книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

Ф и г . 3.9.6. Расчет Ѵ-образных масок

а СДС2 — более короткой. (Метод построения, описанный Джон­ соном и Леоне и кратко намеченный на фиг. 3.9.4, основан исклю­ чительно на распределении статистики Z, накопленного отклоне­ ния от целевого значения, и предполагает, что измеряемая пере­ менная является случайной нормально распределенной величиной.) Карты на фиг. 3.9.6 показывают среднюю длину серии СДС 2 после того, как в процесс было введено изменение на к единиц стандарт­

сдвинуто на 2а. Если интервал, откладываемый по горизонталь­ ной оси, равен интервалу на вертикальной оси величиной в qo, то значения tg Ѳ, данные для этой карты, следует умножить на 21q.

Можно выбрать некоторые значения d и Ѳ и для данного к вы­

или действовать в обратном порядке. Пусть, например, желатель­ но, чтобы СДС! = 200, а СДС 2 = 8 при сдвиге среднего на одно стандартное отклонение (к — 1). Из предыдущего равенства полу­ чаем

0,886 = 0,0398 d +1,1687 tg Ѳ +1,2641 tg Ѳ -lg d =

По фиг. 3.9.6 для СДС 2 = 8 и к = 1 находим

гак что значения d » 8 и tg Ѳ Ä; 0,24 дают желаемую конструкцию. Роберте [41] сравнивал несколько типов контрольных карт, используя для каждой карты один или ряд критериев. Наблюде­ ния имитировались с помощью таблицы случайных чисел, распре­ деленных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 1. После того как было полу­ чено 100 чисел, ко всем числам, начиная со следующего, прибав­ лялась 1 для того, чтобы воспооизвести спвиг опеттего ѵповня

и такой же ряд значений приписывается всем значениям X, ока­ завшимся ниже ^і0 . Считается, что процесс вышел из-под контроля, когда накопленная метка достигает некоторого выбранного зна­ чения.

Чтобы сравнить относительную эффективность методов, пере­ численных в табл. 3.9.7, в табл. 3.9.8 приведено математическое

a

\

Ф и г . 3.9.7. Контрольная карта Шьюхарта (а), карта скользящего геометри­ ческого среднего (б), карта накопленной суммы (в) [41].

r

ожидание числа выборок, требующихся для обнаружения сдвига значения и. после того, как произошло изменение переменной про­ цесса от Цо на величину ка^ (где к — некоторая постоянная). Зна­ чения, приведенные в этой таблице, получены в предположении одинаковой чувствительности каждого из критериев (по уровню вмешательства) при отсутствии сдвига среднего уровня процесса. З а исключением малых значений к, эффективность критериев ока­ залась приблизительно одинаковой.

Если проводятся наблюдения над двумя или бблыпим'числом переменных и для каждой переменной на индивидуальной карте откладывается некоторая выборочная статистика, можно условить­ ся считать, что процесс вышел из-под контроля, если на какой-ни­ будь карте контрольные условия оказались нарушенными. Однако такое правило приводит к необоснованному решению в случае, когда эти переменные обладают некоторым совместным распреде­ лением. Предположим, что две переменные имеют нормальное сов­ местное распределение, а значение а выбрано равным 0,05. Если карты составляются отдельно для каждой переменной, то вероят­ ность того, что обе переменные попадут между контрольными преде­ лами, равна 0,95 -0,95 =0,9025; следовательно, в действительности ошибка первого рода будет происходить приблизительно на уровне 0,10, а не на уровне 0,05. Истинной контрольной областью является не квадрат и не прямоугольник, а эллипс, причем все точки на его периметре имеют одинаковую вероятность появления. .Если переменные коррелированы, такой областью служит эллипс, повер­ нутый так, что его главные оси не совпадают с координатными ося­ ми Ху, х2. Такая область изображена на фиг. 4.3.3.

В качестве общей статистики, которая вычисляется по значе­ ниям многих переменных и может откладываться на некоторой контрольной карте, Джексон [42] предложил использовать стати­ стику 71 2 , введенную ранее Хотеллингом [43]. Статистика Т2 пред­ ставляет собой просто геометрическое место точек эллипсоида доверительной области; для двух случайных переменных X и Y с нормальным совместным распределением она выражается через объем выборки п, выборочные средние и выборочные дисперсии следующим образом:

по формуле (3.9.2), характеризуют нарушение контрольного уело-

степеней свободы, используемых при оценивании выборочной дис­ персии, обычно равное п — 1 .

Задачи

3.1. Логарифмическое распределение вероятности для случай­

При условии, что экспериментальные наблюдения составили выборку объема п, найдите максимально правдоподобную оценку параметра Ѳ.

3.2. Рассмотрите совместную плотность нормального распре­ деления вероятности случайных величин X и Y с общим пара­

Статистический анализ и его применения 211

среднее 4,60 м/с и выборочная дисперсия 0,6 м2 /с2 . Следующее

3.11. Фирма «Дайл», производящая осветляющие химикаты, использовала рекламный лозунг «Звоните на «Дайл». Он уверял покупателей, что продукция «Дайл» обладает 90%-ной эффектив­ ностью по бойлерной шкале, и предлагал требовать деньги назад, если это не подтвердится. Правительство привлекло фирму к суду, обвиняя ее в использовании фальшивой рекламы. В свое оправда­ ние фирма сослалась на случайную выборку из десяти случаев применения средства «Дайл», по которой средняя эффективность

статистический характер и истинная эффективность вполне может оказаться равной 90%. Кто прав и почему? Данные таковы:

1) Выражено в процентах от среднего значения.

Найдите выборочное среднее для коэффициента теплопередачи, основываясь на вычисленных значениях, приведенных в таблице. Найдите выборочное стандартное отклонение для h и выразите его в процентах от выборочного среднего значения h. Предположите,