Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

ной и угловой скоростей, и последнее равенство можно записать так:

		Vv2rx-\-v%			= vrs\n		(«во,).
Это соотношение скоро нам понадобится.
Чтобы получить		проекции		относительного ускорения,					надо	про
				дифференцировать по времени					выраже
				ния, полученные для проекций относи
				тельной скорости, по-прежнему считая ср
				постоянной. Имеем
			arx		= x' coscp—у' sincp, \ Проекции
			ary		= х' sin ср + у' cos ф, > относительного
			а„		= z \			Ускорения
					Чтобы		определить	Jпроекции		абсо
				лютной скорости точки М, надо продиф
				ференцировать уравнения (107) по вре-
р и с	^ 2			мени, считая все величины переменными.
				Имеем
vx = х' cos ф—у' sin ф — (х' эшф4 - у' COS ф) ф,								Проекции
vy — х' sin ф + у' cos-ф + (х' cos ф—у' sin ф) ф,								абсолютной
								скорости
или		•vex\ vv^vry				+ vey; vt = vr-g + ve				( Ю З )
		•vex\ vv^vry				+ vey; vt = vr-g + ve				( Ю З )
Мы получили теорему параллелограмма скоростей, которая, сле
довательно, остается		в	силе	и	при вращательном			переносном		дви
жении.
Чтобы определить проекции абсолютного ускорения,									возьмем
вторые производные, опять-таки					считая		все величины переменными.
Имеем:
ах= (х' cos ф—у' sin ф) — (х' sin ф-j-у'							совф) ф —
— (х' sin ф + г/' соэф) ср — (х' cos ф—у' sin ф) ф2 —
— (х' Sin ф + у' СОЯф) ф,								Проекции
йу — (х' sin ф + г/' со5ф) + (х'созф—у'							зіпф)ф +	абсолютного
4- (х' cos ф—у' sin ф) ф — (х' sin ф + у' COS ф) ф2 +								ускорения
4- (х' cos ф—у' sin ф) ф — (х' sin ф + у' COS ф) ф2 +
-f- (х' cos ф—у' sin ф) ф,
аг = г',
или,
ax = arx	+ a,x—2(x'		sin q> +			cos ф) ф = а,ж +		а м — 2 о г у ш ,

av = ar j , + ae ; ( 4- 2 (*' cos ф—у' sin ф) ср = агу -\- аеу 4- 2vrxv>,

Таким образом, в выражениях проекций абсолютного ускорения, вдобавок к проекциям относительного и переносного ускорений,

появляется еще одно слагаемое, выражающее проекции добавочного ускорения ас:

aCx	= — 2wry,		\
aCy	= +	2wrx,	I	<108)
аСг	= 0.		)

Это добавочное ускорение называют ускорением Кориолиса. Определим величину ускорения Кориолиса:

ас = Vctcx + асу = 2(iVv2rx + v\

или, заменив корень полученным выше значением, находим	оконча
тельно
ас — 2®vrs'm (a>vr).	(109)

Мы вывели формулу (109) в предположении, что переносное дви жение вращательное. Она остается без изменений и при всяком ином непоступательном переносном движении.

Итак, если переносное движение непоступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех составляющих: отно сительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:

а--=аг-\-ае-{-ас.

(НО)

В случае, если переносное движение непоступательное, необхо димо дополнить ускорением Кориолиса и схему (105), которая при нимает следующий вид:

- /агТ

\-"

ас

Пользоваться этой схемой при решении задач надо так же, как и схе

мой (105), заполняя ее справа и геометрически складывая составляющие.
Ускорение	Кориолиса суще-	При каком	движении	бывает	ускорение
		Кориолиса?	В выражение (109)		ускорения
ствует только при составном		К о р И о л и с а	входят множителями относи-
движении,	если переносное	ґ	м

движение непоступательное тельная скорость точки, угловая скорость подвижной системы отсчета и синус угла между векторами этих скоростей. Но относительная скорость бывает

только при составном движении. Поэтому и ускорение Кориолиса может быть только при составном движении. Если нет относитель ной скорости точки, т. е. если vr — 0, то не может быть и ускоре ния Кориолиса. Однако ускорение Кориолиса бывает не при всяком составном движении точки. Так, если переносное движение поступа тельное и со = 0, то нет и ускорения Кориолиса. Из формулы (109) видно, что и в составном движении точки, и при переносном вра-

щательном

движении

ускорение

Кориолиса

равно нулю, если относительная скорость

параллельна

оси

вращения. Так,

например,

корабль, плывущий по меридиану, имеет

ускорение Кориолиса, если рассматривать его

движение как составное из относительного

движения

корабля

переносного

движения

Земли. Это ускорение

равно удвоенному

про

изведению скорости корабля на угловую ско

рость Земли и на синус географической ши

роты (рис. 123) и равнялось нулю

в то время,

когда

корабль

пересекал

экватор

его

от

носительная скорость

была параллельна

век

тору

угловой

скорости

Земли.

Физическая

причина

ускорения

Физическая

причина

ускоре

Кориолиса.

Поста

ния Кориолиса

заключается

раемся уяснить фи

в изменении вектора

пере

зические

причины,

носной

скорости

от

относи

вызывающие

уско

тельного движения и вектора

относительной

скорости

от

рение

Кориолиса,

переносного

движения

для

чего

предста

молинейных отрезка 0ХАХ

вим

себе

два

пря

0 2 Л 2

(рис.

124),

Рис. 123

по которым движутся

точки

Вх

В2.

Штри

через

промежуток

хами

отмечены

положения

этих отрезков

и точек

времени Д^. Первый

из

отрезков

движется поступательно, второй

вращается

вокруг

02.

Кориолиса:

Существуют две физические причины ускорения

Переносная

скорость

точки

Вх

не

зависит

от положения ее

на отрезке 0гАх,

так

как,

по

свойству

поступательного

движения,

скорости

всех

точек

прямой

0ХАХ

между собой равны. На

против, величина

переносной

скорости

точки

В 2

равна

(л-ОгВ2

всецело

зависит

от

ееположения. Переносная


скорость		точки В2		меняется
от ее относительного движе
ния.	Чем	быстрее		движется
точка	В2	по	прямой 0 2 Л 2 и			*v	а ^
чем	быстрее		вращается		эта
прямая, тем значительнее					из
меняется		переносная			ско-	Р и с -	1 2 4

рость	точки В2.	Таким обра			мгновение	(т. е. ускорение
зом,	изменение	скорости	точки в данное
точки), вызванное указанной причиной,					пропорционально		величине
относительной и угловой скоростей. В этом заключается							один из
факторов, порождающих			ускорение	Кориолиса.		Вх не
2.	Направление относительной			скорости точки			меняется,

так как, по свойству поступательного движения, прямая OxAt пе редвигается параллельно самой себе. Напротив, направление относи


тельной		скорости	точки	В2	непрерывно		изменяется		по		мере
вращения		0 2 Л 2 .	Даже	при	прямолинейном			относительном			дви
жении	направление относительной					скорости		изменяется		(вслед
ствие	переносного		вращения). Изменение				вектора скорости				точки
в данное мгновение (ускорение), вызванное этой причиной,											тоже
пропорционально			величине		относительной		и	угловой	скоростей.
В этом заключается другой				фактор,		порождающий ускорение				Корио

лиса. Ускорение Кориолиса как бы поворачивает вектор относитель

ной

скорости в направлении

переносного вращения. По этой причине

его

иногда

называют поворотным

ускорением1.

Направление

ускорения

Кориолиса.

При

Вектор ускорения

Кориолиса

выводе формулы ускорения Кориолиса мы

перпендикулярен

векторам

убедились, что проекция

этого ускорения

угловой

относительной

г\

скоростей

н а '

®z

равна

нулю.

Отсюда

следует,

что

вектор

ускорения Кориолиса

лежит в пло

скости,

перпендикулярной

оси

вращения,

или,

иными словами,

к вектору

угловой скорости, который направлен по оси вращения

Oz.

Уточним теперь направление ускорения Кориолиса в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и обозначим углы, составляемые им

с осью Ох я Оу, через а с и Р с . Направляющими косинусами							являются:
	а С х			2 o x v y	,
cosac = — = — -х				:	,
	aCy			2a>vrx	.
COS pV = — = + ъ				:	.
Углы, составляемые	относительной			скоростью		точки	с теми	же
осями, обозначим через	аг и
	cos аг	=	—,
	COS 6	=	— .
	r r		vr	ускорения		Кориолиса с		на
Сравнивая направляющие косинусы				ускорения		Кориолиса с		на

правляющими косинусами относительной скорости, находим, что удовлетворяется известное из аналитической геометрии условие пер пендикулярности двух направлений—сумма произведений соответст

вующих направляющих		косинусов равна нулю:
	cos ас	cos c v + cos р с cos pr = О,
следовательно,	ускорение Кориолиса' перпендикулярно не только
к угловой, но	и к относительной скорости точки М.

Отсюда вытекает следующее правило: для определения направ ления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Oz (оси вращения), и затем повернуть эту проекцию вокруг оси вращения на 90° в сторону пе реносного вращения. Следовательно, если переносное вращение про. исходит в положительном направлении, то проекцию vrxy относитель ной скорости надо повернуть на 90° против хода стрелки часов,

1 Термин «поворотное ускорение» предложен О. И. Сомовым (1872 г.).

а если переносное вращение происходит в отрицательном направ лении, то по ходу стрелки. Это определяется самой сущностью поворотного ускорения, поворачивающего вектор относительной ско рости в направлении переносного вращения. К тому же результату мы пришли бы, сравнивая знаки направляющих косинусов ускоре ния Кориолиса и относительной скорости.

Таким образом, ускорение Кориолиса по величине и направле нию можно выразить удвоенным векторным произведением угловой скорости и относительной скорости:

а с = 2(©хїГ,).

(109')

Если относительное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, то угол между век торами угловой и относительной скоростей равен 90°, его синус равен единице и выражение ускорения Кориолиса упрощается:

ac = 2wvr.	(109")
В этом частном, но очень распространенном в технике	случае

для определения направления ускорения Кориолиса не нужно прое цировать вектор относительной скорости точки, а достаточно повер

нуть его на	90° в плоскости движения точки в сторону переносного
вращения. Поясним это следующей задачей.
Задача № 74. Стержень OA вращается вокруг оси, перпендикулярной				к	пло
скости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун				В.	Ука
зать направление ускорения Кориолиса.
Решение.	Ускорение Кориолиса	всегда перпендикулярно к	угловой скорости
к оси вращения) и к относительной		скорости. Следовательно,	ускорение	Корио-

OJ	В)	в)	г)
	Рис.	125

лиса лежит в плоскости чертежа и перпендикулярно к стержню. Четыре возмож ных случая изображены на рис. 125, а, 6, в, г.

Задача № 75. Прямая трубка				(рис. 126) равномерно вращается с угловой
скоростью ю = я рад/сек вокруг			оси	Ог, перпендикулярной			к плоскости чертежа
в точке О. Шарик М совершает			гармонические		колебания вдоль трубки по закону
х' == ОМ = A sin nt.		Определить	ускорение шарика при ^ = 4 сек.
Решение.	Будем	рассматривать		движение	шарика	как	составное, состоящее
из движения	относительно трубки			и движения вместе		с трубкой (рис. 126, а).
Для решения	задачи	воспользуемся		схемой (ПО') (см. стр. 206).

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное вращение трубки. Уравнение относительного движения шарика есть

		х'—	A sin	nt.
Относительная	скорость
		vr = x' == An cos			nt.
В относительном движении		шарик	имеет	касательное ускорение
	агТ	= х' = — A n 2		sin		nt.
Относительное	движение в	данном	случае		прямолинейное, поэтому относи
тельное нормальное	ускорение	аг^ = 0.				трубки. Мысленно остановим
Переносное движение обусловлено			вращением

шарик, предоставив трубке вращаться. Напишем уравнение равномерного враще ния трубки, положив ф 0 = 0:

		(f = nt.	'
. Переносной	скоростью	шарика является	вращательная скорость той точки
среды (трубки),	в которой	в это мгновение находится шарик:
		ve — cor = An sin	nt,

причем в этом выражении время t соответствует тому мгновению, в которое

мысленно остановлен шарик, а потому			t здесь нельзя		рассматривать	как пере
менную величину.
Переносное	вращение равномерное,		и	переносное	касательное	ускорение
равно нулю:
	аеТ	= гг =		0.
Переносное	центростремительное	ускорение
	aeN— ю2*" = An2			s'mnt,

где t имеет заданное значение, соответствующее данному мгновению, в которое мысленно остановлено относительное движение.

Кроме этих составляющих абсолютного ускорения, имеется ускорение Кориолиса, так как переносное движение вращательное:

ас = 2шг = 2An2 cos nt.

Эти составляющие абсолютного ускорения вносим в схему (ПО'):

агТ = ~ An2 sin nt

/	/ f l * r = 0

аае(

\	<*eN— An2	s i n n t
\ г с	= 2 Л я 2 cos	nt

В мгновение t = 4 сек имеем:

/0,7- = 0

				/	\ \| г Л г = 0
			/		/ает	= 0
			° г		а /
			\		X / V =		0
				Х	а с = 2Лзх2
Таким	образом,	абсолютное			ускорение		в это	мгновение состоит из	ускорения
Кориолиса	а = ас —	2Ап2.
При t = A сек точка			М	совпадала		с точкой		О (х' = A sin 4я = 0) и	имела	от
носительную скорость			-j-An,	направленную в				положительном направлении		Ох'.

Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, надо повернуть вектор отно

сительной скорости на			90° в сторону вращения	трубки, т. е. против	хода	часо
вой	стрелки.
	При	t = A сек.угол	поворота трубки ср = 4я	и ось Ох' совпадала	с осью Ох.
Следовательно, в это мгновение ускорение Кориолиса направлено по					положитель
ной	оси	Оу.
	Если	мы не станем	рассматривать движение	шарика как составное, а		изучим

его непосредственно по отношению к основной системе отсчета, то получим,

разумеется, тот	же	результат.
Составим	уравнения		движения				шарика	в	основной системе координат
(рис. 126, б):							д
							д
			х =	A	sin nt		cos nt = - g -	sin	2nt,
			i / =	A	sin	nt	sin nt = A	sin2	nt.
Дифференцируя		эти	уравнения			по времени,		найдем проекции скорости:

vx = x= An cos 2nt, Vy = y= An sin 2nt.

Дифференцируя по времени второй раз, найдем проекции ускорения:

ах — х ——

2An2

sin 2nt,

ау

= у — 2An2

соз 2лг.

При { =

4 сек

ах

= х =

ау

— у =

2Ап2.

Мы получили те

же значения

ускорения

точки,

не

пользуясь

ускорением

Кориолиса. Из этого

примера видно,

что

ускорение Кориолиса бывает

лишь

при

составном

движении

точки.

Для

определения траектории шарика в основной системе отсчета исключим

время из

уравнений

движения. Из

второго

уравнения

находим s i n 2 n / =

- j - ,

под-

ставляєм

в первое уравнение

и возводим

в квадрат (рис. 126, в):

х2 =

Ау—у2.

	А
Это уравнение окружности с центром в точке я = 0, у=-\-~	. Чтобы убе

диться, достаточно перенести в эту точку начало основной системы координат,

іА

положив у = #1 + - j - . тогда уравнение траектории примет вид:

Найдем

уравнение движения шарика

М по этой окружности:

dx=

Ал cos 2nt dt;

dy =

An sin 2nt dt;

и, интегрируя,

ds =

Vidx^

idy)2

= Ал dt

s =

Ant + C —

Ant.

Следовательно,

шарик

движется

по

своей траектории

равномерно

со

скоростью

и = Л я ;

при < = 4 сек он находится

в наинизшей точке

окружности,

а нормальное

Vі

Л 2 я 3

ускорение

— = - ^ g - = 2 A n . 2

направлено

вертикально

вверх.

Резюмируя, убеждаемся, что движение шарика

(как и движение всякого

тела)

можно представить различными способами и ускорение

шарика

в заданное

мгно

вение

(/ = 4 сек) можно выразить различными

формулами.

Можно представить его как составное, состоящее из колебаний шарика вдоль

трубки и одновременного вращения трубки. Тогда

ускорение 2 Л я 2

шарика

в за

данное мгновение является

ускорением

Кориолиса.

Можно представить то же движение шарика уравнениями в декартовых коор

динатах,

а ускорение

2Ля'2 — проекциями

на оси координат.

Можно,

наконец,

это движение

шарика

определить

как равномерное

движение

D*= An

со скоростью

по окружности

радиуса

/ " = = " ? г и

ускорение

2 Л я 2

предста-

Vі

вить как нормальное ускорение —р- •

Различные способы лишь выражают объективно существующее движение и

позволяют

определить

его

характеристики.

О т в е т . а = 2 Л л 2 .

Задача № 76. Окружность радиуса г равномерно вращается по ходу

стрелки

часов

с угловой

скоростью

со

вокруг

оси, перпендикулярной

ней в

одной

из

ее точек

С (рис. 127, а). По окружности

движется точка М со скоростью

= wr,

обходя окружность против вращения часовой стрелки. Определить

ускорение

точки

М.

Решение.

Движение точки

будем

рассматривать как составное,

состоящее

из

относительного

равномерного

движения

по окружности и переносного

равномер

ного

вращения самой

окружности.

Напишем схему (110') и будем заполнять ее справа

(см. стр. 208).

Чтобы определить относительное движение точки

М,

мысленно

остановим

вращение окружности. Относительная скорость равна

и г = сол и направлена

по

касательной к окружности. Относительное касательное

ускорение

arf

= 0,

а отно

сительное нормальное

направлено

к центру 0

окружности и

равно

агм

= — = со2г.

Чтобы

определить переносное движение, мысленно закрепим точку М на

окруж

ности. Проведем

хорду МС (рис. 127, б) и обозначим через

угол,

составляемый

ею с диаметром, проходящим через С.

Так

как окружность

вращается

равно

мерно, то а е т=>0 и

ав1у

— и>гСМ = co22r cos б

и направлено по хорде МС к точке С.

Величина ускорения Кориолиса в нашем случае равна

а с = 2cotv = 2й)2 л

Переносное вращение происходит по ходу стрелки часов, следовательно, для определения направления ускорения Кориолиса повернем вектор относительной скорости на 90° по ходу стрелки часов.

a)		S)	б)
		Рис.	127
Скорости	и ускорения точки	изображены на рис. 127, б, а ускорения запи
саны по схеме	(ПО'):
		/ a r T	= Q
	at-—ае(
	\	а г д г = 2со2г cos б
	\ j	c = 2<o2r

Чтобы определить абсолютное ускорение точки М, надо сложить его состав ляющие. Сложив ускорение Кориолиса с противоположным ему по направлению нормальным относительным ускорением, найдем, что результирующий вектор этих двух ускорений равен со2г и направлен в сторону ускорения Кориолиса:

2(о2г—-<й2г = (йгг.

Чтобы сложить этот результирующий вектор с вектором переносного ускоре ния, воспользуемся теоремой косинусов (рис. 127, в). Имеем

а 2 = (coV) 2 + (2m2/- cos 8) a — 2 (oV) (2w2 r cos 6) cos б = (со2 /-)2 .

Как видно из чертежа (рис. 127, в), абсолютное ускорение направлено парал лельно ОС независимо от угла б, т. е. независимо от положения точки М на окружности. Иными словами, независимо от положения точки М на окружности вектор ее абсолютного ускорения равен вектору ускорения центра окружности в его движении вокруг оси С.

О т в е т .

а— чи2 г.

Задача № 77. В ручке молочного

сепаратора по ее длине просверлен

цилинд

рический канал, закрытый с одной стороны металлической

пластинкой

(звонком)

(рис. 128).

В канале

помещен

металлический

шарик. Если вращать ручку

с не

достаточной

скоростью

(менее

об/мин),

то

шарик

ударится о звонок и

даст

соответствующий

сигнал. Определить

ускорение Кориолиса сигнального

шарика,

если ручка

сепаратора наклонена к своей оси

вращения под углом

75°,

рабочий

вращает ручку,

делая

45 об/мин,

шарик

движется

по

каналу по закону

%'' =

= 220sin(p + 357e-?

мм.

Решение.

Вектор

угловой

скорости

ручки направлен по оси вращения, а от

носительная

скорость

шарика —вдоль

канала,

составляя с

ним угол

75°. Ускоре-

ниє Кориолиса определяем по формуле	(105).	Угловая скорость <в =		= 1, 5я.
Синус 75° берем из таблиц или подсчитываем		как sin ( 4 5 ° + 30°) = 0,966.
Чтобы определить относительную скорость, надо продифференцировать по
времени уравнение движения, в котором ф = щ< =			\,5nt:
dx'
vr~—~=330я	cos ф — 535		ле-'t.

Рис. 128

Таким образом, имеем

ас = 2 • 1, 5я (330л cos ф—535яе~?) 0,966.

О т в е т . Ускорение	Кориолиса равно 9420 cos ф— 15300е~? мм/сек2 и направ
лено перпендикулярно к	ручке и к ее оси.

§ 32*. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Сложение двух поступатель- Сложение поступательных движений. Изу- ных движений одного тела чив теоремы сложения скоростей и уско- приводит к поступательному рений точки, заметим, что движение не движению только точки, но и тела часто приходится рассматривать как составное. Более сложные случаи составного дви жения тела, а именно сложение поступательного и вращательного движений и сложение поступательного и сферического мы будем изучать в следующих параграфах, а здесь коснемся лишь сложения

скоростей при простейших движениях тела.

В случае поступательного			движения		тела все точки имеют оди
наковые	скорости,	и движение любой из точек					тела	вполне	характе
ризует	движение	всех остальных.		Если		телу	сообщено		не одно,
а одновременно два или несколько				поступательных движений, то
все его	точки продолжают		находиться		в	совершенно идентичных
условиях, параллелограммы			скоростей		всех точек			одинаковы, так
же как и параллелограммы ускорений,					и тело		совершает		поступа
тельное	движение.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ