книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами
.pdf12 Глава 1
можно эффективно применить методы, излагаемые в этой книге. Последнее качество далеко не маловажно.
В этой вводной главе приводится используемая терминология и классифицируются математические модели, применяемые для описания реальных процессов. Здесь показывается, что реальные
процессы не всегда |
укладываются в рамки формальных представ |
||||
лений |
о |
них; указывается, |
в каких случаях следует использо |
||
вать |
статистические |
методы. |
|
||
|
1.1. Т Е Р М И Н О |
Л О Г И Я |
И К Л А С С И Ф И К А Ц И Я |
М О Д Е Л Е Й |
|
Анализ |
процессов |
— это |
применение научных |
методов в ходе |
постановки задач и при нахождении способов их решения. Он включает: 1) математическую формулировку задачи для заданной физической ситуации, 2) детальный анализ с целью построения
математических моделей и 3) |
синтез и описание результатов для |
||||
достижения полного понимания процесса. Процессом |
называется |
||||
серия реальных операций |
или обработок исходных материалов, |
||||
а моделью |
— математическое |
описание |
этого реального про |
||
цесса. |
|
|
|
|
|
Модели |
используются |
в |
различных |
областях — в |
биологии, |
физиологии, технике, химии, биохимии, физике и экономике. Нельзя, очевидно, с помощью одного определения охватить все многообразие значений слова «модель», но здесь оно будет обозна чать математическое описание процессов, помогающее анализиро
вать их |
и |
делать разумные предсказания. |
|
|
|
||
Детерминированными моделями |
называются |
такие |
модели, |
||||
в которых |
каждая |
переменная |
или параметр |
может |
при |
||
нимать |
определенное фиксированное значение или ряд |
фикси |
|||||
рованных значений в любых заданных условиях. Напротив, в |
ста |
||||||
тистических, |
или |
вероятностных, |
моделях допускается |
нео |
пределенность. Переменные или параметры, используемые для описания связей между входом и выходом, а также структура эле ментов (и ограничений) точно не известны. Статистические пере
менные и модели более детально рассмотрены в разд. |
1.2. |
||||
Различные модели процессов можно разделить на три наиболее |
|||||
общих типа: |
|
|
|
|
|
1. |
Модели |
тлений переноса, основанные на физико-химиче |
|||
ских |
принципах. |
|
|
|
|
2. |
Модели |
баланса популяций, |
базирующиеся |
на |
балансе |
популяций. |
|
|
|
|
|
3. |
Эмпирические модели, используемые для подгонки |
экспери |
|||
ментальных |
данных. |
|
|
|
Примерами моделей явлений переноса служат феноменологиче ские уравнения обмена, т. е. уравнения непрерывности, опи сывающие сохранение массы, импульса и энергии. Распределения
Введение |
13 |
по времени пребывания и другие распределения по возрасту явля ются примерами моделей баланса популяций. Наконец, типичны ми примерами эмпирических моделей служат полиномы, использу емые при подгонке экспериментальных данных.
В табл. 1.1.1 модели явлений переноса классифицированы по степени сложности физических представлений о процессе, необ ходимых для построения модели; эта сложность уменьшается свер ху вниз. Примеры конкретных моделей можно найти в таблицах
ипримерах части I I I .
Втабл. 1.1.2 представлена другая классификация явлений переноса, основанная на типе уравнений, используемых в моде лях; таким образом, она разделяет модели по степени сложности
их |
решения. Видно, |
что сложность, вообще |
говоря, |
возрастает |
к |
концу таблицы. Установившееся состояние |
означает |
равенство |
|
нулю кумулятивных |
членов (производных по времени). |
В случае |
сосредоточенных параметров предполагается, что можно прене бречь их изменением в пространстве; различные свойства и состоя ние системы (зависимые переменные) могут считаться одинаковы ми по всей системе. Наличие распределенных параметров, напро тив, предполагает детальный учет изменения поведения при переходе от одной точки системы к другой. Все реальные системы, конечно, являются системами с распределенными параметрами в том смысле, что в них всегда присутствуют какие-нибудь неодно родности. Однако эти неоднородности нередко оказываются отно сительно малозаметными, так что ими можно пренебречь и тогда система будет иметь сосредоточенные параметры.
В этой книге системой называется процесс или часть процесса, выбранная для анализа; система подразделяется на подсистемы (или элементы). Понятие системы не обязательно определяется аппаратурой, в которой протекает процесс, или природой самого процесса. Напротив, это понятие довольно условно, оно исполь зуется исследователем лишь для выделения процесса или его части в целях детального изучения. Например, насадочная ректифика ционная колонна обычно рассматривается как система, а тарель чатая ректификационная колонна — как система, состоящая из подсистем — отдельных ступеней. Такое определение не являет с я установленным раз и навсегда, ибо при желании насадочную ректификационную колонну можно рассматривать как некоторый •ступенчатый процесс, а тарельчатую ректификационную колонну— как единую систему.
Если переменная величина у на выходе подсистемы полностью определяется величиной х на входе в нее, параметрами подсистемы и начальными и граничными условиями, то в обобщенном смысле подсистему символически можно представить в виде
у = sex. |
(1.1.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
1.1.1 |
|
Классификация моделей явлений переноса по степени |
сложности физических представлений |
|
|
|||||||
Уровень физико- |
Распространенность |
Основные применения |
Анализируемые параметры |
|
||||||
химических пред |
среди исследователей |
|
||||||||
ставлений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М о л е к у л я р н о - |
И с п о л ь з у е т с я |
п р и |
Рассмотрение |
д и с к р е т н ы х величин, |
Ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я , |
и н т е г р а л ы |
||||
атомный |
изучении |
механиз |
квантовая |
м е х а н и к а , |
статистиче |
столкновений |
|
|
||
|
ма |
я в л е н и й |
|
с к а я м е х а н и к а , к и н е т и ч е с к а я тео |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
р и я |
|
|
|
|
|
Микроскопиче |
П р и м е н я е т с я |
только |
Я в л е н и я ламинарного |
переноса, |
К и н е т и ч е с к и е коэффициенты; |
коэф |
||||
с к и й |
в |
особых |
с л у ч а я х |
статистические теории |
т у р б у л е н т |
ф и ц и е н т ы вязкости, |
диффузии, |
|||
|
|
|
|
|
ности |
|
|
теплопроводности |
|
|
У ч и т ы в а ю т с я про |
П р и м е н я е т с я |
только |
Я в л е н и я ламинарного и |
турбулент |
«Эффективные» коэффициенты |
пере |
||||
странственные |
в |
особых |
с л у ч а я х |
ного переноса, перенос в пористых |
носа |
|
|
|||
неоднородности |
|
|
|
|
средах |
|
|
|
|
|
Учитываются |
И с п о л ь з у е т с я |
д л я |
|
о г р а н и ч е н и я на |
проточных |
систем, |
|
м а к с и м а л ь н ы й |
поршневых |
потоков |
|
градиент |
|
|
|
Макроскопиче |
Широко |
и с п о л ь з у |
|
с к и й |
ется |
|
|
Я в л е н и я ламинарного и |
т у р б у л е н т |
Межфазные коэффициенты |
переноса, |
||
ного переноса, |
расчеты |
реакторов |
кинетические константы |
|
|
Технологические |
процессы, общие |
Межфазные коэффициенты |
переноса, |
||
процессы, к л а с с и ч е с к а я |
к и н е т и к а |
макроскопические |
к и н е т и ч е с к и е |
||
и термодинамика |
|
константы, коэффициенты |
трения |
Таблица 1.1.2
Классификация детерминированных моделей явлений переноса, основанная на их математической структуре
А л г е б р а и ч е с к ие у р а в н е н и я |
Интегральные |
у р а в н е н и я (не |
Дифференциальные |
У р а в н е н и я |
в |
конечных |
|
у с т а н о в и в ш е е с я |
состояние, |
прерывные |
изменения) |
у р а в н е н и я (непрерыв |
разностях |
(дискретные |
|
сосредоточенные |
параметры) |
|
|
ные изменения) |
изменения, |
установив |
|
|
|
|
|
|
шееся состояние) |
|
Дифференциальные |
||
|
у р а в н е н и я |
в частных |
|
|
производных |
|
|
Установившее |
Неустановив |
||
с я |
состояние |
шееся |
состо |
(распределен |
яние |
(распре |
|
ные |
п а р а |
деленные па |
|
метры) |
раметры) |
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
Установившее |
Неустановив |
с я состояние |
ш е е с я состоя |
(один распре |
ние (сосредо |
деленный па |
точенные па |
раметр) |
раметры) |
Дифференциально - раз
ностные |
уравнения |
|
(произвольные |
с в я з и |
м е ж д у подсистемами
с |
распределенными |
и л и |
сосредоточенными |
параметрами в уста новившемся и л и не установившемся со стояниях)
Одномерное разностное уравнение (одномерная связь м е ж д у подсисте мами с сосредоточен ными параметрами)
Многомерное разностное уравнение ( многомер н а я с в я з ь м е ж д у подсистемами с сосре доточенными параме трами)
16 |
Глава 1 |
Оператор Ш описывает любое преобразование х в у. Предполо жим теперь, что на входе одновременно заданы две величины так, что
У = Ш (xi + xz) = M (xi) + M (x2) = yi + г/2. |
(1.1.2) |
Тогда оператор Ш, по определению, называется линейным опера тором, свойства которого более подробно описаны в приложе нии Б . Система называется линейной, если ей соответствует линей ный оператор 3£, а модель линейной системы, представляющая собой линейные уравнения и граничные условия, называется линейной моделью. В противном случае модель нелинейна. Даль нейшие детали классификации и применения моделей процессов можно найти в книге [1].
1.2. С Л У Ч А Й Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы И С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Е
МО Д Е Л И
Врезультате повторных измерений в большинстве реальных экспериментов обычно получаются отличающиеся друг от друга значения измеряемых величин. Такой исход эксперимента называ
ется случайным, |
стохастическим, |
возможным, статистическим или |
|
вероятностным |
в зависимости от |
вкуса |
автора; соответствующие |
величины называются случайными, |
или |
стохастическими. |
Существует много причин, приводящих к тому, что наблюде ния и измерения, сделанные в экспериментах, оказываются скорее случайными, чем детерминированными. Иногда случайность пред определена самой физической сущностью явлений, как, например, при радиоактивном распаде веществ или эмиссии электронов из катода — процессах, которые протекают на молекулярном
иатомном уровнях, а измеряются макроскопическими приборами.
Вдругих случаях сказывается неполнота информации о данной величине или применяемая аппаратура не позволяет получить всю требуемую информацию, так что наблюдаются лишь некоторые стороны явления. Часто это объясняется небрежностью и невни мательностью наблюдателя.
Вреальных заводских условиях производственные шумы,
периодические f сигналы и другие помехи |
влияют на |
измерения. |
Н а фиг. 1.2.1 воспроизведена диаграмма, |
полученная |
с датчика |
расхода питательного раствора при различных скоростях движе ния пера регистрирующего прибора. Верхняя картина получена на типовом промышленном приборе, на средней сигнал стал замет нее, на нижней картине ясно виден шум с частотой 60 Гц, прису щий аппаратуре, однако еще остались заметны характерные вариа ции. Наконец, неопределенность может возникать потому, что модель процесса в действительности не адекватна самому физическому процессу. В общем с отсутствием строгой детерминирован-
Введение |
17 |
ности измерений исследователь сталкивается повсюду в своей работе.
Истинное значение переменной — это такое ее значение, которое получилось бы при некотором измерении, если бы отсут ствовали элементы случайности, связанные с измерением. В этом смысле оно является гипотетическим значением. С понятием
ю |
1 М Л Н Н М НИИНШГ' 1 РГШИТГтМИЧШЧТИ» |
^ |
|
со |
|
|
|
«Г |
"' |
. , і. |
|
|
' • ' • |
L |
ГО |
шш |
ЛІ |
||
3? |
|
Ф и г . 1.2.1. П о к а з а н и я дифференциального датчика давления в трех раз личных временных ш к а л а х [5].
истинного значения связано понятие ошибки, ибо ошибка пред ставляет собой разность между измеренным и истинным значения ми. Случайной ошибкой называется разность между случайной^. величиной и ее истинным значением.
Итак, случайные результаты, полученные в эксперименте, содержат ошибку или неопределенность. Такую ошибку следует отличать от: 1) большой, в некотором смысле изолированной ошиб ки, которую можно назвать выбросом, и 2) постоянно возникающей ошибки, например, вследствие плохой калибровки прибора или
18 |
Глава 1 |
из-за предвзятого подхода к эксперименту. Ошибки последнего типа вызывают смещение или ведут к потере точности и называются систематическими. Точность показывает, насколько среднее зна чение экспериментальных данных близко к истинному значению; воспроизводимость результатов характеризует величину разброса экспериментальных данных относительно их среднего значения. Методы, излагаемые в этой книге, не позволяют рассматривать систематические ошибки 2 ) .
Таким образом, можно |
считать, что эксперимент |
приводит |
|
к различным исходам |
каждому эксперименту можно |
сопоста |
|
вить функцию времени X |
{t, |
£), действительную или комплексную. |
|
t |
a |
â |
Ф и г. 1.2.2. Выборочные случайные функции а н с а м б л я . |
|
а — трехмерная |
картина; б — двумерная картина. |
Семейство (совокупность) |
всех возможных функций X (t, Q обыч |
но называется стохастическим или случайным процессом. Однако в этой книге под случайным процессом понимается физический исследуемый процесс, который проявляет стохастические свойства
постольку, поскольку включает в себя случайные |
отклонения |
||||||
входных |
и выходных |
переменных, |
коэффициентов, |
начальных |
|||
и граничных условий по отдельности или в любых их |
комбинаци |
||||||
я х . Д л я |
семейства функций X (/,'£), |
которое |
представляет собой |
||||
набор всех возможных |
временных диаграмм |
экспериментальных |
|||||
данных, используется термин ансамбль. |
|
На фиг. 1.2.2 |
изображены |
||||
три выборочные |
функции |
(выборочные |
диаграммы) ансамбля для |
||||
одной и той же |
переменной величины, |
регистрируемой в течение |
х ) Систематические ошибки рассматриваются в работах [2, 3 ] . Подроб ное обсуждение понятий точности и воспроизводимости результатов м о ж н о найти в статье [4] .
Введение |
19 |
конечного интервала времени. Эти графики могут |
представлять |
или повторные серии на одной и той же аппаратуре, или одновре менные серии на идентичной аппаратуре.
Ансамбль, как одна временная запись и как группа одновре менных экспериментов, также имеет случайный характер. Неко торые случайные величины можно выразить явными функциями, другие — лишь графически или с помощью таблиц. В последующем
изложении переменная £ в аргументе |
X будет опущена и величина |
|||||||||||
X |
(t) |
будет |
обозначать: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) |
ансамбль |
(совокупность зависящих от |
|
времени |
функций); |
||||||
|
2) одну функцию для отдельного |
эксперимента, проводимого |
||||||||||
во |
времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы отличить одну величину (случайную или неслучайную) |
|||||||||||
от другой, |
будут |
использоваться |
индексы. Подходящий смысл |
|||||||||
|
|
|
|
|
Детерминиро |
- |
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ванная |
модель |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ошибка £ |
|
|
|
|
|
|
|
x(t)- |
|
Детерліиниро |
- - |
уМ |
|
|
ХШ |
Стохаcmи ческая. |
Yd) |
|||
|
ванная мадепь |
|
©—-YM |
|
|
|
|
|
||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Ф и г . |
1.2.3. Блок - схемы статистических |
моделей. |
|
|
||||||
обозначений нетрудно понять из контекста. Случайная |
величина |
|||||||||||
в |
заданный |
момент времени |
будет |
отмечаться индексом при t, |
например X (ti); отсутствие аргумента у X означает, что величина не зависит от времени t. Часто бывает необходимо различать слу чайную величину X и ее конкретное значение, для которого будут использоваться строчные буквы. Как правило, случайные вели чины будут обозначаться прописными буквами из второй половины алфавита. Однако некоторые общепринятые символы для случай ных величин, например для оценки дисперсии, будут сохранены. Строчными буквами, вообще говоря, будут обозначаться детерми нированные величины, за исключением таких понятий, как
'«абсолютная |
температура». |
Данное |
выше описание случайных |
|
величин, естественно, не |
позволяет |
существенно |
продвинуться |
|
в понимании |
их природы или умении применять |
статистические |
методы расчета случайных процессов. Такое понимание и умение анализировать приходит лишь при достаточной практике.
Статистическая модель — это не что иное, как математическое "(Угасание случайного процесса. Фиг. 1.2.3 дает представление о по токе информации в двух простых статистических моделях. На
20 |
Глава |
1 |
|
фиг. 1.2.3, б случайная |
ошибка добавляется к выходу детермини |
||
рованной модели, изображенной |
на фиг. 1.2.3, а, что |
приводит |
|
к случайной выходной |
переменной. На фиг. 1.2.3, в |
сл^яайная |
выходная переменная возникает вследствие случайного характера входной переменной. Не исключено, что и дифференциальные уравнения модели могут быть стохастическими, если они содержат случайные коэффициенты. Зависимые и независимые переменные процесса могут быть дискретными или непрерывными. Многие, но не все переменные, связанные с непрерывным процессом, такие, как температура, давление, состав, являются непрерывными, т. е.
Статистическая
модель
Стационар |
|
Не стационар |
||
|
ная |
|
ная |
|
Эргооич- |
Не |
эргодич- |
|
|
ная |
|
ная |
|
|
Ф и г. 1.2.4. Альтернативная к л а с с и ф и к а ц и я |
статистических |
моделей . |
||
могут принимать |
любое |
значение внутри |
некоторого |
интервала. |
Дискретные переменные могут принимать только отдельные зна чения в некотором интервале.
Статистические модели можно классифицировать подобно тому, как показано в табл. 1.1.2 или на фиг. 1.2.4. Термины, при веденные на фиг. 1.2.4, поясняются в гл. 2 и 12. Хотя статистиче ская модель представляет собой только некоторую абстракцию реального процесса, она, по-видимому, с достаточной полнотой описывает процесс, особенно изучаемую величину. Пока модель
достаточно хорошо описывает реальную ситуацию |
в том смысле, |
|||||||||
что |
выводы, |
полученные |
при математическом |
анализе |
модели, |
|||||
обладают необходимой точностью, она считается |
пригодной. Пре |
|||||||||
имущества |
работы с моделью, а не непосредственно с эксперимен |
|||||||||
тальными |
результатами таковы: |
|
|
|
|
|
||||
1. |
В |
модели можно |
устанавливать |
точные |
соотношения |
|||||
между величинами и преобразовывать |
их математически; в реаль |
|||||||||
ном процессе эти соотношения выполняются |
лишь |
приближенно. |
||||||||
|
2. |
Модель позволяет выделять нужные характеристики |
процес |
|||||||
са, |
отбросив |
многие запутывающие |
и несущественные |
черты, |
||||||
не требующие строгого анализа. |
|
|
|
|
О |
|||||
3. Модель можно использовать для прогнозирования |
поведе |
|||||||||
ния |
в области, где отсутствуют экспериментальные |
данные. |
Введение |
21 |
Предполагая, что измеренные значения переменных содержат лишь случайную ошибку, а систематическая ошибка отсутствует, исследователь на основе конечного числа измерений ставит перед собой цель определить:
1)тенденцию измерений группироваться относительно некото рого центрального значения данной переменной;
2)рассеяние измеренных значений относительно этого центра;
3)достоверность этих оценок.
Центральное значение обычно характеризуется средним по ан самблю и оценивается с помощью выборочного среднего или сред него по времени. Рассеяние характеризуется дисперсией по ансам блю, которую можно оценить по выборочной дисперсии или соот ветствующему среднему по времени. Эта описательная статистика, позволяющая экспериментатору представить многообразную информацию в компактной форме, рассматривается в следующей главе.
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
1.1. Провести |
классификацию |
моделей |
по табл. 1.1.1 |
для сле |
||||
дующих процессов: |
|
|
|
|
|
|
||
а) |
Ламинарное течение |
в |
круглой |
трубе |
|
|||
|
|
1 |
d |
dvz |
|
Äp |
|
|
|
|
г dr |
dr |
|
L |
1 |
|
|
где |
|
|
|
vz |
|
|
|
|
г — радиальная |
координата, |
— скорость вдоль оси |
трубы, |
|||||
Ap/L |
— перепад |
давления. |
|
|
|
|
|
|
б) Распространение тепла в бесконечном цилиндре |
|
|||||||
|
|
_дТ__а__а_ |
дг Г |
дТ |
|
|
||
|
|
dt |
~ |
г |
дг ' |
|
|
где Т — температура, г — радиальная координата, а — постоянная.
в) Теплопередача в аппарате с рубашкой
|
|
|
g = |
UA |
AT, |
|
|
где q — тепловой поток, |
U — постоянная, |
А — площадь поверх |
|||||
ности теплообмена, AT — разность температур. |
|||||||
1.2. Какого типа модель (с распределенными или сосредоточен |
|||||||
ными |
параметрами) |
применяется в |
следующих случаях? |
||||
а) |
Теплообмен в |
потоке |
|
, |
|
|
|
|
|
дТ |
, |
дТ |
|
. |
„ |
б) |
Массообмен в емкости |
|
|
|
|
•4^--4- ас = V) (t).