книги из ГПНТБ / Теория и техника передачи данных и телеграфия учебник

КО Р Р Е К Т И Р У Ю Щ И Е К О Д Ы

§6.1. Принципы построения корректирующих кодов

ками в принимаемых сообщениях является применение в аппа­ ратуре передачи данных корректирующих кодов.

Корректирующими называются коды, позволяющие обнару­ живать или исправлять ошибки, возникающие в сообщении в процессе передачи вследствие воздействия помех.

Поясним принцип построения корректирующих кодов на при­ мере равномерных кодов. В этой главе, как и далее, будем рассматривать только двоичные коды, значения элементов кото­ рых обозначим «О» и «1». Это не ограничивает возможности рас­ пространения методов на случаи кодов с любым основанием. Идея построения корректирующих кодов заключается в том, что

Принцип обнаружения ошибок с помощью кода состоит в сле­ дующем. Переход переданной кодовой комбинации в запрещен^ ную, возможный в результате воздействия помех, выявляется при анализе принятой комбинации в декодирующем устройстве, и тем самым устанавливается факт наличия ошибки в анализируемой комбинация. Вполне очевидно, что если под воздействием помех переданная комбинация трансформируется в разрешенную, то в этом случае ошибки не обнаруживаются и происходит ложное отождествление принятого сообщения с некоторым сообщением источника (необнаруженная ошибка). Таким образом, множе­ ство запрещенных комбинаций можно рассматривать как общую защитную область кода, при этом ошибки в переданной комби­ нации обнаруживаются в Nn— Лг к случаях возможных ее транс-

включает защитная зона, тем выше корректирующие свойства кода.

Вполне понятно, что у наиболее эффективных корректирую­ щих кодов число разрешенных комбинаций значительно уменьшается по сравнению с полным числом возможных ком­ бинаций. При этом код способен исправить jVn — 7VK возмож­ ных трансформаций кодовых комбинаций. Доля же исправля­ емых трансформаций от общего числа возможных составляет

Рис. 6.1.

(1 — NKl Л/Д7VK, т. е. в NK раз меньше доли обнаруживаемых трансформаций. В этом отношении обнаружение ошибок эф­ фективнее, чем исправление.

бинациях в определенных разрядах содержатся все возможные двоичные последовательности длины k или когда набор из NK комбинаций при помощи некоторого преобразования может быть отображен на множество из 2h всех возможных последователь­ ностей длины k. Если же Лг к не равно степени числа 2, то это приводит к тому, что log2 A/K не будет равен целому числу. В та­ ком случае следует log2 A/K округлять до ближайшего большего

ния. Эта операция осуществляется в кодирующем устройстве. Таким образом, в каждой кодовой комбинации корректирую­

щего кода, наряду с k элементами, несущими информацию источ­ ника сообщений (информационные элементы), имеется г эле­ ментов, обеспечивающих коду корректирующие свойства (избы­ точные элементы).

Вводимая в кодовую комбинацию избыточность оценивается либо числом избыточных элементов (абсолютная избыточность), либо отношением kin (скорость передачи или коэффициент передачи кода).

Минимальное кодовое расстояние. Минимальное кодовое расстояние dM 1 ,„ между различными парами кодовых комбинаций

исправляются кодом.

Пусть s означает кратность гарантийно обнаруживаемых ко­ дом ошибок, a t — кратность гарантийно исправляемых ошибок. Если код используется только для обнаружения ошибок, то для обнаружения всех вариантов из s или менее ошибок в кодовой комбинации необходимо и достаточно иметь минимальное кодо­ вое расстояние, равное dM„„ s-L 1. Действительно, если мини­ мальное расстояние равно s - f l , то никакой вариант s-кратной ошибки не может перевести передаваемую комбинацию в разре­ шенную, в го время как при минимальном расстоянии dMWH^.s существует хотя бы одна пара комбинаций, отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем или равном s, и найдется такой

можно, если с/М И н^2^4-1. В этом случае в защитную зону каж­ дой кодовой комбинации входят все запрещенные комбинации,

отличающиеся от нее в t элементах и менее. Любая комбинация

с* ошибками отличается от переданной в f элементах, а ог

другой кодовой комбинации — в 2t+\ —?>t элементах и поэтому будет отождествлена декодирующим устройством с переданной комбинацией. Если ж е dymH<^2t, то возможен хотя бы один слу­ чай, когда сшибка кратности t трансформирует переданную ком­ бинацию в такую запрещенную комбинацию, которая столь же близка к одной из непередававшихся разрешенных комбинаций, как и к переданной (рис. 6.3).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что для од­ новременного исправления всех ошибок кратности до t включи­ тельно и обнаружения всех оши­

нялось уСЛОВИе Ямин ^ + S + 1. Приведенные результаты име­

ют общий характер. Они справед­

То или иное использование потен­ циальной корректирующей спо­ собности кода реализуется только при удачном выборе разрешен­ ных и запрещенных комбинаций в коде, т. е. зависит от структур­ ных свойств кода.

В зависимости от требований, предъявляемых к корректирующему коду в конкретной системе передачи дискретной информации, возможны следующие различ­ ные задачи, связанные с особенностями построения корректи­ рующих кодов:

—при заданных я и k построить код с максимальным зна­

чением минимального кодового расстояния d M I I H ;

других задач.

Указанные задачи требуют отыскания функциональной зави­

Все корректирующие коды могут быть подразделены на два обширных класса — блоковые и непрерывные коды.

Блоковыми называют такие коды, в которых каждому от­ дельному сообщению соответствует кодовая комбинация (блок) из определенного числа элементов.

Непрерывными называют такне коды, в которых операция кодирования и декодирования производится непрерывно над всей последовательностью элементов, составляющих сообщение. Деление передаваемой информации (сообщения) на блоки в этом случае отсутствует.

Блоковые коды в свою очередь делятся на разделимые и не­ разделимые. Разделимыми называют такие коды, в которых из­ вестны места информационных и избыточных элементов. В не­ разделимых кодах не известно, какие элементы относятся к информационным, а какие к избыточным. Очень часто в разде­ лимых кодах избыточные и информационные элементы связы­ ваются между собой системами линейных проверочных соотно­ шений. Такие разделимые коды принято называть систематиче­ скими кодами. Избыточные элементы в систематических кодах

ноды

6лемоб°/>/е

Не/Оаэделг/мь/е

Рис. 6.4.

обычно вводятся как результат проверки на четность определен­ ной совокупности информационных элементов. В силу этого избы­ точные элементы кодовой комбинации называют проверочными.

На рис. 6.4 приведена схема, иллюстрирующая рассмотрен­ ную классификацию корректирующих кодов.

В настоящее время в технике связи широкое распространение получили как блоковые, так и непрерывные коды. Из блоковых кодов наиболее перспективными с точки зрения применения в современных системах связи являются систематические коды.

§ 6.2. Групповые коды и способы их описания

Д л я удобства описания и пояснения принципов построения корректирующих кодов множество кодовых комбинаций отож­ дествляют с векторами или многочленами.

строке прибавим первую и запишем результат в качестве третьей строки. В результате получим порождающую матрицу в кано­ нической форме:

Широкое применение нашел также и другой способ матрич­ ного описания кодов. Сущность его сводится к следующему. Если записать правило формирования каждого из проверочных соотношений кода в виде «-элементного проверочного вектора -из нулей и единиц, в котором единицы расположены на местах элементов кодовой комбинации, входящих в проверочное соот­

комбинации, которые входят в проверочное соотношение, и,

проверок есть проверочное соотношение, связывающее ряд информационных элементов кодовой комбинации с одним из избыточных элементов. Единицы на позициях, соответствующих информационным элементам кодовой комбинации, указывают, какие информационные элементы участвуют в формировании проверочного элемента, а единица на позициях избыточных элементов указывает, какой именно проверочный, элемент об­ разован данной суммой информационных элементов. Так как каждая строка матрицы проверок отличается от других по