книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

290 г л . 7. М ЕТО Д Ы И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Интегральное каноническое представление стационарной случай­ ной функции Z имеет вид

— ОО

где U (со) — некоторый белый шум аргумента со. Так как действи­ тельная случайная функция Z совпадает со своей комплексной сопряженной величиной, то на основании (7.4.16) можем написать

Но взаимная корреляционная функция белых шумов V и U выра­ жается через взаимную спектральную плотность sxz (со) случай­ ных функций X и Z формулой (см. [54], § 5.6 или [53], § 78)

Сравнивая (7.4.20) с известным выражением взаимной корре­

292 ГЛ . 7, М ЕТОДЫ И ССЛЕДОВАН ИЯ ТОЧНОСТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Координатные функции выходной переменной системы в устано­ вившемся режиме выразятся аналогичной формулой

УкИ = У (tk, со) = ф (гео) eiahT*= ¥ (еіаТп) е™кТ* (7.5.3)

(& = 0, + 1, ± 2 , ...) .

Подставляя это выражение в формулы (7.2.39) и (7.2.40) и прини­ мая во внимание, что в данном случае

и дисперсии выходной переменной дискретной линейной системы:

2 я /Т п

Интегрирование в формулах (7.5.4) и (7.5.5) производится вдоль отрезка мнимой оси на плоскости комплексной переменной

s от 0 до точки 2яі/Тп. При переходе к переменной z = е5Тп этот отрезок перейдет в единичную окружность С4 плоскости z. Поэтому

при замене переменных z = ег<оТп формулы (7.5.4) и (7.5.5) при­ мут вид

где

а интегрирование производится вдоль единичной окружности. Если перейти в формулах (7.5.4)—(7.5.7) к переменной К =

= ѴІІ = (z — 1)li (z + 1) = (егшТп — i)/i (ешТп -f 1), то, учиты­ вая, что единичной окружности плоскости комплексной перемен­ ной z соответствует вся мнимая ось плоскости переменной ѵ,

294 гл. 7. М ЕТО Д Ы И ССЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О С ТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

К этому же виду приводится формула (7.5.10) заменой переменных z =

Применив для вычисления интеграла формулу (7.4.6), снова получим форму­ лу (7.5.15).

§ 7.6. Применение теории линейных систем для нахождения интегральных канонических представлений случайных функций

Из теории случайных функций известно, что для нахождения интегрального канонического представления случайной функции X (t) в данном интервале (/0? h) изменения аргумента t достаточно найти три функции х (t, к), а (t, к), G (к), удовлетворяющие усло­

будет представлять собой белый шум, интенсивностью которого является функция G (к), а случайная функция X (t) выразится через белый шум V (к) интегральным каноническим представле­ нием

Корреляционная функция белого шума V (А,) определяется фор­ мулой

В общей теории интегральных канонических представлений параметр Я может быть произвольной величиной и в соответствии с этим V (X) является белым шумом не в физическом, а в обобщен­ ном, математическом смысле. Однако в приложениях часто оказы­ вается возможным рассматривать случайную функцию времени как результат прохождения некоторого физического белого шума, представляющего собой случайную функцию времени, через некоторую линейную систему. В этом случае параметр X пред­ ставляет собой время, а функцию х (t, X) можно рассматривать как весовую функцию системы, формирующей данную случайную функцию времени из белого шума. Функция а (t, Я) в этом случае может рассматриваться как весовая функция обратной системы, преобразующей данную случайную функцию в белый шум. Эти соображения наводят на мысль попытаться применить для нахож­ дения интегральных канонических представлений случайных функций теорию линейных систем. Как будет видно из дальней­ шего, это во многих случаях приводит к положительным резуль­ татам.

В § 4.2 было показано, что весовые функции двух взаимно обратных физически возможных линейных систем в любом интер­ вале (г0> h) связаны соотношениями (4.2.10) и (4.2.11), которые можно переписать в других обозначениях в виде

н

to

Здесь мы произвольно расширили пределы интегрирования, имея в виду, что вследствие условия физической возможности подынте­ гральная функция в первой формуле отлична от нуля только при Я < Я ' в интервале (Я, Я'), а подынтегральная функция во второй формуле отлична от нуля только при t > t' в интервале (t', t). Соотношения (7.6.7) и (7.6.8) по существу не отличаются от (7.6.1) и (7.6.2). Поэтому, если известны весовые функции w и w~ двух взаимно обратных линейных систем, то, принимая во внимание, что эти весовые функции действительны, можно удовлетворить условиям (7.6.1) и (7.6.2), приняв

Таким образом, весовые функции двух взаимно обратных линей­ ных систем всегда удовлетворяют двум условиям (7.6.1) и (7.6.2)

Параметр А, в данном случае имеет смысл времени. Поэтому белый шум V (А,) в данном случае является случайной функцией времени, т. е. представляет собой белый шум в обычном, а не в обобщенном смысле. Это дает возможность перейти в форму­ лах (7.6.11), (7.6.12) и (7.6.13) к обычным обозначениям теории линейных систем. Тогда, учитывая, что весовые функции w и w~ удовлетворяют условию физической возможности, перепишем формулы (7.6.11), (7.6.12) и (7.6.13) в виде

Таким образом, мы видим, что проблема отыскания интеграль­ ного канонического представления случайной функции времени сводится к нахождению двух взаимно обратных физически воз­ можных линейных систем, одна из которых преобразует данную случайную функцию в белый шум, а другая формирует эту слу­ чайную функцию из белого шума. В соответствии с этим иногда линейную систему с весовой функцией w (t, т), формирующую данную случайную функцию из белого шума, называют форми­ рующим фильтром.. При этом задачу нахождения интегральногоканонического представления случайной функции времени ставят более конкретно как задачу нахождения формирующего фильтра.

П р и м е р 7.6.1. В примере 4.4.1 мы видели, что функции

в

w~ (t , т) = аI (г) б' (t — г) + а0 (г) б (г — т)

являются весовыми функциями двух взаимно обратных линейных систем. Предположим теперь, что функции а, (t) и а0 (<) при всех t положительны и ограничены, и рассмотрим случайную функцию X (t), корреляционная Функция которой определяется формулой

298 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДОВАН ИЯ ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

4-де

Таким образом, функции х (t, X) = w (t, X), а (t, X) — w~ (X, t) и G (X) = 1

удовлетворяют всем трем условиям (7.6.1), (7.6.2) и (7.6.3), если принять t0 = Хі = —оо, Xi = ti, где fi — произвольный момент времени. Следова­ тельно, рассматриваемая случайная функция X (f) выражается интеграль­ ным каноническим представлением (7.6.15) при fo = —°о в любом полубескоаечном интервале времени (—оо, ti).

К сожалению, в настоящее время не существует общих методов нахождения такой линейной системы, которая преобразует дан­ ную случайную функцию в белый шум, и соответствующей обрат­ ной системы — формирующего фильтра. Однако в некоторых частных случаях эта задача решается сравнительно просто. В частности, эта задача легко решается для любой стационарной случайной функции X (t), спектральная плотность которой является дробно-рациональной функцией.

Предположим, что спектральная плотность стационарной слу­ чайной функции X (t) выражается формулой

(7-6-20)

где Р (со) и Q (со) — некоторые полиномы относительно со. Так как sx (со) — четная функция, то полиномы Р (со) и Q (со) содержат

от спектральной плотности, определяющий дисперсию случайной

существенно положительна при действительных значениях часто­ ты со, полином Р (со) обычно также не имеет действительных кор­ ней и все коэффициенты полиномов Р (со) и Q (со) действительны. Из этих свойств полиномов Р (со) и Q (со) следует, что корни каждого из них являются попарно сопряженными комплексными величинами и каждому корню соответствует корень того же поли­ нома, противоположный по знаку. Иными словами, корни каж­ дого из полиномов Р (со) и Q (со) расположены в плоскости ком­ плексной переменной со симметрично относительно действитель­ ной и мнимой осей (рис. 7.6.1).

Разложим теперь полиномы Р (со) и Q (со) на множители и отбе­ рем в полученных разложениях множители, соответствующие корням, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной со. Добавив к таким множителям в разложении поли­