книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

72 Глава 2

ния характеристик ансамбля. Первый метод, который рассма­

обозначается некоторое числовое значение, подсчитанное по набо­ ру наблюдений или измерений случайной переменной. Таким образом, оценки параметров плотности распределения вероятности, распределения накопленной вероятности и моделей процесса или оценки характеристик ансамбля, полученные из эксперименталь­ ных наблюдений, являются примерами статистик. Статистика имеет двойной смысл; она означает как правило вычисления ста­ тистики (т. е. некоторую функцию), так и полученное для нее зна­ чение. Нужный смысл будет ясен из контекста. Следует помнить, что статистики — случайные величины.

Вэтом разделе рассматриваются выборочное среднее значение

ивыборочная дисперсия случайной переменной X, а также их

средние будут обозначаться чертой над соответствующей случай­ ной переменной, за исключением выборочных дисперсии и коэф­ фициента корреляции, для которых исторически установились другие обозначения. Если специально не оговорено, каждая конечная выборка предполагается статистически независимой от

Как правило, выборочное среднее является наиболее эффектив­ ной статистикой (гл. 3), которая используется для характеристики центрального значения экспериментальных данных, т . е . для получения той же достоверности оно требует меньшего количества данных. Пусть X — случайная величина *). Если в выборке, состоящей из п наблюдений величины X, значение Xt появилось щ раз, значение Х2 появилось п2 раз и т. д., то выборочное среднее равно

где 2 пі = п- Если ni = 1, то верхний предел суммы равен п. Выборочное среднее значение само является случайной величи­ ной и в тех случаях, когда оно используется для оценки [іх, часто обозначается \іх-

Повторные измерения целесообразно проводить по двум основ­ ным причинам. Во-первых, среднее значение по отдельным резуль­ татам более достоверно, чем любой единичный результат. Во-вто­ рых, при этом можно оценить дисперсию отдельных показаний. Эти цели не будут достигнуты, если при сборе данных о процессе не принять надлежащих мер, описанных в гл. 8.

[см. ниже выражение (2.4.9)]. (Эвристически использование зна­ менателя п — 1 вместо п аргументируется тем, что при вычисле­ нии среднего значения пропадает одна из п степеней свободы для общего числа п измерений. На данные налагается одна связь; следовательно, в знаменателе должно стоять число степеней свободы, равное п — 1.) Выборочную дисперсию часто удобно вычислять по следующим формулам:

Всегда следует помнить, что возведение в квадрат или умноже­ ние с последующим вычитанием округленных значений может при-

до единицы в восьмиразрядном десятичном числе дают для левой

любой способ вычисления дает значение 4,6666667, верное для восьми десятичных знаков.

Пример 2.4.1. Сравнение выборочных статистик

сих математическими ожиданиями

Втабл. П.2.4.1 дана плотность биномиального распределения вероятности для эксперимента с бросанием монеты. Предположим, что монета подбрасывается 5 раз; пусть X обозначает число выпа­ дений орла при 5 бросаниях. Считается, что вероятность выпаде­

ния орла при каждом подбрасывании равна Ѳ = Ѵ2 . Во второй строке табл. П.2.4.1 приведены вероятности выпадения соответ­ ственно 0, 1, 2, 3, 4 или 5 орлов для 5 бросаний. Д л я такого спе-

циального типа эксперимента выборочное среднее значение и дис­ персию можно сравнить со средним значением и дисперсией по ансамблю. В третьей строке таблицы записаны экспериментальные данные, представляющие суммарные результаты нескольких экспе­ риментов при 5 бросаниях в каждом, выполненных разными экспериментаторами с одной и той же монетой.

Распределения вероятности и выборочная статистика 75

средние значения сами являются случайными величинами с таким же математическим ожиданием, что и для X, и средним квадратическим отклонением, равным охіѴп- На фиг. 2.4.1 показано, как уменьшается дисперсия при увеличении объема выборки в соот­

распределение суммы п независимых случайных величин стре­ мится к нормальному распределению при п - > оо. Таким образом, плотность распределения вероятности выборочных средних значе­ ний случайных величин, не подчиняющихся нормальному рас­

п~10

тельно, можно написать

Ф и г. 2.4.3. Плотность распределения вероятности sx-

Дисперсия выборочной дисперсии определяется как

Ѵаг {бі} = Ш {(sx - o-i)2 }

и вычисляется следующим образом:

к выборок, каждая из которых обладает одной и той же диспер­

где vt — число степеней свободы, связанное с величиной s?. Таким образом, используя большое число выборок малого объема.

одну большую выборку при таком же полном числе наблюдений, что будет показано на следующем примере.

Пример 2.4.2. Уменьшение дисперсии при объединении

образцов в пары

Предположим, что некоторый продукт производится на двух различных установках А ж В или в результате различных процес­ сов А и В. По некоторым показателям эти продукты могут быть одинаковыми, а по другим различаться. Однако предполагается, что одна специфическая характеристика (процентное содержание некоторого химического компонента, определяемое с помощью титрования) для А и В имеет одно и то же значение, исключая случайные нормальные отклонения. В гл. 3 будет показано, как определить, являются ли одинаковыми продукты А и В. Здесь же пока будем считать, что они тождественны. Тогда, используя выражение (2.4.2), можно подсчитать выборочную дисперсию.

С другой стороны, предположим, что проводится титрование пар образцов, один из которых взят из Л, а другой — из В. Пусть при і-м титровании для образца А получено значение Х^, а для

образца В — значение ХІ2 (табл. П.2.4.2). Если для каждой пары

—1

титрований Х{ = y № і + ХІ2), то сумма квадратов отклонений при і-м титровании пары равна

где Di — разность результатов измерений. Кроме того, дисперсия пары измерений равна

(некорректно) как отдельные измерения, то получилось бы среднее значение X = 70,89, а дисперсия, вычисленная по формуле (2.4.2)

Напротив, если данные обрабатываются по парам (корректно), из

Заметим, что дисперсия разностей зависит от корреляции между парами наблюдений [ковариации в выражении (г)]. Следователь­ но, весьма желательно всегда упорядочивать пары наблюдений в надежде получить большую положительную корреляцию и тем самым уменьшить дисперсию. Если пары выбирать так, чтобы