книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

Сложение угловых скоростей. Пусть неко-

Угловые

скорости

склады-

торое

твердое тело (рис. 129)

вращается

вают по правилам геометри-

с

у г л о в о й

скоростью

со,, вокруг

ОСИ OR,

чесного

сложен ия

в то время как эта ось поворачивается

вокруг оси ОЕ с угловой

скоростью сое. Представим эти

угловые

скорости

в

виде

векторов

OA и ОБ, отложенных по осям, и пост­

роим на них параллелограмм ОАСВ.

Легко показать, что

скорости

точек

тела, лежащих на диагонали ОС, равны

нулю. В самом

деле, точка С обладает двумя

скоростями: относительной

vr*= ыгСМ,

направ­

ив ленной

перпендикулярно к чертежу на читателя,

•

и переносной ve

— aeCN, направленной в противо-

\ ч V _

положную

сторону. Но (£>rCM = ti>eCN, так как

рость точки 0,

находящейся на пересечении осей

OR

и ОЕ. Отсюда

заключаем,

что

мгновенная

ось

вращения

совпадает

с

диагональю

парал-

Р и с

1

2 д

лелограмма

угловых

скоростей.

скорость со тела

Определим

теперь

угловую

при

составном

вращении

вокруг

этой

оси ОС.

Для этого

удобно

взять

точку

А.

Скорость точки А в относитель­

ном движении тела вокруг оси

OR равна

нулю,

а

в

переносном

вращении

вокруг

оси ОЕ равна

aeAL. Но aeAL

выражает

площадь

параллелограмма

ОАСВ

и может быть представлена как произведение

ОС-АК,

где АК—расстояние

точки

тела

от

мгновенной

оси враще­

ного

на

слагаемых

угловых скоростях

как -на сторонах:

со = cog +

сог

(111)

Результирующая угловая скорость эквивалентна двум слагаемым

угловым скоростям,

одновременно приложенным к телу.

Таким об­

разом,

угловые скорости складывают как векторы1 и при сложении

их можно

менять местами: сое +сог = сог-(-сог.

сложению

Обращаем внимание читателей,

что

это относится к

угловых скоростей, но не конечных вращений. Сложение

вращений

происходит не по правилам векторного

исчисления, а по

правилам

ния

двух

конечных

поворотов

зависит

от их последовательности и

их

нельзя

менять местами.

состоит из полого шара / / (рис. 130, а), в ко­

Задача № 78. Шаровая дробилка

тором находятся тяжелые

дробящие

шарики и дробимое

вещество. Шар / /

сидит

на оси CD, на которой заклинено коническое

зубчатое

колесо

К радиуса

г. Ось

CD

сидит в подшипниках

в раме / ,

составляющей одно

целое

с осью

АВ

и при­

водящейся

во

вращение

рукояткой

с

угловой

скоростью ше . Колесо

К сцеплено

с неподвижным

колесом L радиуса R.

Определить абсолютную

угловую скорость

Решение.

Рабочая камера

дробилки

имеет одновременно две угловые ско­

рости:

переносная

направлена

по

оси АВ и

равна

ае;

относительная угловая

скорость направлена по оси CD и величина ее неизвестна. Скорость зуба Е под­

вижной

шестеренки

К,

находящегося

в

данное мгновение

в соприкосновении

с неподвижной

шестеренкой L ,

равна нулю, а потому мгновен­

ная

ось вращения

проходит че­

рез

центр

О

и

эту

точку

(рис. 130, б). Отсюда мы мо­

жем

определить

относительную

угловую скорость:

со.

Квадрат

абсолютной

угло­

о)

б)

вой скорости определим по тео­

реме

косинусов:

Рис.

130

с о 2 = col-f со? — 2ше(ог

cos

а =

со| ( 1 + ^ - — 2 —

cosa

О т в е т .

и = 3

y~r2 + R2

— 2rR

cos

a .

Решение. Движение

колеса / /

будем рассматривать как

составное,

состоящее

из

двух

вращательных:

переносного с

угловой скоростью

ше вокруг оси О про­

тив

хода

часов

и относительного

вокруг оси

А, тоже против хода часов. Мгно­

венная ось вращения должна быть

им

параллельна и проходить через

точку

ка­

сания

подвижной

шестеренки / / и неподвижной

шестеренки /, т. е. в середине

OA.

Ответ

получается

непосредственно

из

закона

сложения параллельных

векторов.

Рис.

131

Рис.

132

Задача

№

80. Диск

с центром А (рис. 132), катящийся с угловой

скоростью

« i = —50 сек-1

внутри

неподвижного

диска

с центром О, приводится

в движе­

ние кривошипом OA, равномерно вращающимся с угловой скоростью со2 =

25

сек-1.

Определить угловую скорость диска относительно кривошипа.

Решение.

Величина

абсолютной угловой

скорости

диска со= — 50

сек-1

яв­

ляется алгебраической суммой величин

относительной

угловой

скорости

со,., с ко-

торой

диск

вращается

вокруг пальца кривошипа, и переносной

угловой скорости

coe =-f-25

сек-1

кривошипа. Пользуясь

законами

сложения

векторов,

направлен­

ных в

противоположные стороны, имеем

(ог = — 50 сек-1

—25

сек-1

— —75

сек-1.

О т в е т .

сог =

— 75

рад/сек.

Пара угловых скоростей. Пусть некоторое

Пара

угловых

скоростей

тело

вращается

вокруг

оси А А'

с

угло-

сообщает

телу

поступатель-

в

о

й

С К О ростью

и

(рис. 133, а), в то

время

ное движение

к

а

к

э т

а

о с ь

П О

В О р а ч и в

а е т

с

я

вокруг

парал­

лельной

оси

ВВ'

с такой же угловой скоростью,

но в

противопо­

ложную

сторону. Такую

систему

двух

равных

и

противоположных

векторов угловых скоростей называют парой угловых скоростей.

Пара

угловых

скоростей сообщает

всем точкам

тела,

к которому она при-

ложена, одинаковые линейные скорости. Дей-

2J"

ствительно, легко показать, что vA — vB;

точка

А имеет только вращательную скорость вокруг

оси ВВ', равную соЛВ, а точка В обладает ско-

5

ростью

соЛВ

во

вращении

вокруг

оси

А

А'.

Следовательно, прямая АВ движется, не

со

меняя своего направления. Чтобы установить,

что движение тела поступательное, надо пока­

зать, что не меняют направления, по край­

ней мере, две непараллельные прямые или

что три не лежащие на

одной

прямой

точки

тела всегда имеют одинаковые скорости.

Третью

точку

К

(рис.

133, б) для

простоты

рассуждений выберем в плоскости,

в

которой

лежат скорости точек Л и В. Согласно основ­

б)

ной теореме кинематики

твердого тела проек­

ции

скорости

точки

К

на прямые

К А и KB

Рис.

133

должны быть равны проекциям скоростей

точек

Л

и В. Отложив от точки К эти

проек­

ции

и

определив

по

проекциям

скорость точки

К,

убедимся,

что

(80)

причем

скорость

поступательно

движущегося

тела

равна

моменту

пары

угловых

скоростей1 . Вместе

с

тем следует

иметь в

виду,

что

1

Пару

угловых

скоростей

часто

называют

парой

вращений. Как

уже

было

сказано,

теоремы

о

сложении угловых скоростей неприменимы к сложению

конечных вращений и результат сложения двух

конечных

поворотов

зависит

от

их последовательности.

Читатель

может

убедиться,. что,

повернув

прямую

АВ

(см. рис. 133) на 90°

вокруг

оси

АА'

по

ходу

часов, а

затем на 90°

в

обратную

сторону вокруг

оси ВВ',

мы сообщили

бы отрезку

АВ

совершенно иное

переме­

щение

по

сравнению

с тем, какое он получил бы, если

бы те же

повороты

и

вокруг тех же осей сообщить ему в обратной последовательности. Поэтому

пару

угловых

скоростей

не

надо называть

парой

вращений.

И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ

Плоским

движением назы-

Плоское

движение и его

уравнение.

Озна-

вают

движение

твердого

К О мление

с

плоским движением

твердого

тела, при котором все точки

тела

начнем

п

г

тела движутся только в плос-

с частного примера. Предста-

костях,

параллельных дан-

вим

себе, что закрытая

книга

лежит на

ной

неподвижной плоскости

столе. Не раскрывая книги, будем переме­

чтобы

контакт

книги со

щать

ее

по

поверхности

стола,

но

так,

столом

ни

в одной точке не нарушился;

Плоское движение тела ха-

Если тело, находящееся в состоянии плоско-

рактеризуется движением фи-

го движения, пересечь плоскостью, в которой

гур'ы, полученной от пересе-

лежит

траектория

какой-нибудь из его то­

чения тела

плоскостью,

ч е к т о

п л о с к а

я

фигура, получившаяся от

в которой лежит траектория

пересечения

г

J 5

J

какой-либо

из точек тела

тела,

будет

передвигаться

только

в этой

плоскости. Движения точек

х — ОА

cos ®0t = (R— г) cos a>0t,

Рис. 137

у — OA

sin со,/ = (R — r) sin a>0t.

Вращение шестеренки

вокруг полюса происходит с иной угловой скоростью ш,

чем

вращение кривошипа,

и, поскольку зацепление внутреннее, — в противополож­

ную сторону. В данном

случае кривошип вращается в

положительном

направле­

нии,

а шестеренка — в

отрицательном. Предполагается,

что шестеренка

катится

без

скольжения, а потому,

согласно известной из элементарной физики

формуле,

передаточное отношение

. to

R — г

..

R — г

со0.

і — — =

, откуда со==

О т в е т .

x=\R — г) cos со0 t;

y — (R — г) sin м0 г;

ф==—

" 1 ^ ю о'>

где ф — угол

поворота

подвижной

шестеренки; минус

показывает,

что шестеренка

вращается в сторону,

противоположную вращению кривошипа.

перемещение полюса за время At определится

вектором A0Alt

не

показанным на

рис. 138. Мысленно остановим

относительное дви­

жение фигуры

и, передвигая ее поступательно

вместе с полюсом

А,

угольник в положение А"В"С1. Заметим, что относительным движе­

нием фигуры в обоих случаях этого примера

является поворот на 90°

по часовой стрелке.

Проведем теперь общее доказательство

независимости вращения

например точку L , и построим на

фигуре

систему

координатных

осей x"Ly", параллельных осям х'Еу'.

Тогда

переносное поступатель­

ное движение фигуры будет характеризоваться движением точки L ,

отличающимся от движения точки Е,

а относительное

вращательное

движение фигуры будет характеризоваться изменением

угла т} между

осями Ох и Lx". Угол ft

всегда равен

углу

ср, так как стороны их

параллельны, а следовательно,

всегда

равны и изменения этих углов

с

течением

времени. Поэтому

угловая

скорость фигуры

не зависит

от

выбора полюса.

Сказанное относится к относительному вращательному движению

всей

фигуры, но не к относительному

движению ее точек. Угол по­

ворота

и связанные с ним угловая

скорость

со и угловое ускорение є

являются общими для всего тела

(для всей фигуры) и не зависят от

того, какую из точек фигуры мы приняли

за полюс. Однако длины

дуг, описываемые различными точками в их относительном

движении

вокруг

полюса, а также

вращательные скорости cor и ускорения гг

и

coV точек

фигуры при ее вращении

относительно полюса зависят

не только от угла поворота

ср фигуры

и его производных

со и е, но

также

и от

расстояния

г

точек

от полюса, а следовательно,

и от

выбора полюса. Таким образом, хотя

угол

поворота фигуры,

угло­

вая

скорость и угловое

ускорение фигуры

не зависят

от выбора

зависят

от этого

выбора.

§ 34. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Скорость точки фигуры в плоском состав-

Скорость любой точки фи-

ном движении. Пусть плоская фигура вме-

гуры, находящейся в плоском

сте с нанесенными

на ней координатными

движении,

равна

геометри-

о с я м и

х'Ец'

движется

в

плоскости основ-

ческои сумме скорости этой

J

координат

,

.

точки относительно полюса и

н о и

системы

(см.

рис. 136).

скорости полюса

Пусть К—какая-либо

точка

плоской фи­

потому,

гуры. Ее координаты х'

и у' не изменяются,

что точка К и подвижная система х'Еу'

неизменно связаны

с фигурой. Как известно

из аналитической

геометрии

и как видно

из рисунка, координаты точки К {х, у) связаны с координатами (х',

у')

той же точки

соотношениями

х = хЕ-\-х'

cos ср — г / ' s i n c p , "I

y = yE+x'sin<p

+ y' cosy.

/

(113)

Для получения проекций

скорости на неподвижные оси коорди­

нат

продифференцируем по времени равенства

(113),

рассматривая ср

как

функцию

времени:

x=xE—(x'smq>

+ y'cosq>)q>, 1

і / =

cos ср—г/'sin ср) ср. J

Таким образом,

vx

= vEx

— (y—yE)q>,

J

( П

4 )

vy

= vEy

+ (x—xE)

cp. J