Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

31.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 956 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

52 Глава 2

В центральных моментах весовая функция интегрируется с про

изведением	(ХІ — \|Xj)1				(х2 — ц2У вместо		х\х\.	Например:
		о о	о о
u I 0	=	j	j	х\х\р(хи		xz)dx%dxi	= \Lxi =		%{Xi},
		— оо — о о
		CO	о о
М-01 =		j	[	х\х\р(хи		х2) dx2dxi	= Цх2	=	Ш{Х2},
		— о о — о о
		о о	о о
Н<н=		j	j	x\x\p(Xi,		x2)dx2dxi	—	%{XiX2},
		— oo — oo
		oo	oo
eMn=		j	j	fo	— ІХл-і)1 ^ — U . ^ ) 1 / ? ^ ,			s2 ) dar2 ЙЖ, =
		— oo	— o o

Пример 2.2.6. Моменты

Покажем, что момент

второго порядка

относительно

значения

x — с больше

центрального

момента

второго

порядка.

Решение

% {(X -

с)2 } -

ЩХ

и,х +

ц х

- с)2 } =

= Щ{(Х -

^ х ) 2

} +

2${(Х -

рх) (и,х -

с)} +

% {(Ѵх -

с)2 } =

оМг +

(Их - с)2 .

Заметим, что

•

Ш{(Х - рх)

( ц х

с)} =

hix

- с) Ц(Х -

и.х )} =0 ,

так как t =

2.3. Н О Р М А Л Ь Н О Е

Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е

В Е Р О Я Т Н О С Т И

И Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е х2

Рассмотрим

кратко

две функции

распределения вероятности,

которые часто используются в последующих главах. Более подроб

но со свойствами этих	распределений можно познакомиться по
книгам, список которых	приведен в конце г л а в ы 1 ) . В этом раз

деле будут изложены основные предположения, касающиеся нор мального распределения и распределения %2, и описаны их основ ные свойства с тем, чтобы можно было надлежащим образом исполь зовать их при анализе экспериментальных данных. Здесь не будут обсуждаться другие инвариантные по времени дискретные и непре рывные распределения, перечисленные в табл. 2.3.1 и 2.3.2.

*) Подробные сведения о ф у н к ц и я х распределения, встречающихся в инженерной п р а к т и к е , содержатся т а к ж е в монографии: Х а н Г., Шапиро С , Статистические модели в инженерных задачах, изд-во«Мир»,1969.—Прим. ред.

Ѳ = Ц20

0,30

.« 0,20

0,10

I I I I I I I I I I I

Ф и г . 2.3.1. Биномиальное	распределение,
a — распределение накопленной вероятности;	б — распределение вероятности.

Название

Зиномиальное р а с п р е деление

Распределение

Пуассона

І о л и н о м и а л ь - ное р а с п р е деление

Таблица 2.3.1

Распределения вероятности для дискретных величин 1 )

Распределение
Р (я) — Р	{X = x}
р (ж)== ( " ) Ѳ : К	(1 — Ѳ) ч-*,
х = 0, 1, 2,	. . . , п

Р ( ж ) =	И ) 1 е - п ѳ >
	х\
ж = 0,	1, 2, . . .

Рп (xU Х2і • • • 1 xk) = п\

x j ! ж2 ! . . . xft!

							Среднее зна
Применения и				замечания			чение
							Hjf = % {*>
Взятие проб,			проверка образ				пѲ
цов, бросание монет и любые
эксперименты,				в	которых:
1) имеется			фиксированное
число	исходов			и;
2) исход		каждого и с п ы т а н и я
д о л ж е н		быть		благоприят
н ы м	и л и			н е б л а г о п р и я т
ным,	х	-	число		благопри
я т н ы х исходов;
3) во. всех			и с п ы т а н и я х			веро
ятность		Ѳ	благоприятного
исхода	одинакова;
4) и с п ы т а н и я				независимы
Д в и ж е н и е			а в т о т р а н с п о р т а , ,				геѲ
телефонная			сеть,		з а г р у з к а
вычислительных					м а ш и н ,
взятие	проб, радиоактивный
распад к о р о т к о ж и в у щ и х						изо
топов. События д о л ж н ы						быть
независимыми и р е д к и м и .
Используется				к а к	прибли
ж е н и е к биномиальному						р а с
пределению, когда					п велико,
a Ѳ мало,		так к а к при и				оо
и постоянном иѲ биномиаль
ное распределение					переходит

враспределение Пуассона

Взятие проб.	Можно р	а с с м а	пѲі д л я
тривать к а к обобщение		бино	к а ж д о й
миального	распределения .		переменной

Дисперсия

а| = ѵаг {X}

пП(1 —Ѳ)

nQi(l — Qi) д л я

к а ж д о й перемі н- ной

• ( Ѳ і ) ж 1 ( Ѳ 2 ) * 2 . . .(Ѳл)"*, k

і = 1

Возможны А: взаимно и с к л ю чающих друг друга исходов.

Вероятность					первого			собы
т и я		хц	равна		Ѳі,	вероятность
второго			события			хг	равна		Ѳ2
и	т.		д . ,	причем			Ѳі-f-Ѳ2 -\|-
+ . . .			-f-0fe = l			.	Каждое
испытание должно							быть		не
зависимо,					а	вероятность
каждого исхода должна								оста
в а т ь с я			постоянной				от	и с п ы
т а н и я			к		испытанию .
Рп(хх,			. . . , xk)			— вероят
ность того,				что		п р и	п и с п ы
т а н и я х			будет		хі	благоприят
ных		исходов			д л я		перемен
ной		1,	хг	д л я		переменной
2	и	т.	д.

Гипергеометри		(	а: )	(re— X )
Гипергеометри	Р ( * ) =
ческое рас		~	"	C	T "
пределение		~	"	C	T "
	і	= 0,	1, 2,
	Z) — ч и с л о	дефектных			элементов из
	полного	числа	ЛГ


Взятие проб		без	возвращения,
т.е. при выборочном контроле
по признакам .			Если из сово
купности		конечного числа N
элементов,		которые		можно
характеризовать к а к				«хоро
шие» и л и		«плохие»,		«благо
приятные» и л и			«неблагопри
ятные», извлекается				выборка
объема	п	(без	возвращения		в
общую	совокупность),				то
Р (х) — вероятность того,					что
среди	п	извлеченных			э л е
ментов	ровно		X о к а ж у т с я

дефектными

пР (N — D)

(N—n)

m(N-l)

	1) Символ	^™) обозначает число сочетаний из n ра:	элементов по х (различающихся только самими элементами);
(п\	üL
\ х /	— к! (n —х)!

Плотности распределения вероятности для одной непрерывной величины

Название		Плотность		распределения
Логарифмиче	, .	1		Г (Іпж —ос)2-і
Логарифмиче
ски-нормаль
ное распре		0 < ж		< с о ,
деление		0 < ж		< с о ,
деление		а =	% { І п Х } ,
		а =	% { І п Х } ,
		ß 2 =	Var { I n Z }


Применения и замечания						Среднее значение

С л у ч а и ,	когда		несколь
ко независимых				факто
ров в л и я ю т			на	исход
события не аддитивно,
а в соответствии				с	их
величинами .			Размеры
частиц,		конденсация,
аэрозоли,		петрология,
экономика, фотоэмуль
сии . Величина X имеет
логарифмически - нор -
мальное		распределе
ние,	если l o g Z				р а с
пределен		по	нормаль
ному	закону . Это				р а с
пределение			по	форме
напоминает гамма - рас
пределение			и р а с п р е
деление		Вейбулла

Экспоненци	P (x) = -g- e	,
альное р а с
пределение	0 < z < o o

Мгновенный,	постоян	ѳ
ный разрыв .скорости,
т. е. обыкновенное диф
ференциальное уравне
ние первого	п о р я д к а ,
ж — с л у ч а й н а я	величи -

Та лица 2.3.2

Дисперсия

а\ = Ѵаг {X}

е2а+№ (eß2—1)

Ѳ2

Р а с п р е д е л е н ие	р {x) — af)x'.a-l -
Вейбулла

Гамма - распре	р(ж) =	Г ( а + 1) с
деление	О	X < с о ,
	О	X < с о ,
		а > — 1

на, a Ѳ — н е к о т о р а я временная постоянная .


Это распределение			я в
л я е т с я	хорошей		мо
делью	н а р у ш е н и я		ре
ж и м а	работы	многих
типов	с л о ж н ы х		с и
стем,	особенно	таких
систем	и л и и х	частей,

вкоторых возможны

несколько		р а з л и ч н ы х
механизмов		н а р у ш е
н и я
Оценка	срока	с л у ж б ы ,		Л la	( 4 - и )	- 2 / а \| ~ г ^
определяемого по п е р					( 4 - и )
определяемого по п е р
вой неисправности сре						- г » (	!
ди большого числа эле						- г » (	!	' ) ]
ментов ( а характери								' ) ]
зует	скорость		выхода
из	строя),	устойчи
вость против коррозии,
возврат товаров			через
неделю после покупки,
надежность
Аналогичны		приведен			а + 1	а	+ і
Аналогичны		приведен
ным	выше

О 0,20 0,40 0,60 OßO 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00

О0,20 0,40 OßO OßO 1,00 1,20 1,40 1,60 IßO 2,00

r,4

0 0,20 0,40 OßO OßO IßO 1,20 1,40 IßO IßO 2,00

Ф и г . 2.3.2. Плотности гамма - распределения, логарифмически - нормального распределения и распределения Вейбулла . (Параметры у к а з а н ы в т а б л . 2.3.2.)

Распределения

вероятности

и выборочная статистика

На фиг. 2.3.1 показаны распределение вероятности и распределе ние накопленной вероятности для дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Плотности распределе ний вероятности для непрерывных случайных величин, характе ристики которых указаны в табл. 2.3.2, приведены на фиг. 2.3.2.

2.3.1. Нормальное распределение

вероятности

В X V I I I и начале X I X вв. математики и физики-эксперимен таторы искали плотность распределения вероятности, которая хорошо бы описывала ошибки измерения. В результате их работы

Ф и г . 2.3.3. Плотность нор мального распределения вероятности с различной дисперсией. Координаты

максимума (\іх, \/ах	~[/2п).
Координаты точек	перегиба

Jx-

было найдено нормальное (гауссово) распределение вероятности для случайной величины X, широко известная колоколообразная кривая, изображенная на фиг. 2.3.3. Эта плотность распределения задается формулой

^ ^ ^ к ^ і " 1 ^ ] '

- о о < Ж < о о .

(2.3.1)

Непосредственным интегрированием можно показать, что два пара метра в этом выражении представляют собой среднее значение величины X и ее дисперсию:

со

\	р (х) dx — 1		(момент	нулевого
- о	о		порядка),
	о о
	Щ {X} — \	хр (х) dx = \LX	(момент	первого
			порядка),
	о о
% {(X — Йог)2} = \		( х — И * ) 2 Р (х) dx = ох	(центральный момент
			второго	порядка).

Глава 2

Пример 2.3.1. Момент нулевого порядка для нормального распределения вероятности

Покажем, что
			j р (х) dx	=	1.
Решение
Требуется	показать, что
	о *
Вычисления	станут		проще, если сделать			два	преобразования,		не
влияющих на величину искомого интеграла:							х = 0	в точку х	=
1. Перенести		начало координат		из точки			х = 0	в точку х	=
— М-х'7т а к чтобы [хх			= 0.					(а); у и z —
2. Возвести в квадрат обе стороны соотношения								(а); у и z —
переменные	интегрирования.
Тогда
[1 ^ w e x p ( ^ ^ ) d z					— îо о
	—1с о	« р ( - - і 5 г ) ^ ] [			— îо о	е х р ( — i M d z b
					о о	о о
					— о о — о о
Наконец, переходя			к полярным координатам, получим
о о
— о о
			2л	о о
			о	о

Если квадрат действительной величины равен 1, то и сама величина также равна 1.

Простое преобразование переменных к нормированным (стан дартизированным) случайным величинам U

и = х ~ Ѵ х

(2.3.2)

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

приводит к плотности распределения вероятности, называемой

нормированной плотностью нормального распределения вероятно сти. Заметим, что, поскольку Р (и) = Р (х), где и — верхний предел интегрирования, соответствующий х, р (и) du = p (х) dx; следовательно,

" w = w c " " " 2 -

< 2 - 3 - 3 )

Это распределение изображено в верхней части фиг. 2.3.4. Момен ты нормированной случайной величины U с нормальным законом распределения равны соответственно

со

j p(u)du = l (момент нулевого порядка),

—со

оо

j up (и) du = 0

(момент первого порядка),

—о о

оо

j u2p(u)du=l

(момент второго порядка).

— о о

На фиг. 2.3.4 показано соотношение между р (и) и р (х). Нормированное нормальное распределение накопленной вероят

ности

P(u) = P{U<u} = ^ =	\ e-W2du'	(2.3.4)
Л/ 2л	J

— о о

показано на фиг. 2.3.5 и протабулировано в приложении В . Используя симметрию р (и), из табл. В.1 можно рассчитать, например, вероятность

Р {0 < U < 1} = Р {U < 1} - Р {U < 0} =

= 0,841 - 0,500 = 0,341,

которая равна площади под кривой р (и) между точками 0 и 1. Еще один пример:

Р { - 3 , 2 < U < —0,3} = 0,999 - 0,618 = 0,381.

Не все справочные таблицы нормированного нормального р а с пределения вероятности построены по функции (2.3.4). Наиболее полные таблицы [2] основаны на функции

F(u) = ^ = ^e-Wdt,

(2.3.5а)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 956 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ