книги из ГПНТБ / Цифровая обработка сейсмических данных

при вычислении функции взаимной корреляции приводит к тому, что эта функция, в отличие от операции свертки, не коммутативна:

где

ляции, в общем случае не симметрична относительно ординаты т = 0, и ее максимум в общем случае может быть расположен произволь­ ным образом относительно этой ординаты.

По аналогии с автокорреляционной функцией часто рассматри­

уъх(0)ьу(о)

Эта функция является удобной мерой сходства между процессами Xt и Yt; чем больше это сходство, тем ближе максимальное значение

50

Рассмотрим, как изменяются статистические характеристики случайных функций в результате воздействия на них линейных опе­ раторов. Пусть

Yt=L[Xt).

случайную функцию (т. е. такую функцию, ординаты которой харак­ теризуются нормальным законом распределения) получается также

Спектральные статистические характеристики случайных процессов

Согласно теореме Хинчина [9], всякая корреляционная функция стационарного процесса связана парой преобразований Фурье с не­ которой функцией В (со) — спектральной плотностью функции Ъ (т), называемой также спектром мощности случайного процесса, или его статистическим спектром. В силу четности корреляционных функ­ ций вещественных процессов их функция В (со) также является

четной, и связь между Ь (т) и В (со) выражается косинус-преобразо­ ваниями Фурье:

2 соответственно. На это следует обращать внимание при использова­ нии разных литературных источников.

Каждой реализации х (t) случайного процесса X (t), существу­ ющей в интервале времени от 0 до Т, может быть поставлен в соответ­

Функция В (со), как и М {\ X (со) | 2 } , неслучайна. Таким образом, спектральная плотность корреляционной функции В (со) случайного процесса характеризует амплитудный спектр процесса, но не несет никакой информации о фазовом его спектре. Это является важным свойством спектральных статистических характеристик. Аналогичным свойством обладает и функция автокорреляции.

Это свойство, в частности, выражается в том, что одной и той же функции автокорреляции соответствует множество исходных функ­ ций, различающихся фазовым спектром. Заданной автокорреляцион­ ной функции Ъ (т) одиночного сейсмического импульса можно поста­ вить в соответствие как минимально-фазовый, так и максимальнофазовый импульсы, а также импульсы промежуточного вида. Авто­ корреляционные функции сейсмических трасс, представленных мно­ жеством импульсов, не меняются от трассы к трассе, если эти трассы различаются только временами вступления и (или) фазовым спектром импульсов, а амплитудный спектр импульсов остается неизменным.

Невозможность сохранения фазовых спектров случайных процес­ сов при переходе от самих процессов к их статистическим характери­ стикам — спектрам мощности или автокорреляционным функ­ циям — заложена в самой сущности этих статистических характе-

52

Глава 2

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЕЙСМОГРАММ MOB

И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ

М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь С Е Й С М О Г Р А М М К А К О С Н О В А Д Л Я П О С Т Р О Е Н И Я М А Ш И Н Н Ы Х А Л Г О Р И Т М О В О Б Р А Б О Т К И

Моделью обрабатываемого материала будем называть совокупность высказываний, условий, уравнений, отображающих априорные пред­ ставления о материале, в частности о связи наблюденного материала с известными искомыми параметрами среды. Совокупность эта должна быть достаточной для постановки математической задачи и построе­ ния формализованного алгоритма ее решения. Априорные представле­ ния о материале складываются на основании сведений о строении среды, решений прямых задач, данных о системе наблюдений, аппара­ турных искажениях, содержании предшествующих этапов обработки,

вается субъективный образ материала, своего рода неформализован­ ная модель, которая используется при построении и реализации

Машинная обработка предполагает использование формализован­ ных алгоритмов. Такие алгоритмы выводятся из той или иной мате­ матической теории обработки, а любая математическая теория обра­ ботки всегда строится для той или иной четко определенной форма­ лизованной модели обрабатываемого материала.

Перечислим соображения, которые должны приниматься во вни­ мание при выборе модели.

1.Помимо априорных представлений о материале необходима четкая постановка задач обработки. Основной смысл модели заклю­ чается в математической формулировке связи между наблюденным материалом и искомыми параметрами среды, а без постановки задачи обработки назвать искомые параметры невозможно.

2.Необходимо заранее ориентироваться на ту или иную матема­

тическую теорию обработки. Очевидно, нет смысла выбирать такую модель, для которой еще не построена теория обработки.

3. Для одной и той же модели в рамках некоторой теории обра­ ботки обычно можно построить несколько алгоритмов — один опти­ мальный, обеспечивающий получение наиболее достоверного и точ­ ного результата, и множество других алгоритмов, дающих более грубые результаты. Оптимальный алгоритм обычно является наибо­ лее сложным и трудоемким из всех, которые разумно построить для данной модели.

54

Чем проще выбранная модель, тем менее она похожа на реальный материал. Это несходство даже при использовании оптимального для данной модели алгоритма обусловливает появление некоторых погрешностей в окончательных результатах обработки. Назовем эти погрешности ошибками выбора модели, или ошибками моделирова­ ния. Упрощение алгоритма при неизменной модели также ведет в общем случае к ухудшению результатов, ибо чем проще алгоритм, тем сильнее он отличается от оптимального и тем больше погреш­ ности, обусловленные неоптимальностью алгоритма (т. е. погреш­ ности окончательного результата, которые имели бы место при обра­ ботке идеального материала, в точности соответствующего использу­ емой модели).

Точность результатов обработки определяется суммой ошибок моделирования и ошибок, обусловленных неоптимальностью алго­ ритма. Поэтому нет смысла добиваться максимального соответствия выбираемой модели реальному материалу; следует выбирать такую модель (а следовательно, и теорию обработки, неразрывно связанную с моделью), при которой будет достигнут минимум суммы помянутых погрешностей.

Конкретизируем перечисленные соображения.

1. Общей задачей предварительной обработки является преобра­ зование записи к такому виду, при котором возможна наиболее лег­ кая, достоверная и точная ее интерпретация — визуальная или машинная.

Эту задачу принято сводить к требованию обеспечения макси­ мального отношения сигнал/помеха и, в целях удобства визуальной интерпретации, «спрямлению» осей синфазности полезных волн путем введения статических и кинематических поправок, т. е. построению временного разреза. Можно отметить, что такая формулировка за­ дачи предварительной обработки не может считаться достаточно чет­ кой, а форма временного разреза — оптимальной для дальнейшей интерпретации. Так, в дальнейшем мы увидим, что само разделение материала на сигналы и помеху носит условный характер, следова­ тельно, смысл понятия «отношение сигнал/помеха» является не вполне определенным. В сложных районах глубинный разрез как исходный материал для геологической интерпретации имеет несом­ ненные преимущества перед временным.

2. В представление о сейсмическом материале как об аддитивной сумме сигналов и помех в последнее время обычно включается поло­ жение о случайном характере помех и, следовательно, о сейсмиче­

К их числу относятся погрешности измерения сейсмического поля,

55

амплитуды, слабая регулярность и т. д.) не в состоянии выделить на фоне других волн с разумной степенью достоверности. Запись, имеющая такую случайную компоненту, и в целом является случай­ ной. Результат любой интерпретации такой записи никогда не будет абсолютно точным и достоверным и, следовательно, будет также слу­ чайным, подчиненным лишь вероятностным закономерностям.

Совершенствуя методы измерения и обработки материалов, мы можем уменьшать относительную интенсивность случайной компо­ ненты. Однако свести к нулю эту компоненту у реальных записей никогда не удается.

Положение о случайном характере записи иногда трактуется более широко. Так, термин «случайный» может употребляться в зна­ чении «неизвестный», «непредсказуемый». Например, моменты вступ­ ления однократных волн в отличие от кратных не могут быть пред­ сказаны по предшествующей записи и в этом смысле иногда считаются случайными; поведение отражающих границ априори нам не известно, и в этом смысле также может считаться случайным. Конкретный гео­ логический разрез данного района в этом случае рассматривается как реализация некоторой случайной функции — геологического разреза, свойственного некоторому типу тектонического строения (платформа^ складчатая область и т. п.). Но, в отличие от случайных помех, в дан­ ном районе геологический разрез будет оставаться неизменным, сколько бы мы не повторяли наши опыты — сейсмические работы. Аналогичным образом может трактоваться и случайность моментов прихода волн. Это различие в толковании понятия «случайный» су­ щественно, и на него следует обращать внимание в дальнейшем.

3. Представление о сейсмическом материале как об аддитивной смеси сигналов и случайных помех и постановка задачи повышения отношения сигнал/помеха в качестве основного требования, предъ­ являемого к предварительной обработке, естественно, стимулировали интерес сейсморазведчиков к статистической теории приема сигналов на фоне помехи [7, 21, 38]. Положения этой теории, построенной в свою очередь на общей теории стационарных случайных процессов, и лежат в основе большинства современных алгоритмов предвари­ тельной обработки.

Используя перечисленные общие положения, сформулируем пред­ ставления о модели сейсмического материала. Для удобства изложе­ ния начнем с формализованного описания исследуемой толщи. Иначе говоря, построим модель среды.

М О Д Е Л Ь С Р Е Д Ы

Имея в виду профильную съемку, ограничимся рассмотрением двумерной среды, т. е. будем считать, что волны распространяются только в вертикальной плоскости, проходящей через профиль. Пусть в этой плоскости на исследуемом интервале глубин расположено конечное число К границ раздела слоев. Эти границы не пересе­ каются между собой, но могут сближаться вплоть до исчезновения

56

Уровень придедения

Р и с . 21. Модель среды .

заключенного между ними слоя (выклинивание слоя). Форма границ раздела слоев произвольная. Выбирая декартову систему коорди­ нат х, h так, чтобы ось х располагалась горизонтально, введем допу­ щение, что глубина h каждой границы раздела слоев является слу­ чайной стационарной функцией 1 hk (х), к — 1,2, . . ., К. Функ­ ции hk (х) разных границ раздела слоев связаны между собой корреляционными связями, которые тем сильнее, чем меньше мощ­ ность пачки слоев, заключенной между границами (рис. 21).

Кроме границ раздела слоев, в плоскости разреза располагаются прямые или ломаные линии с большими углами наклона (более 45°), соответствующие тектоническим нарушениям. На основании до­ вольно скудных экспериментальных данных [10, 11] будем пред­ полагать, что коэффициенты отражения разных границ раздела не коррелированы между собой и их величина подчиняется нор­

с коэффициентом отражения, равным сумме коэффициентов отра­ жения каждой из границ («объединение границ»). Коэффициент отражения одной и той же отражающей границы постоянен для совокупности сейсмических трасс, обрабатываемых совместно.

Схождениям границ раздела слоев (выклиниваниям) или пере­ сечениям их с границами раздела блоков соответствуют точки ди­ фракции. Линия наблюдения повторяет неоднородности рельефа дневной поверхности и потому также является случайной функ­ цией h0 (х). Радиус корреляции этой функции существенно меньше радиуса корреляции функций hk (х).

Скорость сейсмических волн в среде является функцией обеих координат. В верхней части разреза (ЗМС) скорость имеет понижен-

57

ные значения и меняется в горизонтальном направлении более резко, чем в глубинной части, поэтому верхняя и глубинная части разреза

рости). Для аппроксимации глубинного разреза могут использо­ ваться различные модели: модель с заданным распределением средней (или эффективной) скорости в функции глубины или времени при­ хода волн; слоистая или слоисто-непрерывная модели и др. Кровлей толщи, которой приписывается одна из этих моделей глубинного разреза, считается некоторая условная линия — уровень приведе­ ния. В моделях глубинного разреза вертикальное время пробега луча или вертикальная координата h, в функции которых задается закон распределения скоростей, отсчитывается именно от уровня приведения. Функции v0 (х, h), параметры модели глубинного раз­ реза и положение уровня приведения приближенно известны до-

мы лишь кратко повторили хорошо известные, общепринятые пред­ ставления. Однако модель уже содержит существенное упрощение реальной ситуации, заключающееся прежде всего в том, что трех­ мерную, неоднородную, рассеивающую непрерывную среду мы заменили двумерной, слоистой и в общем случае абстрагировали распределение границ слоев со свойственными им коэффициентами

как источник, так и приемник располагаются на уровне приведения,, который совпадает с кровлей глубинного разреза, а толща выше

являются однократно-отраженными. Совокупность однократно-отра­

(2.2) и представлена функцией S (t), удовлетворяющей при дискрет­ ном времени t условию (1.37). Такая функция называется единичным;

58

1_J_

\

\

cn(.t) ч

N N

1

i

импульсом, или единичной функцией. Формула (2.2) в этом случае принимает вид

Известно, что амплитуда Ak любой к-я. отраженной волны может быть приближенно 1 выражена через произведение скщ, где x s — коэффициент отражения для к-я границы, a ck отображает уменьше­ ние энергии импульса к-й волны за счет расхождения и затухания, вызванного поглощением, рассеянием, потерями при пересечении границ в покрывающей толще и т. п.

59