книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

95

а

о

Ф и г . 2.4.10. Диаграммы рассеяния для гипотетических

данных пр и п р и б л и ­

зительно нулевой к о р р е л я ц и и .

а

*

б

X

Ф и г . 2.4.11. Диаграммы

рассеяния данных

пр и сильной

положительной

к о р р е л я ц и и .

г ) Различные проверки, которые

можно выполнить для pXY с помощью

таблиц и графиков, обсуждаются в

[15—17].

чить, что между двумя переменными может существовать

нелинейная

связь, которая не будет замечена исследователем,

использую­

Скорость седиментации

15

И

8

8

6

4

3

1

Степень к р и с т а л л и ч н о с т и

8

8

7

5

4

3

2

1

Таблица

П.2.4.8

Степень

Скорость

кристаллич­

седиментации

(Хг

- X)

( Г ; - Y )

(ХІ - X)*

(YT - Y)2 (XT-X)(YT-Y)

ности Х^

Y i

1

1

- 4

—6

16

36

24

2

3

- 3

- 4

9

16

12

3

4

—2

—3

4

9

6

4

6

—1

—1

1

1

1

5

8

.

0

1

0

1

0

7

8

2

1

4

1

2

8

11

3

4

9

16

12

8

15

3

8

9

64

24

40

56

б

0

52

144

81

X = 5

У = 7

^(Zt-X)(Xt-Y)

81

PXY-

=0,937

V^iXi-X^Wi-YT-

~ V52 - 14 4

Распределения вероятности и

выборочная

статистика

97

Вообще говоря, значение pXY

— 0,937

является

высоким;

чтобы провести соответствующую

проверку,

следует

обратиться

сительные частоты

с предсказанными вероятностями.

а)

Распределение монет по размерам с округлением до 1 см.

б)

Распределение монет по размерам с округлением до 0,5

мм.

в)

Распределение монет по размерам с округлением до 0,01

мм.

Используйте микрометр.

г)

Распределение

орлов при однократном подбрасывании

на ребро. Возможны ли

другие

исходы?

д)

Распределение

по

годам выпуска

монет.

е)

Распределение

по последним

цифрам

года выпуска; распре­

деление по первым

цифрам.

ности

Р{Х<х}

Чему равно значение Р {X = 3}?

2.3. При условии

что

распределение накопленной вероятности

непрерывной случайной

величины

равно

0,

ж < 0 ,

Р{х) =

Р{Х<Сх}=<

—,п

О-^Сх^Сп,

1,

х>п,

.

P(r)=^e-ryz°\

r > 0 ,

98

Глава

2

где

а 2

— постоянная.

Найдите рэлеевское распределение накоп­

ленной

вероятности Р

(г) и постройте оба графика р (г) и

Р (г)

при

нескольких значениях а 2 . [Р

(г) описывает вероятность

того,

деления,

лежит

внутри

круга

радиуса г.]

2.5.

По аналогии

с термодинамикой

«энтропию»

для

дискрет­

ного

распределения

вероятности

можно

определить

как

71

Я ( л ) = — 2

P{xh)\nP(xk),

fc=i

где

P

(xh)

= P

{X

=

xh}.

В

каком

случае

имеет

место

равен­

ство H = 0 и как интерпретировать ответ? Когда имеет место

наибольшая неопределенность и чему тогда равно значение P

(xk)?

Какова тогда энтропия H (п)1 В каком случае энтропия мини­

мальная? Чему тогда равна H (п)?

2.6.

Плотность

распределения

вероятности

Максвелла

равна.

р (х) =

-Щ=х2е-х2'2аг

U

(х).

а3

у

л

оо

Покажите,

что р

(х) >

0

и что

j " p

(x)

dx

=

1.

U

(х)

—

единич-

— оо

ная

ступенчатая

функция,

а

а

— некоторая

постоянная.

2.7. Совместная вероятность X и Y дана в таблице внизу.

Покажите,

что

X

и

Y

независимы.

X

1

2

3

4

О

1

1

1

1

24

12

12

24

1

1

1 .

1

12

6

6

12

2

1

1

1

1

24

12

12

24

2.8.

Если плотность распределения

вероятности

X

равна

у2пОх

L

2 о х

Л

100

Глава 2

а)

перенос тепла

б)

массообмен

d x 2 - U

Т(х2)

=

Т20;

С (0,

х) =

0,

H-a散

дх*

C(t,0)

=

c0,

dt

l i m С (t,

х)

= 0.

=

-

при — 2 - < Z < - 2 - ,

р (ж) =

0

в остальной

области.

2.17. При условии

что

дисперсия

случайной величины X

равна

0,75,

найдите дисперсию следующих случайных величин:

а)

5Х;

б)

,

в)

X +

7;

X

х - з

г )

- 2 ~ -

а)

X

(t)

=

cos (at

+

Г)

(Г — случайная величина);

б)

X

(t)

=

A

cos

(dt +

В sin (ùt (А

и 5 — случайные величины);

в)

X

(t)

=

aY

+

bt

(Y

— случайная

величина);

г)

X

=

aY

+

b

(Y

— случайная

величина).

2.20.

Д л я

заданных ниже случайных

переменных Y (t) и соот­

автокорреляционные

функции.

Переменные:

а) Y

(t) =

Аеш

(А — случайная

величина, і = У

—1);

б) Y (t) = Ai cos

cot + A2

sin (ot

(Au

A2

— независимые слу­

чайные

величины) ;

в) Y

= Ах

+

b

(А — не

зависящая

от

времени

случайная

величина).

Плотности

распределения:

а ) - Р ( а ) = 4"'

- М І ^ Т '

р(а) = 0,

\ А \ > \ ;

Распределения

вероятности и выборочная

статистика

101

б) р (а) = се~аіІь,

где с — постоянная,

которую необходимо

1

2

3

1

1

1

4

8

8

1

1

1

8

16

16

1

1

1

8

16

16

значением

ц х , найдите % {X},

% {2Х},

% {X

+

1},

% {2Х

+ 1},

% {X2} и

Ш {X

- ііх}.

Заметим,

что

Ш {X2}

Ф

%2

{X}.

Найдите

соответствующие дисперсии, т. е. Var {X},

Ѵаг {2Х}

и т. д.

2.24. Совместная плотность распределения вероятности двух

случайных

величин

X

и Y равна

р (х,

у)

= X +

у

при

0 ^

X

^

1,

0 < У

< 1 ,

р (х, у) = 0

в остальной

области.

Найдите

коэффициент

корреляции

между

X

и

Y.

2.25.

Используя

указанные

совместные

плотности

распределе­

ния, вычислите взаимную корреляционную функцию гХу

ІЧі

случайных

функций

X

и

Y.

у

а) X

и

Y — независимые

случайные

функции,

равномерно

распределенные

соответственно

в интервалах

(0, а)

и (0, Ъ).

б) X

и

Y — случайные

функции

с

совместной

нормальной

плотностью

распределения

р

(х,

у) = А ехр [— (ах2

+ Ьху + су2 + dx +

еу)],

где ах2

+ Ьху + су2 + dx -J-

еу^>0.

2.26.

Некоторый случайный процесс с сосредоточенными

пара­

метрами

можно

описать следующей

моделью:

• £ Ж + 2У(*) =

Х(«),