Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 477 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Заменяя согласно (1) геометрическую сумму всех	сил сходя
щейся системы их равнодействующей, получим
k ^ M 0 , k ^ 7 x R .	(18)
k= і

Словами это равенство можно прочитать так: момент равнодей ствующей системы сходящихся сил относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил относительно той же точки. Момент силы относительно точки есть вектор, поэтому'сумма является гео метрической. В частном случае, если все силы и центр моментов

y / f = £ F

			С	В	О
			F,	F2
			F,
			R'FI+F2
		Рис. 34	Рис.	35
лежат	в одной	плоскости, то	все векторы моментов направлены по
одной	прямой,	перпендикулярной к этой плоскости, и геометриче
ское сложение		моментов сил	заменяется алгебраическим.

Таким образом, момент равнодействующей плоской системы сходя щихся сил равен алгебраической сумме моментов составляющих 1 . Тео рема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива не только для

пучка		сил, но для всякой системы сил, имеющей равнодействующую.
Так,	например, момент			равнодействующей			R	двух	параллельных
сил	Ft	и F2 относительно			произвольной	точки О (рис. 35)				равен:
R-CO		= (F. + FJCO	=	Fx(OA	— AC) + F2	(CB + JBO) = F1AO +				FlBO,
что	и	требовалось	доказать. Методом от			п	к	n + l	нетрудно	пока
зать	справедливость		теоремы		Вариньона для		любого		числа сил.

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендику лярную к оси, и затем опре делить момент проекции силы относительно точки пересе

чения оси и плоскости

§ 9. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

Момент силы относительно оси. Ознаком ление с понятием момента силы относи тельно оси, имеющим большое значение, начнем с конкретного примера. Дверь (рис. 36) может поворачиваться вокруг

оси. Механическое воздействие силы F, поворачивающей дверь, зависит не только от величины, но и от положения вектора

—>

силы по отношению к оси. Разложим силу F на две составляющие, из которых одну (Q) направим параллельно оси, а другую (Р)

1 Доказана П. Вариньоном и опубликована в 1725 г.

расположим в плоскости, перпендикулярной к оси. Очевидно, что составляющая, параллельная оси, поворачивать дверь не будет, действие же составляющей, расположенной в плоскости, перпен дикулярной к оси, зависит не только от ее величины Р, но и от кратчайшего расстояния между линией действия этой состав ляющей и осью. Иначе говоря, действие силы F на закрепленную

на оси дверь характеризуется моментом составляющей Р (располо женной в плоскости, перпендикулярной к оси) относительно точки пересечения оси и плоскости.

Установим теперь общее правило определения момента силы относительно оси.

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно эту силу спроецировать на перпендикулярную к оси плоскость и опре

делить момент проекции силы относи
тельно точки пересечения			оси и плоско
сти. Момент силы относительно оси — ска
лярная	величина, потому что у него нет
с о б с т в е н н о г о		направления, а «на
правлен» он по оси в ту или иную сто
рону, т. е. определяется величиной и
знаком и, конечно, направлением оси.
Где	именно	проведена	перпендику
лярная к оси плоскость, не имеет зна
чения, так как проекции силы на парал
лельные	плоскости и плечи проекций

	силы во всех случаях одни и те же.	Рис. 36
	Если сила параллельна оси или пере	Рис. 36
	Если сила параллельна оси или пере
	секает ось, то момент силы относительно

оси равен нулю. Эти два случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Момент силы	относительно	Покажем, что момент		силы	относительно
		оси равен	проекции	на данную ось век
оси равен проекции на эту
ось момента	силы относи	тора момента силы относительно какой-
тельно какой-либо точки,		либо точки той же оси.
взятой	на оси	Возьмем	на оси	гг'	произвольную

точку О (рис. 37) и определим момент силы F = АВ относительно

этой точки. Момент М0 силы F относительно точки О выражается вектором, по модулю равным удвоенной площади треугольника ОАВ и приложенным в точке О перпендикулярно к плоскости Д ОАВ.

Проведем через точку О плоскость, перпендикулярную к оси. Чтобы определить момент Mz силы относительно оси, спроецируем

силу на эту плоскость и определим момент проекции ab относительно

точки	пересечения оси	и плоскости, т. е. относительно точки О.
Этот момент численно		равен удвоенной площади	треугольника Oab
и направлен перпендикулярно к Oab, т. е. по оси			гг'.
Но	Д Oab является	проекцией Д ОАВ на плоскость, перпенди-

кулярную к оси. Площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между плоско стями, измеряемого линейным углом между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е.

пл. Д О о й = пл. Д ОАВ cos

Спроецировав на ось момент силы относительно точки	О и при
нимая во внимание это равенство, найдем, что численно
M , = vW0cosft.	(19)

При решении задач особенно часто приходится определять мо менты сил относительно координатных осей. Согласно только что доказанному момент силы относительно какой-либо из осей коорди-

	Рис. 37						Рис.	38
нат равен проекции на эту ось момента сил относительно										любой
точки этой оси,		в частности относительно точки О начала							координат:
Мх	= M0cosaM\			Му = M0cos$M;		M2	= M0cosyM,			(20)
где coso^j,	cos$M		И COSYA I —направляющие				косинусы		вектора мо
мента силы относительно начала координат.
Если момент относительно оси умножим							на единичный			вектор
этой оси, то получим не проекцию, а составляющую								момента отно
сительно точки,		не	скалярную, а векторную				величину:
		МХ=ІМХ;		Му=1му;	Mz^kMz.			'		(21)
Из равенств		(20)	и (21) непосредственно			получаем
			M0	= + VM\	+ Ml+M\,					(22)
			Л Ї 0 = Л л і , + 7 л * у + ? Л Ї , .							(22')
А н а л и т и ч е с к и е в ы р а ж е н и я м о м е н т о в с и л ы о т н о
с и т е л ь н о	о с е й		к о о р д и н а т .		Выразим		моменты	силы		относи

тельно осей координат через координаты точки приложения силы и проекции силы на координатные оси.

На чертеже (рис. 38) изображены оси координат и составляю щие силы, приложенной к точке А (хуг) (сама сила на чертеже не показана). Чтобы определить моменты силы относительно оси Ох,

нужно сначала спроецировать силу F на плоскость yOz. Проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих, и вместо

того, чтобы спроецировать силу F, мы можем спроецировать ее составляющие. Проекция составляющей X равна нулю, проекции же

составляющих Y и Z равны этим составляющим. Теперь нам остается определить алгебраическую сумму моментов этих проекций относи тельно точки О, которая по теореме Вариньона равна моменту проекции равнодействующей на плоскость уОг, или, что то же,

моменту силы F относительно оси Ох. Так мы получаем первую из формул (23). Аналогично можно доказать две другие формулы (23), выражающие моменты силы относительно осей Оу и Ог:

Mx	= yZ~zY;	\
My	= zX—xZ;	\	(23)
Mt	= xY—уХ.	)

Для	вывода формул	(23) мы выбрали точку приложения			силы
в первом октанте (х, у		и	г положительны)	и направили силу от
начала	координат (X, Y	и Z	положительны).	Если координаты	или

проекции силы отрицательны, то в формулы (23) надо, конечно, подставить отрицательные значения.

Достаточно запомнить одну из формул (23), а следующую можно получить из предыдущей, применив круговую подстановку, т. е. заменив всюду икс на игрек, игрек на зет и зет на икс. Случаи, когда формулы можно получить одну из другой такой подстановкой,

мы будем	отмечать символом:
					Г
Выражение		(23) можно получить				непосредственно из свойств век
торного	произведения,		если		представить				векторное произведение
определителем		третьего	порядка:
					і	~ ->	—>		—>
		Mn	=	rxF:		I	1		k
		Mn	=	rxF:		х	у	г	(17')
						х	у	г
						X	Y		Z
Раскладывая этот определитель по элементам первой строки,
найдем:					х		г		х у
		М 0 = г	У	г	х		г		х у
		М 0 = г	Y Z — 1 X Z						X Y

или

М0 = і {yZ — zY) + j (zX — xZ) + k {xY— yX).


Сравнив		это равенство с			(22'), получим формулы (23).
Обратим		внимание на то,			что правая часть третьей		из формул (23)
тождественна		выражению		(16) момента силы, лежащей в плоскости
хОу,	относительно		начала	координат. Объяснение		заключается в том,
что	при выводе		формулы		(23) для определения	Mz	силу сначала

спроецировали на плоскость хОу и затем определили момент проек ции относительно начала координат. Формула же (16) выражает момент относительно начала координат силы, лежащей в плоскости

хОу. Моменты этой	силы	относительно осей,	расположенных с ней
в одной плоскости,	равны	нулю (Мх = 0, Му	= 0), а момент относи

тельно оси Ог численно равен величине момента относительно начала

координат (Mz — M0).
						§	10. ПАРА СИЛ
Парой сил называют систему	Пара сил				и ее момент.		Равнодействующая
двух численно равных парал-	д в у	х	н е	р	а в н ы х п 0	модулю параллельных
лельных сил, направленных	J	-		Г			J
в противоположные стороны	с и л	-	направленных в				противоположные
	стороны, равна их разности. Если же
	такие силы по модулю равны, то они не
имеют равнодействующей. Они и не уравновешивают друг друга,'за
исключением того частного			случая, когда			они	имеют одну общую

линию действия. Систему двух численно равных параллельных сил,

приложенных

одному

телу и направленных в противоположные

стороны,

называют

парой

сил1.

Пусть

на

тело

(рис.

39, а) действует пара сил, причем одна из

сил

пары приложена

точке

Л, а

другая

точке

В.

(Тело

на

рисунке не показано.) Назовем

плечом

пары

кратчайшее

расстояние

(длину

перпендикуляра)

между

линиями

действия сил пары. Сила является

f \

\ g

скользящим вектором,

поэтому

силы

/ї\

пары (или одну из них) можно пере

а)

чу

нести в такое

положение (рис. 39,

б),

чтобы на чертеже

отрезок,

соединяю-

р и с

3 9

щий точки их приложения, был пер-

и '

пендикулярен

линиям

действия сил,

т. е. изображал бы

плечо.

Плоскость,

которой

лежат линии действия сил

пары,

назы

вают плоскостью

пары.

Механическое воздействие пары сил на твердое тело зависит

не

только от величины сил, но в равной степени

также

от

плеча.

Поэтому за меру механического воздействия пары

сил

на твердое

тело принимают

момент

пары — величину, численно

равную

произ

ведению

модуля

силы

на

плечо

пары:

M = A F .

(24)

1	Открытие пары	сил принадлежит Луи Пуансо (1804 г.); им же создана
теория	пар и введены	термины пара, плечо, момент.

Момент пары, подобно моменту силы относительно точки,— век

торная

величина. Вектор момента пары перпендикулярен

плоскости

пары.

Но у всякой плоскости имеется две

стороны.

Условились

вектор

момента

восставлять

с той стороны,

с которой

пара пред

ставляется поворачивающей свое плечо против

хода

часов

(рис. 40).

Таким, образом,

вектор

момента

пары

сил характеризует

не только

величину воздействия пары на тело,

но также

и плоскость

пары и

направление, в

котором

силы

пары

стремятся

повернуть

тело.

В частном случае плоской системы сил момент пары рассматри

вают

как алгебраическую величину

и считают положительным, если

силы

пары стремятся повернуть плечо против вращения

стрелок

часов,

если же

силы пары стремятся

повернуть плечо по

ходу ча

сов,

то момент

считают

отрицательным

(рис. 41).

Сумма

моментов

двух сил

Свойства пары. Чтобы лучше пояснить

понятие

пары

сил — одно

из

важнейших

пары

относительно

любой

понятий

механики,

покажем,

что момент

точки

пространства

равна

пары сил равен сумме моментов двух сил

моменту пары

пары

относительно

произвольно

взятой

точки.

Для упрощения

доказательства

мы предположим

сначала,

что эта точка находится в плоскости пары, а затем распространим теорему на любую точку.

В плоскости пары возьмем совершенно произвольно какую-либо точку О, примем ее за начало плоской системы координат (рис. 42, а), проведем через нее в произвольном направлении ось Ох и перпенди-

\М<0

М>0

Рис. 40

Рис. 41

кулярно к ней ось Оу. По формуле (16) определим моменты сил пары относительно этой точки О, выбранной нами произвольно и принятой за начало координат:

Л * о і = * і у ' і — M 0 2 = x 2 Y 2 — y 2 X 2 .

Но, как видно из чертежа (рис. 42, б),

х2 = x1-\-hs'ma;	у2 = t/1 + ftcosa;
Х1 = F cos a;	Кх = — Fsina;
X , — — fcosa ;	K„ = Fsina .

З № 784

Подставляя эти величины и складывая, определим сумму моментов двух сил пары относительно точки О:

22	М0 = — х1 F sin а — y^F cos а + xtF sin а +
і	+ hF sin2 а + yx F cos а + hF cos2 а = hF.
	+ hF sin2 а + yx F cos а + hF cos2 а = hF.

Таким образом, сумма моментов двух сил пары относительно любой точки О, взятой на ее плоскости, не зависит от их относи тельного положения (расстояния и ориентации) и равна моменту

пары. Отсюда мы можем сделать вывод, что момент пары сил не изменится, если эту точку заме нить какой-либо другой или если пару перенести в любое другое место ее плоскости, или повернуть на любой угол в ее плоскости.

Рассмотрим теперь самый об щий случай, т. е. не будем накла дывать никаких ограничений на положение пары сил и центра мо ментов. Примем произвольно взя тую точку О (рис. 42, в) за начало прямоугольной системы координат, проведем глоскость хОу парал лельно плоскости пары, направим оси Ох и Оу произвольно в этой плоскости, а ось Oz — перпенди кулярно к ней. Тогда координаты точек приложения сил пары и проек ции сил на оси выразятся равен ствами, подобными только что на писанным, лишь с добавлением третьей координаты, и мы будем иметь:

Уі = Уі + h cos ос; z2=z1; X1=Fcosa;

Yt= — Fsina;

Z1 = 0; X2 = — Fcosa; Y2 —F since;

Z 2 = 0 .

Учитывая написанные значения Р и с 42 координат и проекций сил, опреде-' лим по (23) суммы моментов двух сил

пары относительно координатных осей. Относительно оси Ох получим

- г 2 Г 2 ) ; •z^ sin a — zxF sin a — 0.

Аналогично

относительно

оси Оу

(zlX1—

xxZ^) + (г2 А'2

— x2Z2)

= zxF cos а — г, Fcosa = О

и относительно

оси Oz

( x i Y i

—УіХі) + (хгУ2

— Угх*)

= —x

i F sina — ylFcoscc

xtF sin a + hF sin2 a - f yxF cos a-\-hF

cos2 a = /Ті.

Теперь

по формуле (22) находим,

.что модуль

вектора

суммы мо

ментов двух сил пары относительно

произвольно

взятого

центра О

равен произведению модуля силы пары на плечо

пары.

Направлен

этот вектор

по оси Oz, т. е. перпендикулярно

плоскости

пары сил.

Мы убедились, что сумма моментов двух

сил пары

относительно

точки О равна моменту пары

вне

зависимости

не только

6т поло

жения

пары

в ее плоскости,

но

также и от расстояния

плоскости

пары от центра моментов.

Иными

словами,

момент

пары

не изме

нится,

если

пару

перенести в параллельную

плоскость.

Как уже было

сказано,

момент

пары яв

Момент

пары

выражается

ляется

мерой

механического

воздействия

свободным вектором, перпен

пары сил на тело,

а потому

механическое

дикулярным к плоскости па

воздействие

пары

сил на твердое тело не

ры, численно равным произ

ведению силы на плечо

изменяется,

если эту

пару

поворачивают

в ее плоскости, переносят в другое место

плоскости

или в параллельную

плоскость.

Эти

на первый

взгляд

парадоксальные

свойства

пары

поясним

примерами. Гаечный ключ

(рис. 43) одинаково

действует

на гайку,

к каким бы граням этой гайки его ни приложить — момент пары не изме-

Рис. 43	Рис.	44
нится от поворота	пары сил в ее плоскости.	Трансмиссионный

вал (рис. 44) сообщает шкиву вращающий момент независимо от места закрепления шкива на валу — момент пары не изменится от переноса пары в параллельную плоскость.

Но только при изучении динамики, после знакомства с инерцией вращающегося тела и с понятием главных центральных осей, когда читатель узнает, что вращение тела зависит от массы каждой частицы тела и от их распределения, ему станет совершенно ясно, почему действие пары сил на тело'не зависит от положения пары сил в ее плоскости,.

Момент пары сил не имеет фиксированной, определенной точки приложения. Он является свободным вектором., т. е. он имеет свою величину и свое направление, но приложить его можно в любой

точке твердого тела, на которое действует пара сил. В этом заклю чается принципиальное отличие момента пары от момента силы от носительно точки, являющегося прикрепленным вектором, при

ложенным	в центре	момента, или от скользящего вектора,
примером	которого является сила.
		Эквивалентность			пар. Обратим особое вни-
Две пары сил с равными		м а н и е н а	х о	ч т 0	момент пары не является
моментами эквивалентны			„		„	.
		только	произведением,			а есть мера, пол
ностью характеризующая		воздействие		пары сил на твердое тело. Две

пары с одинаковыми моментами оказывают на тело одинаковое дей ствие, если даже силы одной пары (а также и плечо) не равны си

лам (и плечу) другой пары.
Докажем	сначала, что.данную пару (F^^),	модули сил которой F,
а плечо АВ	(рис. 45, а), можно, не изменяя	ее механического воз-

В	А-	'В	С A _ J	В
Pi			f
Pi			W-Рг
			W-Рг

		а)	6}				S)	г)
				Рис.	45
действия на твердое тело (тело на					рис. 45 не показано), заменить
другой парой с таким же моментом,						но с, большими силами			и соот
ветственно меньшим			плечом.	В,				на рис. 45, б,
Приложим к телу			в точке		как		показано			две
взаимно уравновешенные силы Рх					и Р2,		по модулю равные		Р. Скла
дывая	параллельные		силы Fx	и Рг,		направленные в одну			сторону,
найдем их равнодействующую Rlt					по		модулю	равную F-\~P,		на
правленную в ту же сторону и приложенную в								точке С на	расстоя-,
ниях	АС	и ВС, обратно пропорциональных модулям слагаемых								сил
(рис.	45,	в)

А£__Р_ ВС~Т-

Складывая силы F2 и Яа , приложенные к телу в точке В, полу чим их равнодействующую R2, по модулю равную F + P и направ ленную в сторону слагаемых сил.

Новую	пару		сил	( J R ^ ) МЫ получили	из данной	пары	( F ] F 2 ) ,
присоединив		к	ней	взаимно уравновешенные силы Рх		и Ра.	Следо
вательно,	обе	пары		эквивалентны. Момент	новой пары	равен

M = R:BC^(P

+ F)

BC^P-BC+F-BC,

или, принимая во внимание написанную выше пропорцию, из кото

рой	следует,		что	Р • ВС = F • АС,		получим
				М = F-AC	+	F-CB?=F-AB,
т. е. моменты			эквивалентных		пар	равны между собой и данную пару
мы	заменили		другой парой с тем же моментом, но с меньшим							плечом.
	Чтобы убедиться, что всякую пару сил							(•F1/r2)	можно	заменить
другой парой			сил с тем же моментом, но с большим плечом и соот
ветственно,		с	меньшими силами, сложим (см. рис. 45, б)							силы FT
с Р 2 , Р 2 с		Р г	Мы получим новую пару (QjQ2 ) (рис. 45, е) с моментом
М = Q • ВС		= (F — Р) ВС = F • ВС—Р					• ВС — F (ВС		— AC)	^F-AB,
что	и требовалось			доказать.
	Следовательно,			механическое		воздействие		пары	на твердое тело
не	изменится,		если эту пару заменить любой другой парой с таким
же	моментом.		Момент пары является				свободным вектором,			поэтому

эквивалентные пары находятся в одной или в параллельных плоскостях.

Сложение

пар. Покажем,

что

несколько

Момент

пары

сил,

получен

пар,

приложенных к твердому телу, экви

ной

от

сложения нескольких

валентны

одной паре, момент которой ра

пар,

равен сумме

моментов

вен сумме

их моментов. Пусть

к некото

слагаемых

пар

рому телу приложены две пары сил, одна

из

которых

лежит

в плоскости

имеет

момент

Мг,

а другая —

в плоскости

/ /

имеет

момент

М2.

Для

общности

доказательства

предположим, что эти плоскости не параллельны между собой, а пересекаются под углом 6. Восполь


зовавшись		только			что		доказанными
свойствами		пар,		представим				каждую
данную	пару		парой,			ей	эквивалент
ной, лежащей в той же плоскости и
имеющей плечо АВ					(рис. 46),				распо
ложенное по линии пересечения обеих
плоскостей.		Модули				сил F1			первой
пары и Р„ —второй определим из усло
вия эквивалентности
	р	_ M i			р	_
	Г і	АВ>			2	—
Сложим		силы		обеих			пар,		прило	Рис. 46
женные	к телу		в	точке			А,	а	затем
сложим силы, приложенные в точке В.										Получим два параллелограмма

сил с вершинами в точках Л и В. Эти параллелограммы равны


между	собой, так	как попарно равны и параллельны их стороны.
Следовательно, равны и параллельны диагонали					параллелограммов.
В	результате	сложения	двух пар	мы получили одну пару сил
с тем	же плечом	и с силами, равными		геометрической сумме соот
ветствующих сил		слагаемых	пар. Найдем момент		М этой пары.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 477 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
21.10.20238.82 Mб6Геохимия и гидрохимия природных вод Восточной Сибири [сборник статей]..pdf
#
25.10.202317.21 Mб44Герасимов В.В. Материалы ядерной техники учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.09 Mб11Гермаидзе Г.Е. Уход за мартеновскими печами.pdf
#
19.10.20232.36 Mб4Герман, В. Т. Построение информационной системы управления технологическими процессами добычи и подготовки газа научно-экономический обзор.pdf
#
24.10.202311.14 Mб25Герметизация полимерными материалами в радиоэлектронике..pdf
#
27.10.202323.44 Mб70Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
#
30.10.202316.68 Mб6Герои звездных трасс спец. вып.pdf
#
23.10.20238.36 Mб30Герсон Ф. Спектроскопия ЭПР высокого разрешения.pdf
#
23.10.202322.28 Mб34Герцберг, Г. Спектры и строение простых свободных радикалов.pdf
#
19.10.20234.69 Mб12Герш, Г. И. Электрооборудование тракторов и комбайнов.pdf
#
23.10.20236.08 Mб30Гессен В.Ю. Защита сельских электрических сетей от аварий.pdf