книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

42

Глава 2

<у\ (t) = Ц[Х (t)

- ііх

(t))2}

=

Var {X

(t)}

=

=

g { X 2

(t) -

2X

(t) yiX

(t) +

цх (t)}

=

=

g { X 2 (*)} -

(0. (2.2.8)

ожидание суммы, а именно [iw

=

+ а2\Ху +

• • •» из величи­

ны

W — аіХ + a2Y

+

. . . и

возводя

полученную

разность

в квадрат,

находим

(W

-

= tat (X

-

рх)

+

a 2 ( Y - l i Y ) +

. . . ] 2 =

=

а\ (X -

u . x ) 2 +

a\{Y

-

u , r ) 2 +

. . .

+

2а,а2

(X

-

u.x ) (Y -

— ц у )

+ . . . .

Теперь вычислим дисперсию

W,

используя

это равенство

Ѵаг

{W} = % {{W — M 2 } =

=

a\ ЩХ -

цх)*}

+

à&{(Y

- Fr)2}

+

. . .

+

+

2аіагЦ(Х

-

\ix)

(Y

-

цу)}

+

(2.2.9)

Ѵаг

{W} - а\ Ѵаг {X} + а\ Ѵаг {У} + . . . .

(2.2.9а)

Положительное значение квадратного корня из дисперсии

называется

стандартным (средним квадратическим)

отклонением

функциональная зависимость от t исчезает. Относительное

откло­

нение

(коэффициент

вариации) — безразмерная форма

стандарт­

ного

отклонения,

характеризующая относительное

рассеяние

<Ухх (ti, h) =

%{[Х (h) -

[ix

(t,)] IX

(h) - p x (t2)}.

(2.2.10)

Д л я стационарного

ансамбля

<Ухх (т) =

г х х

(т) -

у?х.

(2.2.10а)

Распределения

вероятности и выборочная

статистика

43

2.2.4. Взаимная корреляционная

функция

=

j j жіф (ж, y; tu t2) dx dy.

(2.2.11)

— OO — O O

Заметим, что величина r x x

не является случайной, но может зави­

сеть от времени. Две случайные величины называются

некоррели-

Ф и г .

2.2.3.

В з а и м н а я

к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я .

рованными

*), если rXY

(tu

t2) =

Цх (U)

(^г)> и ортогональными,

если rXY

(tu t2)

— 0.

Д л я

стационарных

ансамблей,

используя

равенство

(2.1.9), имеем

гхг

(h,

h)

=

rXY (т) =

rYX (-%).

(2.2.12)

случайных функций

X (it) и У (t). Величина rXY

(т) не обладает

максимумом при т =

0, как это имеет место для г х х

(т), и в отличие

корреляционных

функций rXY

(т) и rYX

(т) необходимо

провести

*) Две случайные величины X

и У

некоррелированы,

если

%

{XY}

=

=

%

{X}

% {У}, и

независимы, если р

(х, у)

— р (х) р (у).

Е с л и

величины

X

и

У независимы,

то

они т а к ж е

и некоррелированы (разд. 2.2.1).

Е с л и

%

{XY}

= 0, то X и Y

ортогональны . Некоррелированность — более

слабое

условие, чем независимость, потому что дл я некоррелированных

X

и

У,

вообще

говоря, % {/ (X) g (У)} ф

% {/ ( X ) } g

{g ( У ) } .

Н о

если

вели ­

чины

X

и У независимы, то g {f

(X) g (Y)}

=

S {f (X)}

<? {g

(Y)}.

44

Глава 2

расчеты лишь

для т > 0 из-за

свойств симметрии этих

функций.

Взаимные корреляционные функции используются при анали­

зе процессов в следующих целях:

1. Проверка статистической

независимости двух случайных

функций.

2. Оценка

импульсной и частотной характеристик

системы

мум при разности времен,

равной

времени прохождения сигнала

в системе).

4.

Оценка амплитуд и

фурье-компонент величин, искажен­

ных

некоррелированным

шумом

и (или) другими сигналами.

[Шум не дает вклада в rXY

{%).]

5.

Определение путей прохождения входного сигнала по боль­

ап

У<»>(*) +

У 0 " " 1 ' (t) + . . .

+

a0Y

(t)

=

X (t),

t >

0, (a)

где

X

(t)

— случайная

переменная

на

входе

системы;

Y

(t)

— случайная переменная на выходе системы, обусловлен­

ная переменной X

(t);

Y m

(t) =

— производная

степени

п от Y (t);

at

— постоянные,

не являющиеся

случайными величинами.

В начальных условиях также присутствует элемент случайно­

сти:

у<п-і,

(0) =

y-cn-2, (g) =

_ _

у

(0)

= 0.

(б)

= =

Предположим,

что требуется

по известным

данным

на

входе

и выходе

системы найти среднее значение Y (t) и ее автокорреля­

ционную

функцию,

поскольку плотность распределения вероят­

ности Y

не известна. Вычисляя математическое ожидание от обе­

их частей

уравнения

(а) и равенств (б) и используя (2.2.1), полу-

а п ^ У ( п ) -Ь

an-iVY(n-i)

+

• • •

+

ao^Y

=

Mot.

(в)

]iro^i)

(0)

=

Цу(п-2) (0) =

. . .

=

[iy (0)

=

0,

(г)

fV»>

(*)

=

ЦУ^ (t)},

iix (t)

=

ЦХ

(t)}.

Уравнения

(в) и

(г)

являются

детерминированной

моделью

для

PY и

дают искомое решение для

цТ:

Цу (t)

= CtUt

(0

+

C2[l2 (0 +

•

• • +

С„(ХП (0

+

Цр (*),

(д)

где

(iip (t)

— частное

решение

неоднородного

уравнения

(в),

детерминированное решение моделей,

представленных

уравнения­

ми (в) и (г).

Используя

определение

автокорреляционной

функции

гхх

h)

= ЦХ

(U) X

(t2)},

можно показать,

что

дгхх

(h,

h)

dh

Гх-X'ih, ts)=

gh

Следовательно,

Tx-z- (h,

h) =

g 2 r

g ^ '

t z )

=

% {X'

(tt)

X'

(t2)}.

(e)

Д л я стационарного

процесса rXx

(hi

h)

— ?xx

(т)

и

гхх- О 0 = — 3 7 - »

DRXX>

( Т )

<Prxx

( 1 )

Вообще

гхшу<т>

{h,

t2)

= %

<PX(ti)

dmY(t2)

\

_ d ^ r X Y ( h ,

Ч)

\ ~ Щ

dtf

J

dt?

dtp

Автокорреляционную

функцию

r r r

(ti,

t2)

для

Y

(t) теперь

ния (а) и (б)

для

t =

t2 на

X

(ti):

X (h) [anY™

( г 2

) . + . . .

+a0Y

(t2)]

=

X (h)

X (t2),

(ж)

X

(h)

Y<n-»

(0)

=

. . . =

X (h)

Y

(0) =

0

(з)

ожидание

от обеих частей

этих

равенств. В

результате получим

„ d n r X Y

h)

, „

d^rxYJh,

t2)

,

•

ö n

v a n

- x

Щ=і

г • •

• ••+а0гХг(к,

h) =

rxx(ti,

h),

(и)

^ Х ? 1 '

0 )

=-..=rXY(tu

0) = 0.

(к)

Уравнение

(и)

представляет

собой

обыкновенное

дифференци­

альное уравнение

для

rXY

(tu t2)

с независимой

переменной

tz

и параметром

Таким

образом,

при

условии что автокорреля­

ционная

функция

гXX (ti,

t2) задана, уравнения

(и) и

(к) можно

KY™ (*,) + . . .

+aQY

(t,))

Y

(t2)

=

X

(h)

Y

(t2),

(л)

y<»-i> (0) Y

(t2) =

. . .

=

Y

(0)

Y

(t2)

=

0

(m)

получаем

обыкновенное

дифференциальное

уравнение

для

гYY

(tu

t2):

дПгуу

(h,

h)

, д

g " - V y y

(tj, t2)

,

U n

Ш?

+an-i

щ=і

1- • • •

. . .

+ аоГгу (tu

t2) = rXY

(h,

h),

( H )

g " - l r y y ( 0 , t2)

,n

n

,

= . .

. = r y y ( 0 ,

h)

= U.

(0)

Д л я того

чтобы

найти

r Y Y (tu

tùi

нужно

решить

уравнения

(и)

и (к)

для

rXY

(ti, t2),

предполагая,

что

функция

г х х

(ti,

t2)

известна,

затем

подставить

результат

в

правую часть

уравнения

функции r Y Y (tu

t2) с учетом условия (о).

В качестве

примера использования полученных соотношений

ЦС0

(t)} =

0,

Ш{[С0 (h) - 0] [Со (t2) -

0]} =

гСос0 (к, h) = ah,

(п)

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

47

drc0c (fî*

гг)

rc0c(ti,

t2) = rCQc0(ti,

h);

dt-.

rcoCoih,

h) = atu

rCoc(h,

0) =

0

rc0c{tu t2) =

aLti(l

— e-b'f)t

(p)

где t*

= VIF.

Уравнения

(н) и

(о)

rfî^

>Г с с " і '

Гг) =

гс0 с

( Î I ,

*г),

имеют

решение

гсс(0,

іа ) = 0

r c c

( * i , fe)

=

a ( l - e - ' « / ' * )

( e - *

i / *

* _ l _ J L j .

( с )

Вход

Выход

V

Ф и г . П . 2 . 2 . 4 .

Модель

аппарата

полного

перемешивания:

V ~

= FCo

- FC,

С (0) =

0,

где Со — к о н ц е н т р а ц и я

на

входе,

с л у ч а й н а я величина; С — т е к у щ а я к о н ­

ц е н т р а ц и я , с л у ч а й н а я величина;

F — скорость подачи; V — объем ж и д к о с т и .

2.2.5. Ковариация

и коэффициент

корреляции

Исследователю часто

требуется качественно, а если можно,

чинами некоторая

связь. Например, увеличивается ли давление

в реакторе, если

увеличить мощность. Если известно совместное

некую меру

линейной зависимости между ними, называемую

коэффициентом

корреляции.

При

этом безразлично, являются

ли эти величины зависимыми

или

независимыми.

Взаимной

ковариационной

функцией,

или ковариацией (сокра­

щенно

Соѵ), двух

случайных

функций

X (t)

и Y

(t) называется

функция

Охт (tu

h)

=

ЦІХ

(t,) - Цх (ti)}

lY

(t2)

-

\iY

(t2)]}

=

OO

oo

=

j

j

(x — Цх) (y — Цг) p

(X,

y,

tu

t2)

dx dy.

(2.2.13)

°хт (т ) =

rxr

(т) —

(2.2.13а)

Так

как величина

ковариации

зависит от

единиц измерения X

и Y,

можно ввести две нормированные (безразмерные)

переменные

Х —Ѵх

„

Y — ixy

о х—(0) -

и

Оу(0)

'

где

аргумент (0)

означает

т =

0.

Коэффициентом

корреляции

Ф и г.

2.2.4. Коэффициент

к о р р е л я ц и и

H его

экстремальные

и

нулевое з н а ­

чения пр и ах

=

су-

X

утверждение, однако, несправедливо, т. е. если pXY

=

0, то X и У

не обязательно независимы (хотя это и возможно).

Например,

связи между двумя величинами при помощи одного

числаГТГоло-

жительная корреляция означает, что величина oXY

положительна

как отрицательное значение aXY

означает,

что большие

значения

одной величины связаны

с малыми

значениями

другой.

На фиг. 2.2.4 приведены

графики со значениями коэффициента

корреляции, равными 0,

1 и — 1 .

р (х, у) = X +

у, О < X < 1, 0 < Y < 1,

р (х, у) — О в остальной

области.

1

1

Ѵ-х =

j j

x(x

+ y)dx

dy = ^2

,

0

0

1

1

Ц г =

j

j

y(x + y)dxdy

= ^2 .

0

0

1

1

V>X2= о^ 0j

x*(x + y)dxdy

= -c£=HY2,

<Ухт = Ш{(Х-Ѵх)

l

(Г12 -IМ}~

144='

так как

î

î

g { X Y }

=

j

\xy{x

+

y)dxdy

=

± .

Тогда

о

0

1

QxY

144 _

1

o x 0 " / _

11 ~

~

11

144