Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Рис. 84

Дифференцируя это равенство по времени, мы найдем, что величины ради альных компонент скорости на рис. 83, а и б равны между собой:

&гх _

dr2

W~~~

Знак минус показывает, что если увеличивается один радиус-вектор, то одно

временно

уменьшается

другой

и,

как

видно,

на такую

же

величину.

Поэтому

на рис. 83,

мы

отложим

от Ж

к Ф2 отрезок МР2

— МРХ,

затем от точки

Р2

перпендикулярно

МФ2—отрезок

Р2Т2,

представляющий трансверсальную ком

поненту скорости. Величина

этого

отрезка

нам неизвестна,

поэтому

неизвестно и

направление

касательной

МТ2.

чертежа вместе, то получим

(рис. 83, в) точку Т

на

Но если мы соединим оба

пересечении

перпендикуляров

РХТ

Р2Т.

Отрезок

МТ

некотором

масштабе

изображает скорость

точки

М,

его

направление дает нам касательную.

эпоху,

предшествующую открытию

дифференциального

интегрального

исчислений,

проблема

построения

касательных к кривым

имела исключительное

значение (см. также

стр. 227). Метод,

примененный

нами

к решению этой задачи,

был предложен Робервалем и основан на сделанном

им открытии,

что

скорость

точки

всегда

направлена по касательной к

траектории.

§ 22. КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

При

координатном

способе

Задание движения точки в прямоугольных

определения

движения

точки

координатах. Как известно из курса ана

должны быть

даны

уравне

литической геометрии, положение точки М

ния движения,

т. е. заданы

в пространстве может быть определено по

координаты точки

как функ

ложением

ее проекций

Р,

Q и R

на три

ции времени:

x = x ( z ) ;

y=y{t)\

взаимно перпендикулярные

оси (рис. 84),

называемые

осями координат.

2 = 2(0

Положение точки Р на оси Ох вполне

х.

определяют

абсциссой

Совершенно

так же

положение

точек

и R

определяют

ординатой

у и аппликатой

Если

точка

движется

относительно осей xOyz, то проекции

Р,

Q и

R перемещаются

по осям

и координаты точки

М изменяются.

Для

определения

движения

точки М

нужно знать ее координаты для каж

дого мгновения, выразить

их в функ

циях времени1 .

x = x(t),

(58')

y = y(t),

(58")

z = z(t).

(58"')

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежу точные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в простран стве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями дви жения точки в прямоугольных координатах, а способ определения

1 Проектирование движущейся точки на систему трех неподвижных взаимно перпендикулярных осей впервые предложил Маклорен в 1742 г.

движения точки посредством соотношений (58) называют координат ным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, суще ствует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат хОу1:

x = x(t),

y=y{t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на пло скости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением.

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории

надо из уравнений движения

x=x(t).

Уравнение траектории. Можно определить траекторию точки, если в уравнениях д В И ж е н и я (58) давать аргументу t различ-

v '	r J	J	ґ
н ы е значения	и, вычислив	соответствую-

исключить время щие значения функций, отмечать положе ния точки по ее координатам. Следова тельно, кинематические уравнения движения точки (58) можно

рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время—как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в гео метрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58') и (58"), мы получим соотношение, связы вающее х и у:

f(x,y) = 0.

(59)

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, по лучим два уравнения между тремя координатами:

		M * , j r t Z ) = 0, ^
		ft(x,	у,	2) = 0, /			< 5 у )
1 Эти уравнения	часто	называют		кинематическими уравнениями		движения
точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего						в	1637 г.
метод аналитической	геометрии на		плоскости одновременно		с Пьером	де	Ферма
и независимо от него. Иногда декартовыми координатами					называют	и	систему
прямоугольных координат в		пространстве, хотя пространственная система коор
динат была открыта значительно позже.
131	5*

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59') выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки под

ставить в известную из	курса	высшей	математики формулу,	выра
жающую абсолютную величину		элемента дуги1 :
ds =	+ V{dxY + {dyy		+ {dzy .	(60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее *v- длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача Ш 36. По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

# = 5

cos

2/,

i/ = 3 +

5sin2/;

* =

21,2 s i n 2 / ,

</ =

21,2cos2 /.

В обоих примерах

за

единицу длины

принят

сантиметр,

за

единицу

времени —

секунда.

Решение.

Чтобы определить

уравнение

траектории

по

уравнениям

движе

ния, перенесем

во втором из заданных

уравнений 3 влево, возведем оба

уравнения

в квадрат и,

сложив,

получим

Xі + (у—3)2

25.

Это уравнение окружности с центром

точке: х — 0,

(/ =

Чтобы получить

закон

движения,

продифференцируем

заданные

уравнения:

dx =

—

10 sin

2tdt,

dy=\0cos2tdt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая

квадратный

корень

интегрируя,

находим закон движения

по

траектории:

s = 10/ + С ,

где

C =

s0.

Исключим время

из

уравнений

движения во втором

примере:

* +

j / =

21,2.

Это уравнение

первого

порядка

относительно

и у,

следовательно,

траекто

рия— прямая

линия. Прямая

отсекает

на

положительных

направлениях осей ко

ординат отрезки

по

21,2

см.

Однако

не

вся

прямая

служит

траекторией

точки:

из заданных уравнений видно, что

х и у

должны

быть всегда

положительны и не

могут

быть больше

21,2

см каждый,

поэтому

траекторией

точки

является

лишь

отрезок прямой х-\-у

— 2\,2,

лежащей

в первом квадранте (рис. 85).

На этом примере мы видим, что траекторией точки

иногда

является

лишь

часть

линии,

выражаемой

уравнением

траектории.

1 Эта формула впервые была дана

16-летним

Клеро

одной

из

его

первых

работ

«Исследование

кривых

двоякой

кривизны», опубликованной

им в

1731 г.

Для плоской дуги выражение, аналогичное современному, было

дано

Валлисом

(1656

г.).

Продифференцируем уравнения движения:

< & = 2 i , 2 . 2 s i n / c o s / < # , dy = — 21,2-2 sin t cos t dt.

Теперь по формуле (60) нетрудно найти эле мент дуги траектории:

ds= V"898,8-(2 sin t cos t dr)2=*30-2 sin t costdt.

Для

получения

уравнения

(51)

движе

ния точки

по траектории остается лишь про

интегрировать

найденное

выражение.

Инте

грируем

подставляем

начальные

условия

(при / =

s0 = 0):

s = 30

^ 2 sin t cos

tdt-\-C=

30 sin2 1.

О т в е т .

Уравнения

траекторий

х2 + (у—3)г

и х-\-у

2\,2;

уравнения

Рис. 85

движения

по

траектории

s =

10^ -f-s o

и s =

= 30 sin 2

Задача №

37.

Движение точки

задано уравнениями:

х ~

х'

cos

ф (І) — у'

sin ф

(0 .

у =

х'

sin ф (t)-\-y'

COS ф

(t),

где х'

и у' — некоторые

постоянные

величины,

а ф (г) — любая функция

времени.

Определить траекторию

точки.

Решение.

Возведем каждое

из

уравнений

квадрат, а

затем сложим

их:

х* +

у* =

х л

ул.

По

условию, х'

и у'

— постоянные.

Обозначая сумму

их квадратов

через г 2 ,

получим

у2 _J_

„2 —

г 2

О т в е т .

Окружность

центром

начале

координат радиуса

г =

Ух'г-\-у"

Задача № 38 (№ 327.

Н. Н. Б у х г о л ь ц,

И. М. В о р о н к о в и

А. П. М и н а-

к о в .

Задачник по

теоретической

механике.

Гостехиздат, 1944). Поезд длиной I м

сначала

идет

по

горизонтальному

пути

(рис. 86,

а),

а потом поднимается в гору

под углом 2а

горизонту. Считая поезд однородной лентой,

найти

траекторию его центра

тяжести.

Решение.

Для

решения

задачи

нужно

определить

координаты

центра

тяжести

по

езда,

найти

уравнения

движения

центра

тяжести и исключить из них время.

Направим

оси

координат

по

внутрен

ней

внешней

равноделящим

угла

2а

(рис.

86, б).

Траектория

центра

тяжести

поезда

не

зависит

от

скорости

поезда.

Для

простоты

подсчетов

предположим,

что

он

идет

равномерно

со скоростью

м/сек

Рис. 86

начальное мгновение / —0

подошел к горе.

Тогда за время і сек на гору поднимется vt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — vt м. Будем считать, что единица длины поезда весит у.

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

yvi	vt		„	tJ	—vt
yvi	— cos а —у		(l — vt)		— 5 — cos a
хс	2				^
хс			yl
			yl
yvt	vt				I—vt
yvt	— sina + v ( / — vt)—~— sin a
Ус=	2
Ус=
или	— a —vt)i			2lvt — l%
(vm	— a —vt)i			2lvt — l%
*c = —	^	L C o s a = — щ — c o s a,
(vt)* + (l-vt)*			.	2(vt)*-2M		+	l \ . _ „
Ус =	зі	L s m a = =			21		S m ^

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, сле довательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или vt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

vc — -.

sin а

1 . .

5— xi

-\--rl

sin a.

* L

/cos2 a

О т в е т . Парабола.

Задача

№ 39 (10.5,

313 М). Мостовой

кран

движется

вдоль

цеха

согласно

уравнению

x — t; по крану катится

в поперечном

направлении тележка

согласно

уравнению

</=1,5/ (х

у—в

м,

t — в сек).

Цепь укорачивается

со

скоростью

у = 0,5. Определить траекторию

центра

тяжести

груза (в

начальном положении

центр тяжести груза находился в горизонтальной

плоскости хОу; ось Ог направ

лена

вертикально вверх).

Решение.

В условии

задачи даны лишь

два уравнения

движения и вертикаль

ная

скорость

груза:

!-*

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

г = 0,5/.

Определив і из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

</=1,5*, г = 0,5х.

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пере сечения.

О т в е т . Прямая.

		Алгебраическая	величина скорости	проек-
Алгебраическая	величина	ц и и т о ч к и н а о с ь	. Пусть движение точки М
скорости проекции	точки на		-
координатную ось равна пер-		определяется тремя уравнениями:
вой производной от текущей			X — X(t),	(58')
координаты по	времени:			(58")
dx			У = У(і),	(58")
			г = г(і).	(58"')

По мере движения точки М в пространстве ее проекции Р, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям коор динат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так,	координата (абсцисса) точки Р всегда			равна	абсциссе точки М,
а координаты точек Q я		R	всегда равны ординате и аппликате
точки	М. Следовательно,	при	движении	точки	М в пространстве

согласно уравнениям (58) точка Р движется по оси Ох согласно

уравнению (58'), а точки Q и R — соответственно	по осям Оу и			Oz
согласно уравнениям (58") и (58"').
Таким образом, движение точки М в пространстве можно разло
жить на три прямолинейных движения ее -проекций Р,		Q и	R.
Определим скорость vp точки Р при движении	этой	точки	по	ее

прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки М-на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстоянияточки Р является дифференциал

абсциссы х, а поэтому
»г = Ш-	<61'>

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции Р точки М на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка Р дви жется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка Р движется в отрицательном направлении.

Аналогично получаем алгебраические	скорости проекций	Q и R
на ось Оу и на ось Oz:
*>R = %-		(61"')
Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить
величины (61) на единичные векторы:
~~? dx ~* ~? dy	~>" ~£ dz	,~,.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции ско рости той же точки на ту

dx
же ось: df	= v cos a7J

Скорость проекции и проекция скорости. Пусть точка М за бесконечно малый от резок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолют ную величину которого выразим форму лой (60):

		ds = + V(dxY + (dyy + (dz)*,
где	dx, dy	и е£г—проекции элемента дуги на оси координат, или,
что	то же,	элементарные приращения координат точки М.
	На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрез
ками. Как		видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элемен-

тарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и г соответственно равны:

	dx
C 0 S a v =	Ts'
cos \|^ =	f s ,	(62)
	dz
COSY„ =	T S .

Величина скорости точки М может быть определена по (53):

V —dsdt

Чтобы определить проекцию скорости v на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между направлением скорости и на правлением этой оси. Таким образом, для проекций, скорости точки М на оси координат имеем:

			vx	= vcosav		ds dx	dx	= vPl
			vx	= vcosav		=T t T s	= j	= vPl
					Q			(63')
					Q	ds dy	dy
			vy = V C O S ^ d t I = d t = VQ>
			Vz	z = WCOS,				(63")
			Vz	z = WCOS,	Vv v = -r-— —K — ==v
	р и с	87				ds dz	dz
	р и с	87				at ds	dt	(63"')
								(63"')
Равенства (63) словами нужно читать				так: проекция скорости точ
ки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.
Задача	№ 40*. Доказать, что проекция v x y		скорости v точки М (х, у, г) на пло
скость хОу	равняется	скорости vlt с которой	движется		по	плоскости		проекция

Мі(х,у,0) точки М на ту же плоскость.

Решение.

Скорость

v точки

М составляет с осью

Oz угол

yv, следовательно,

угол,

составляемый

ею с плоскостью

хОу,

равен

90° — yv и

косинус

этого угла

равен

sin yv.

Поэтому

модуль

проекции

скорости

точки

М на плоскость

хОу

- cos'

yv.

V*y-Tt At

Подводя

радикал

и выражая

cos yv

по формуле

(62), мы

убедимся,

-ц- под

что проекция скорости на плоскость равна по величине скоро сти проекции:

Направления векторов vxy	и v% тоже совпадают, так как направляющие ко
синусы их одинаковы. Теорема	доказана.

		Модуль	скорости. Возведем в квадрат каж-
Модуль скорости точки равен		дое из	равенств;
квадратному корню из суммы				.
квадратов проекций скорости			vx — UCOSa^,	j
на оси координат:			vy = VCOS$v,	\	(63)
v=Vvl+vl	+ vl		v2 = vcosyv	j

и сложим их:

v2x + vl + v2z= v2 (cos2 a + cos213 + cos2 y).

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и v2 = vl + v* + vl

или

w = +Kt»5+oJ+°J -

( 6 4 )

Перед

радикалом

взят

положительный

знак, так как величина

скорости

(ее модуль)

всегда

положительна. В этом

ее существенное

отличие от алгебраической

величины скорости (53), характеризующей

скорость

точки

при движении

по заданной траектории

имеющей

знак

« + »

или «—» в зависимости

от направления

движения. Вели

чину

(64) иногда называют

полной

скоростью.

„

Направляющие косинусы скорости. Равен-

Направление скорости можно

ство

/г

л\

позволяет определить

модуль

определить по направляющим

(64)

косинусам

скорости:

скорости точки, движение которой задано

уравнениями (58). Направление

скорости

cosa I ) = -^;

определяется по косинусам углов, состав

ляемых

положительными

направлениями

cospj, = — ; c o s Y n ^ —

o c e **

координат с направлением скорости.

Значения

этих

косинусов,

называемых

направляющими

косинусами

скорости,

мы получим из уравнений (63):

71 .

cosa., = —

		cos Р„ = -	= -		У
		cos Р„ = -	= -
		_ £ г			І
		C O S T , - v - + 1 / ( . ) а + ( .) а+ ( г ) 3 ' J
где х,	у	и г — производные		от х, у и г по t.
Если		точка движется	в	плоскости хОу, то -^ = 90°,
cos av	=	sin р\,.

(62')

COSYo = 0 и


Задача	№ 41 (№ 385. И.		Н. В е с е л о в с к и й . Сборник задач по теорети
ческой механике. Гостехиздат,			1955). Уравнения движения суть
	x =	^L(ekt + e-kt)t		у = = £ . ( в М _ в - « ) . '
Определить	траекторию	и скорость.

137

Решение. Из		уравнений	движения следует, что х		и у всегда больше	нуля.
Для	определения уравнения траектории			возведем	каждое из уравнений	дви
жения в	квадрат	и составим	разность
			х2 — у2 =	а2.

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

V x = = T t = Y ( e k t - e ~ k t ) = кУ'

Vy=^=Y(ekt

e ~ ! i t )

k x

а затем уже и полную скорость.

х1

—у2- -а2—

расположена в

области

О т в е т .

Траектория — ветвь

гиперболы

положительных значений х; скорость

v-~k

х2-\-у2.

Задача

№ 42

(№

Ц . 6, 363 М). Движение точки

задано

уравнениями

x = vut

cos

а 0 ,

y = v0t

s i n a 0

— -j

gt2,

причем ось Ox горизонтальна,

ось

Оу

направлена

по вертикали вверх, v0, g и

a 0 < — в е л и ч и н ы постоянные.

Найти

траекторию

точки,

координаты

наивыс

шего

ее положения,

проекции скорости

на координатные

оси в тот момент,

когда

точка находится на оси Ох.

Решение.

Уравнения описывают

дви

vBcosa„

жение тела, брошенного со скоростью

под

углом

а 0

к горизонту (к

оси

Ох).

Чтобы

найти

уравнение

траектории,

определим

время

из

первого

уравнения

и подставим

найденное значение

во

вто

рое;

получим

f/ = x t g a 0

gx*

2i>o cos2 a 0

Рис.

уравнение

параболы,

проходящей

через

начало координат (рис. 88).

Чтобы

определить

координаты

наивысшего

положения,

мы

можем применить

известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функ- dy

ции, т. е. взять производную -—, приравняв ее нулю, определить значение х.и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная ^ | < 0. Однако мы найдем коор динаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

i ^ = u 0 cosa 0 ,

vy =

v0s\nau—gl.

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонталь

ную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование

второго

уравнения

убеждает, что проекция скорости на верти

кальную

ось в начальное

мгновение

положительна и

равна

f 0 s i n a 0 ;

затем, по

мере

увеличения

г, проекция

vy уменьшается,

оставаясь

положительной

до мгно-

vQ sin a„

вения

^ =

^ —

• к о г Д а

обращается в нуль, после

чего

vy становится отри

цательной,

возрастая по абсолютной

величине

с течением

времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь.

Мгновение / = •

~— , при котором точка кончила подниматься, но еще не на-

чала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и v = vx. Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

vo	•	п	,	(/ =	vl . »	а„.
x = -zr- sin 2 а 0			,	(/ =	-pr— sin4	а„.
2g				*	2g	0
Определим проекции скорости		в мгновение, когда				точка находится на оси Ох.

В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем нулю второе из уравне

ний

движения:

v0t

sin

а 0 -

= 0,

или

sin

а 0

Точка

находится

на

оси

Ох

два

раза: при

/ =

0 и при

і _

2v0

sin

а 0

Первое

значение

соответствует началу движения, второе — падению точки на

ось Ох. Второе значение равно

времени всего полета, и оно

вдвое

больше

полу

ченного

нами

ранее времени

наивысшего

подъема:

время

падения

равно

времени

подъема.

t — О

Подставляя

значение

уравнения,

определяющие проекции

скорости,

найдем

проекции

скорости

начальное

мгновение:

o s

ао>

иу

+Щ

sin

а 0 .

Подставляя

второе из найденных

значений

найдем

скорости в

момент па

дения:

c o

s а о>

i \ , =

—1>0

sin

а 0 .

О т в е т .

Парабола

y —

xtga0-

gx'

a 0

2v% cos2

2) x = - | ^ s i n 2 a 0 ,

У = ^

s i n 2 a 0 ,

3) vx = v0 cos

a0 ,

± va

sin

a0 ,

причем верхний знак соответствует началу движения,

а нижний — концу.

Задача

№

(№

11. Б. С. З е р н о в.

Сборник задач

но

теоретической

меха

нике, ч. I , Кинематика. ГНТИ,

1931). По осям координат (рис. 89) скользят две

муфты Л и В, соединенные стержнем АВ

длиной

I . Скорость

равна

vB.

При

каком положении муфт скорость муфты Л

вдвое больше Vg?

Решение.

Координата

точки

свя

зана

с координатой точки В соотношением

Считая

и у

функциями

времени и

продифференцировав

, это

равенство

по

времени,

найдем

зависимость

между

ско

ростями

обеих

точек:

(ІХд

Хд

ЛуА

V'і*

Рис.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
21.10.20238.82 Mб10Геохимия и гидрохимия природных вод Восточной Сибири [сборник статей]..pdf
#
25.10.202317.21 Mб74Герасимов В.В. Материалы ядерной техники учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.09 Mб15Гермаидзе Г.Е. Уход за мартеновскими печами.pdf
#
19.10.20232.36 Mб4Герман, В. Т. Построение информационной системы управления технологическими процессами добычи и подготовки газа научно-экономический обзор.pdf
#
24.10.202311.14 Mб37Герметизация полимерными материалами в радиоэлектронике..pdf
#
27.10.202323.44 Mб89Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
#
30.10.202316.68 Mб9Герои звездных трасс спец. вып.pdf
#
23.10.20238.36 Mб49Герсон Ф. Спектроскопия ЭПР высокого разрешения.pdf
#
23.10.202322.28 Mб59Герцберг, Г. Спектры и строение простых свободных радикалов.pdf
#
19.10.20234.69 Mб20Герш, Г. И. Электрооборудование тракторов и комбайнов.pdf
#
23.10.20236.08 Mб39Гессен В.Ю. Защита сельских электрических сетей от аварий.pdf