книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

величина Л превышает значение %2, найденное по таблицам при­ ложения В для данного значения а, то гипотеза Н0 о том, что

7,50

•

из таблиц равно 7,81; таким образом, гипотеза о равенстве диспер­ сий для различных Xt отвергается. На фиг. П.3.6.3 показано, как изменяется дисперсия в зависимости от X.

даемые случайные величины распределены по нормальному зако­ ну, весьма обосновано; исследователь может выполнить подходя­

Ф и г . 3.6.1. Логарифмическое преобразование .

чувствительны к отклонениям от нормального закона; если пред­ положение о нормальности распределения не выполняется, эти критерии должны быть видоизменены или нужно использовать другие критерии.

Другим методом решения проблемы, связанной с отклонением "распределения измеряемых случайных величин от нормального,

и уменьшить различия между дисперсиями отдельных групп дан­ ных. Эти преобразования можно рассматривать как некоторое изменение масштаба для первоначальных переменных, позволяю­ щее расположить их наиболее благоприятным образом. Например, логарифмическое преобразование заменяет резко асимметричное распределение, изображенное на фиг. 3.6.1, а, на распределение, гораздо более похожее на нормальное (фиг. 3.6.1, б). Однако, пытаясь разрешить существующие проблемы с помощью пре­ образований, следует быть достаточно осторожным, чтобы случай­ но не создать новые трудности.

Пример 3.6.4. Преобразование плотности распределения

вероятности

Роуз и Инглиш [10] исследовали распределение прочности на разрыв для одинаковых бумажных пакетов, содержащих равное количество некоторого вещества, при бросании в заданных уело-

отклонением, описать ~2000 испытаний пакетов с другим напол­ нением.

Если данные можно получить без особых затруднений и затрат, простейшим методом нормализации распределения является усреднение данных по группам и проведение проверок по сред­ ним в группе. Рациональность такого подхода базируется на центральной предельной теореме, упомянутой в разд. 2.4.1, согласно которой распределение суммы п случайных (распреде­ ленных не обязательно по нормальному закону) величин имеет тенденцию приближаться к нормальному распределению по мере возрастания объема выборки.

Выборочные дисперсии, если они получены из генеральной совокупности с одной и той же дисперсией а 2 , могут быть объеди­ нены для улучшения оценки а 2 . Однако, если выборочные диспер­

нее? Можно сделать заключение, что если доверительный интервал не включает выборочное среднее, нулевая гипотеза отвергается — такой же вывод можно получить при проверке гипотезы. Однако использование доверительных пределов может оказаться более предпочтительным, так как это дает исследователю представление

Все критерии, которые рассматривались до сих пор, явно включали предположение о том, что исследуемые случайные величины распределены по некоторому известному закону, как правило, по нормальному. Такие критерии называются параме­ трическими. Существуют другие типы критериев, включающие ранговую корреляцию и проверку знаков, которые не требуют таких предположений и называются непараметрическими, крите­ риями или критериями с произвольным распределением. (Непара­ метрические характеристики реально применимы только к уровню значимости и лишь для выборок непрерывных величин. Во многих непараметрических критериях вероятностные соотношения в дей­ ствительности зависят от распределения вероятности случайной

переменной.) Непараметрические методы можно использовать при проверке гипотез для того, чтобы найти интервальную или даже точечную оценку параметров и т. д. Например, непараметриче­ ской оценкой среднего по ансамблю служит медиана случайной выборки (центральное значение переменной для нечетных п и сред­ нее двух центральных значений для четных п)\ непараметриче­ ской оценкой стандартного отклонения является размах (абсо­ лютная величина разности между наибольшим и наименьшим значениями в выборке). Ни одна из этих статистик не является столь эффективной, как выборочное среднее и выборочное стан­ дартное отклонение, которые описывались выше.

Здесь будет рассмотрено лишь несколько непараметрических критериев, главным образом те, которые могут заменить пара­ метрические критерии для средних и дисперсий, описанные в раз­ делах 3.4 и 3.5, а также критерии, которые могут быть исполь­ зованы при установлении стационарности, случайности и нор­ мальности случайных переменных. Большинство монографий по статистике содержит главу, в которой описаны различные типы непараметрических критериев; Сэвидж [11] составил хорошую библиографию, посвященную применениям таких критериев.

Простейшим непараметрическим критерием, который можно использовать вместо критерия t, является критерий знаков для парных наблюдений. Предположим, что проведено п пар изме­ рений некоторой случайной величины, причем одно из каждой пары при условии А, а другое при условии В. Если нет нулевых разностей, то разности At — Bt либо положительны, либо отри­ цательны; положительный результат распределен как биномиаль­ ная переменная с Ѳ = Ѵ2 . (Полученные при расчете нулевые разности могут быть обработаны различными способами, ни один из которых не является полностью удовлетворительным. Но если доля нулевых разностей невелика, скажем меньше 5%, пары наблюдений с нулевой разностью можно опустить из рассмотрения или поделить поровну между положительными и отрицательными исходами.) Так как критерий знаков основан на биномиальном распределении, биномиальные события должны быть независимы (табл. 2.3.1), т. е. знак разности для одной пары измерений никак не должен влиять на знак разности любой другой пары, а выборка должна быть случайной. Кроме того, исходы должны быть непре­ рывными.

таблицы для биномиального распределения накопленной вероят­ ности, вычислим

необходимое для того, чтобы отвергнуть гипотезу, для различных критических областей. При пользовании этой таблицей нулевые разности нужно отбросить. Например, пусть п = 8, г = 2, а и»

Среди непараметрических критериев критерий U* Манна — Уитни является наиболее мощным критерием, заменяющим кри­ терий t. Этот общий метод, впервые предложенный Уилкоксоном и другими, был усовершенствован и представлен в форме таблиц Манном и Уитни [13]. Он может быть применен для проверки идентичности двух совокупностей. Пусть взята некоторая выборка, состоящая из п наблюдений (обозначаемых символом х), и выбор­ ка из m наблюдений (обозначаемых символом у) предположи­ тельно из одного и того же непрерывного ансамбля. Затем эти n + m наблюдений записываются в порядке возрастания значений независимо от их принадлежности к той или иной выборке. Каждое упорядоченное таким образом наблюдение заменяется символом х или у в соответствии с тем, из какой выборки взято это наблюде­ ние. В результате получается некоторый структурный ряд, содер­ жащий п символов X и m символов у, перемешанных между собой. Если все m + п наблюдений были различны, то можно было бы получить (т + п)\ различных структур. Однако для каждой действительно отличной от других структуры возможны п\ пере­ становок символов X, которые ее не меняют, и аналогично ml перестановок символов*!/. Поэтому всего имеется

160 Глава 3

когда символ у предшествует символу х. Величина U* равна числу символов у, предшествующих наименьшему символу х, плюс число символов у, предшествующих следующему по величине символу х, включая все символы у, уже вошедшие в первую группу, и так далее, пока не будет подсчитано и включено в сумму число симво­ лов у, предшествующих последнему символу х. Если нулевая

купности.) Испытание будет значимым при уровне значимости а, если P {U* ^ £/„} = а. В случае совпадения величин реко­ мендуется приписывать каждому члену группы совпадающих величин среднее значение рангов совпадающих членов, подсчитан­ ных последовательно. Если сумма рангов, т. е. сумма значений, приписанных рангам, не является целой, ее следует округлить до ближайшего целого числа; в литературе, приведенной в конце этой главы, описаны некоторые другие способы применения дан­ ного критерия.

Чтобы применить этот критерий, некоторый член xt выборки меньшего объема нужно заменить і-ш символом х (в порядке возрастания значений) и выписать его ранг согласно структуре, содержащей символы х и у. Обозначим через ut число символов у, предшествующих значению xt. Пусть Тх обозначает сумму рангов наблюдений х (Т представляют собой критические значения Т Уилкоксона [14], приведенные во многих монографиях по ста­ тистике). Статистика U* Манна —Уитни связана с Тх следую­ щим образом: •