшую разрешенность записи, эквивалентен обратному фильтру сжатия.

Посмотрим, как меняются свойства фильтров в зависимости от отношения сигнал/помеха. Из (6.70)—(6.72) видно, что с изме­ нением этого отношения характеристика фильтра L s (со) не меняется.

212

Таким образом, при отсутствии помех фильтр L 2 (со) вполнеточно воспроизводит сигнал (все составляющие спектра пропуска­

хах фильтр воспроизведения настраивается на сигнал еще более остро, чем фильтр обнаружения. Что же касается обратного филь­ тра, то он, оставаясь фильтром, обеспечивающим максимальную разрешенность сигналов, практически перестает быть обратным и превращается в согласованный. Мы видим, что оптимальный обрат­ ный фильтр, в отличие от идеального, является сравнительно устой­ чивым по отношению к помехам, если он выбран с учетом реального отношения сигнал/помеха.

Независимо от этого отношения, фазовый спектр, обратного фильтра (как и фильтра обнаружения) всегда равен по абсолютной величине, но противоположен по знаку фазовому спектру полезного сигнала. Поэтому одиночный сейсмический импульс s (t), получаю­ щийся на выходе обратного фильтра при подаче на его вход импуль­ са s (t), всегда является симметричным импульсом: s (t) = s(—t), причем максимальная ордината приурочена к оси симметрии. Чем

выше отношение сигнал/помеха, тем уже получается главный мак­ симум выходного сигнала, в котором концентрируется основная энергия импульса s (t).

Рассмотрим теперь вопрос выбора типа фильтра. В случае, когда требуется воспроизвести сигнал с наименьшими искажениями, воп­ рос решается просто: следует выбрать фильтр L 2 (со). Казалось бы, так же очевиден выбор и в случае, когда необходимо определить зависимости х (х, t). Использование оптимального обратного филь­ тра сжатия Li (со) (или фильтра ошибки предсказания с а = 1 ) в этом случае обеспечит получение оптимальной оценки % (t) одно­ мерной функции х (t) для каждой трассы временного разреза, а совокупность трасс % (t), т. е. результативный временной разрез, будет служить оценкой искомой двумерной функции х (х, t). При этом, как показано выше, обеспечивается автоматическое приспо­

На самом деле вопрос оказывается более сложным. Дело в том, что сформулированный ранее критерий оптимальности обратных фильтров относится к одномерной модели и не учитывает по край­ ней мере одной важнейшей особенности модели двумерной, а имен­ но — наличия взаимнокорреляционных зависимостей между сосед­ ними «гребнями» функции к (х, t), связанными с отражающими го­ ризонтами hk (х). Поэтому совокупность оптимальных оценок одноканального процесса % (t) — временного разреза, полученного на выходе одноканального фильтра сжатия (6.70), — не является в общем случае оптимальной оценкой двумерной функции х (х, t).

213'

а

Вп(со);

\L,(U))\\

\LZ(CU)\; \L3(OJ)\

бо

\S(OJ)\;

BN(G)) \L,(0))\

I LZ(U>1 \L3(0))\

6 0 \S(a))\;

Bn(&) ; \Цсо)\;

О

214

ilc-ясним это подробнее. Возьмем крайний случай, когда иссле­ дуемый интервал разреза характеризуется коэффициентом взаим­ ной корреляции между соседними границами hk (х), равным еди­ нице, т. е. границы параллельны друг другу. В этом случае при решении структурных задач прослеживание каждой границы в от­ дельности не дает никакой дополнительной информации по сравне­ нию с прослеживанием всей пачки границ в целом. Следовательно, многофазность исходных импульсов s (t) здесь не мешает решению' геологической задачи. В то же время многофазность обеспечивает лучшую прослеживаемость в условиях помех: потеря прослеживаемости одновременно у всех фаз многофазного импульса менее вероятна, чем у единственной фазы короткого импульса на выходе фильтра сжатия.

В другом крайнем случае, когда взаимная корреляция между соседними границами мала, или же решаются не структурные^ а какие-либо другие геологические задачи, фильтр сжатия может оказаться оптимальным для оценки не только одномерных зависи­ мостей % (t), но и двумерной функции х (х, t).

В реальных условиях практически всегда приходится иметь дело с разрезами промежуточного типа. Поэтому предпочтительной оказывается комбинация двух фильтров — фильтра сжатия (6.70) и согласованного фильтра типа (6.71) или (6.72). На практике вме­ сто последовательного использования этих двух фильтров обычно строят один комбинированный фильтр. Примером такого комбини­ рованного фильтра является корректирующий фильтр. Оптималь­ ный обратный фильтр сжатия уже входит в его состав [см. (6.58) J, остается лишь правильно выбрать частотную характеристику X (со) фильтра, соответствующего желаемому выходному сигналу. В каче­ стве такого фильтра X (со) обычно выбирают довольно широкополос­ ный фильтр, направленный на подавление основных помех.

Другим примером комбинированного фильтра может служить оптимальный фильтр сжатия (6,70), у которого искусственно завы­

ный согласованный фильтр (фильтр обнаружения). Следовательно, задавая произвольно то или иное завышение реального отношения помеха/сигнал, можно получить как бы ту или иную комбинациюобратного и согласованного фильтров. Искусственное завышение ожидаемой энергии помех типа белого шума при расчете фильтра означает дополнительную регуляризацию [82] неустойчивой вычис­ лительной процедуры, соответствующей формуле (6.46). Поэтому фильтр сжатия с искусственно завышенной энергией помех будем, называть регуляризованным фильтром сжатия.

О том, насколько подходящей является выбранная характери­ стика X (со) или степень завышения энергии помех, судят по облику получаемого временного разреза. Более объективных критериев, в сущности, еще нет.

215-

корректирующий обратный фильтр, представляющий собой ком­ бинацию собственно обратного фильтра сжатия и фильтра обнару­ жения, либо регуляризованный фильтр сжатия, либо, наконец, фильтр предсказания со сравнительно малым а. Только при очень высоком фоне помех или же при решении структурных задач в усло­ виях строго согласного залегания слоев оптимальным оказывается просто согласованный фильтр.

Кроме главной задачи, на различных этапах обработки могут возникать задачи освобождения записи от наиболее сильных помех (например, перед АРА для предотвращения «срабатывания» АРА, вызванного сильной помехой, перед расчетом функций корреляции, перед визуальным просмотром и т. д.). При этом также исполь­ зуются согласованные фильтры для подавления тех или иных помех.

мости от того, в какой области будет производиться фильтрация — во временной или в частотной. Для выполнения расчетов необхо­ димо: 1) выбрать способ, соответствующий тому или иному исход­ ному уравнению, в зависимости от выбранного типа фильтра; 2) определить или задать конкретные исходные данные, исполь­ зуемые в выбранном способе расчетов.

Расчет фильтров в области времен. Решение уравнения Колмогорова — Винера

Выше было показано, что во временной области исходные урав­ нения всех винеровских (т. е. построенных на критерии минимума среднеквадратичного отклонения от функции заданного вида) филь­ тров описываются однотипными соотношениями — различными частными случаями уравнения Колмогорова — Винера.

Выпишем их для определенности. Фильтр сжатия

216

помех типа белого шума, вводимая в уравнение с целью регуляри­ зации.

Фильт-р обнаружения, построенный на совершенно другом кри­ терии, описывается выражением, совпадающим по структуре с этими уравнениями

одинаковы. Разберем решение уравнений вида (6.74)—(6.79) на примере уравнения (6.76), которое обладает наибольшей общностью.

217

или

Здесь первый сомножитель левой части — корреляционная мат­ рица В входного процесса, второй сомножитель — вектор-столбец L неизвестных коэффициентов, в правой части — вектор-столбец R свободных членов.

В силу симметрии автокорреляционной функции Ьх корреляцион­ ная матрица является диагональной, или матрицей Теплитца. Для такой матрицы справедливо соотношение

Ъц = bji,

где i я j — соответственно номер строки и номер столбца. Пользуясь приемами матричной алгебры, из (6.82) находим

L = RB-1,

где В1 — матрица, обратная по отношению к В.

Вся сложность решения систем типа (6.80) и (6.81) связана с необ­ ходимостью обращения матрицы В. Для этого существует множе­ ство способов. Широкое распространение получил рекурсивный

Метод основан на том, что на первом этапе из первого уравнения системы (6.80) находят только первый коэффициент, в предположе­

Затем предполагается, что отличны от нуля два коэффициента — первый и второй; из первых двух уравнений системы (6.80) находят второй коэффициент

и уточняют первый. Далее таким же путем находят последующие коэффициенты, уточняя на каждом шаге величины всех предыдущих. Уточненные коэффициенты на последнем шаге итерации предста­ вляют собой точные значения искомых коэффициентов I. С учетом сказанного алгоритм Левинсона можно записать следующим обра­ зом.

218

третьей итерации с соответствующим изменением индексов и увели­ чением числа уравнений, уточняющих значения а и I. В общем виде

219