книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов
.pdfОпределим касательное ускорение точки 0:
|
ато |
= еОЕтс |
= 165,5 мм/сек2. |
|
|
Точка О описывает |
окружность |
радиуса R + R t = 100 + 480 = 580 мм и век |
|||
тор касательного ускорения |
направлен по касательной к окружности, описывае |
||||
мой точкой О. Величину |
нормального |
ускорения определим, поделив квадрат ско |
|||
drT |
|
|
рости точки О на радиус |
описыва- |
|
|
|
емой ею окружности |
|
||
|
|
|
|
40 000 |
мм/сек2; |
|
|
|
<*No =ООу |
580 - = 69 |
|
направлен вектор нормального ускорения к центру окружности, описываемой точкой О.
Вектор полного абсолютного ускорения точки О направлен по диагонали прямоугольника, постро енного на этих составляющих и по модулю равен:
т,\ + а
= К"32 151 = 179,3 мм/сек2.
Зная о, є и ускорение точки О, мы могли бы найти мгновенный центр ускорений и, пользуясь им, определить ускорения остальных точек. Однако целесообразно сна-
/ чала по схеме (110'), приняв точку О за полюс, найти ускорение мгновен ного центра скоростей. Заполнив эту схему, получим (рис. 156, б).
|
|
|
|
|
|
/drT |
= er = |
165,5 |
||
|
|
|
|
|
|
у<хеТ |
— 165,5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
\ z e i |
v = |
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ас = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Полное абсолютное |
ускорение |
точ |
|||||
|
|
|
ки |
£ M U C |
равно геометрической |
сум |
||||
|
|
|
ме |
составляющих. |
Относительное |
|||||
|
|
|
касательное |
ускорение |
равно |
по |
||||
|
|
|
величине |
и противоположно по на |
||||||
|
|
|
правлению |
переносному |
касатель |
|||||
|
|
|
ному, их сумма равна нулю. Отно |
|||||||
Рис. |
156 |
|
сительное |
нормальное |
направлено |
|||||
|
|
|
по одной прямой, но в противопо |
|||||||
|
|
|
ложную |
сторону |
с |
переносным |
||||
нормальным ускорением. Следовательно абсолютное ускорение |
точки |
Я м ц с |
по |
|||||||
величине равно |
а м ц с = 400—69 = 331 |
мм/сек2 |
|
|
|
|
|
|
||
и направлено к точке |
|
|
сторону. Следо |
|||||||
О, т. е. по |
оси |
ординат в отрицательную |
||||||||
вательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а м ц с х~®> |
аа!ХСу |
= —331 |
мм/сек2. |
|
|
|
|
|
|
Точка подвижной шестеренки, которая в данное мгновение является центром скоростей, описывает эпициклоиду и в заданное мгновение находится в точке возврата своей траектории. Таким образом абсолютное ускорение мгновенного
центра скоростей является абсолютным касательным ускорением. Нормальное ускорение мгновенного центра скоростей равно нулю.
Найдем теперь мгновенный центр ускорений. Определим сначала угол р.:
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
|
в |
|
, |
1,655 |
. |
t , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ^ = + - 4 - |
= 0,414. |
|
|
|
|
|
||||||
По таблицам |
определяем |
|
|
|х = |
22°30'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Повернув |
вектор |
ускорения |
а м ц |
у |
на |
этот |
угол против |
хода часовой стрелки |
|||||||||||||
(потому что є > 0), отложим в найденном направлении |
|
отрезок |
(рис. 156, |
а) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о М ц С |
|
331 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Е |
^ Е ^ = y w ^ = |
v r m = 7 |
6 |
, |
6 |
м м ' |
|
|
|
|||||||
|
Конец |
£ м ц у этого отрезка |
|
является |
мгновенным |
центром |
ускорений подвиж |
|||||||||||||||
ной |
шестеренки |
в данное |
мгновение. Координаты |
этой |
|
точки |
в выбранной |
нами |
||||||||||||||
системе отсчета можно определить непосредственно |
по чертежу или же |
подсчитать |
||||||||||||||||||||
по общим формулам, |
полученным при решении |
предыдущей |
задачи № 96, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
а м ц с ^ - е -331-1,655 |
|
|
|
• а М Ц с у М 2 _ - 3 3 1 - 4 |
_ . |
^ ? |
|||||||||||||
* м ц у - |
|
е 2 + |
С 0 4 - - |
1 8 j 4 |
|
— " h ^ . У м ц у - 8 2+ |
|
( 0 4 - |
1 8 > 7 4 - |
/ и ' Л |
||||||||||||
|
Теперь для определения ускорения точки А надо |
знать |
только ее расстояние |
|||||||||||||||||||
от |
£ м Ц у . |
Это расстояние |
легко |
определить по формуле |
аналитической |
геометрии |
||||||||||||||||
или |
по теореме |
косинуса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
АЕ2Мцу |
= 76,62 |
+ 2002 |
— 2-76,6• 200-0,924 = 17 556. |
|
|
||||||||||||
Извлекая |
корень, находим |
|
АЕ^цу |
— 132,5 |
мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Остается |
лишь |
подсчитать |
по формулам |
относительное |
|
нормальное ускорение |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а/ .дг=<в2 Л£ ' М Ц у = 4-132,5 = 530 |
мм/сек^ |
|
|
|
|
||||||||||
и отложить |
его |
от |
точки |
А |
по направлению |
к |
Еу |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тельное касательное |
ускорение- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
агТ |
= еАЕШ1у= |
1,655-132,5 = 219,3 |
мм/сек? |
|
|
|
||||||||||
и отложить |
его перпендикулярно |
к АЕш1у, |
сообразуясь |
со знаком. Полное |
отно |
|||||||||||||||||
сительное ускорение можно определить как диагональ прямоугольника или непо
средственно |
подсчитать по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
аг=АЕшу |
| / " 8 |
2 + |
ш 4 |
= 132,5 |
У~18,74 = 573,6 |
мм/сек2 |
|
|
||||||||||||||
и отложить вектор под углом ц. (в нашей задаче +22°30') |
к |
отрезку |
Л £ м ц у . |
||||||||||||||||||||||
|
Движение |
плоской |
фигуры |
мы рассматривали, |
как |
составное, |
состоящее из |
||||||||||||||||||
переносного |
поступательного |
вместе с |
полюсом и относительного |
|
вращательного |
||||||||||||||||||||
вокруг полюса, |
приняв |
за полюс мгновенный центр ускорений. При таком усло |
|||||||||||||||||||||||
вии переносное ускорение и ускорение Кориолиса |
|
равны нулю и в схеме (ПО') |
|||||||||||||||||||||||
остается |
только одна ее |
часть. |
Полное |
относительное |
|
|
ускорение |
становится |
|||||||||||||||||
тождественным |
полному |
абсолютному ускорению. Но чтобы получить абсолютное |
|||||||||||||||||||||||
нормальное ускорение и абсолютное касательное |
|
ускорение |
точки, |
мы должны |
|||||||||||||||||||||
спроецировать |
это |
полное |
ускорение |
точки |
на прямую, |
соединяющую эту точку |
|||||||||||||||||||
с мгновенным центром скоростей (а не ускорений), |
|
и на |
прямую, |
ей |
перпендику |
||||||||||||||||||||
лярную, т. е. надо |
спроецировать |
ускорение на главную |
нормаль |
к |
абсолютной |
||||||||||||||||||||
траектории |
точки |
и на |
направление |
абсолютной |
скорости. Схема |
(110') прини |
|||||||||||||||||||
мает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у<2г = а м ц у = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
по |
абсолютной |
скорости |
\ |
0 |
г |
\ |
/ |
|
У |
,агТ |
|
і |
П ° |
о т |
н о с |
и т |
е л |
ь |
н |
о й |
скорости |
||||
или |
против |
нее |
|
|
/ |
й |
т |
/ |
|
|
|
\ |
и л |
и |
П Р ° Т И В |
н |
е |
е |
|
|
|||||
на |
мгновенный |
центр |
) |
|
|
/ |
а ~аг( |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
" |
\ |
\ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относи- |
||||||||||
скоростей |
или от него |
) |
а |
|
\ |
\ |
а |
|
I |
перпендикулярно |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
r " |
|
\ |
тельной |
скорости |
|||||||||
Х = о
Чтобы вычислить эти проекции, найдем сначала |
по теореме синусов угол |
|||||
между направлениями на £ M U C |
и £ M u y v = 1 2 ° 4 5 |
' и затем |
|
|||
a r = a c o s ([x + |
v) = 573,6-0,817 = 468,6 |
мм/сек2, |
|
|||
aN |
= a sin |
+ |
v) = 573,6• 0,577 |
= 331,0 |
мм/сек2. |
|
Приняв £ м ц у |
за полюс, |
мы достигли |
того, |
что абсолютное уско |
||
рение всякой точки фигуры стало равно ее относительному |
ускоре |
|||||
нию. Но мы должны помнить, что нормальная |
и касательная |
состав |
||||
ляющие абсолютного ускорения не равны нормальной и касательной составляющим относительного ускорения. Это происходит оттого, что не тождественны между собой абсолютное и относительное дви
жения |
точек. |
Так, например, в рассмотренной задаче № 97 точка О |
||||
в |
абсолютном |
движении описывает окружность радиусом R + Rt = |
||||
= |
580 мм с центром |
в точке |
Ог, а в относительном |
движении дви |
||
жется |
вокруг |
£ м ц у |
по дуге |
радиуса 0 £ м ц у , точка |
А в абсолютном |
|
движении описывает гипоциклоиду, а-в относительном движется по дуге окружности радиуса 132,5 мм с центром Емщ.
Понятия о мгновенном центре скоростей и мгновенном центре ускорений плоской фигуры очень удобны для вычислений, но свя занные с ними картины распределения скоростей и ускорений не
отображают полностью реальное |
движение фигуры. Это происходит |
||
потому, |
что вводя эти понятия |
мы рассматривали |
движение лишь |
в данное |
мгновение, при данном положении тела, |
т. е. пытались |
|
рассматривать движение как бы в отрыве от основных условий его существования — времени и пространства. Результаты такого подхода к вопросу, конечно, не могут быть полными и объективными.
План ускорений**
Задача № 9 8 * * . Фигура движется в своей плоскости. Известно положение мгно венного центра ускорений £ м ц у и вектор ускорения одной точки А фигуры. Найти построением ускорение точки В той же фигуры. На рис. 157 заданы отре-
А
|
|
|
Рис. |
157 |
|
|
зок АВ, точка |
£ м ц у и вектор |
ад. |
|
|
|
|
Решение. |
Проведя |
прямую |
АЕкцу, |
мы получим угол |
\i, |
который составляет |
ускорения всех точек |
фигуры |
с прямыми, соединяющими |
эти |
точки с £ M U V . Под |
||
таким же углом jx должен быть наклонен искомый вектор ад к отрезку В £ м ц у . Для определения модуля этого вектора сделаем следующее построение. Повернем
вектор ад |
на угол ц |
до его совпадения с отрезком / 4 £ м ц у , когда |
конец поверну |
||||||
того вектора будет |
в точке Ах. Из точки |
Ах параллельно |
АВ |
проведем |
пря |
||||
мую А1В1 |
до пересечения в точке Вх |
с В £ м ц у . Из подобия треугольников |
АВЕму |
||||||
и АхВхЕМЦу |
заключаем, что отрезок |
ВВХ |
представляет |
модуль ускорения точки В |
|||||
ав = В £ м |
ц у "Кег + со4 в том же масштабе, |
в |
котором |
отрезок |
ААХ |
выражает мо |
|||
дуль ускорения ад = АЕЫ1Ху J^e2-f-tt>4. |
Д л я получения вектора ускорения точки В |
||
остается лишь повернуть |
отрезок |
ВВХ |
на угол \і. |
П р и м е ч а н и е . |
Метод, |
примененный при решении этой задачи, |
|
является общим в кинематике плоского движения и им можно определить ускорение любой точки фигуры, если известно положе ние £ м ц у . Вариант этого метода, называемый методом плана ускорений, позволяет определить ускорения точек фигуры и при неизвестном поло
жении |
Емщ, |
лишь |
бы были |
известны ускорения двух точек фигуры, |
||||||||||||
или |
ускорение |
одной |
точки, направление |
ускорения |
другой точки |
|||||||||||
и план скоростей фигуры. Построим план ускорений для отрезка |
АВ. |
|||||||||||||||
Для |
этого |
отложим |
от £ м ц у |
направленные |
отрезки |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Еш)іа |
= аА |
и ЕтуЬ |
= |
ав. |
|
|
|
|
|
Соединив |
точки |
а |
и Ь, мы |
получим треугольник |
АВЕМ11у, |
за |
||||||||||
штрихованный |
на чертеже |
и подобный |
треугольнику |
АВЕКЩ. |
Дей |
|||||||||||
ствительно |
оба треугольника имеют |
по равному |
углу |
(/_ АЕКЩВ |
= |
|||||||||||
= ^/.аЕМІіуЬ), |
|
заключенному |
между |
пропорциональными |
сторонами, |
|||||||||||
причем |
треугольник |
аЬЕкау |
повернут |
относительно |
треугольника |
|||||||||||
АВЕмпу |
|
на угол |
180° — р.. |
Заштрихованный |
треугольник |
называют |
||||||||||
планом |
ускорений |
фигуры, |
неизменно |
связанной |
с отрезком |
АВ. |
||||||||||
Существует |
определенное взаимное соответствие между фигурой |
и ее |
||||||||||||||
планом ускорений, и всякому отрезку, соединяющему две какиелибо точки фигуры, соответствует на плане ускорений вполне опре деленный отрезок, пропорциональный ему и повернутый относи
тельно него |
на угол |
180°—р,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим, |
что наше построение |
не нарушится, если |
при построе |
||||||||||
нии заштрихованного |
треугольника мы возьмем вершину не в ~ £ м ц у , |
||||||||||||
а в любой |
точке е неподвижной плоскости. Точку е называют |
полю |
|||||||||||
сом плана |
ускорений. |
Применение плана ускорений к определению |
|||||||||||
ускорений точек фигуры показано в задаче № 99. |
|
|
|||||||||||
Задача |
№ 99 **. Фигура |
(рис. 158) движется |
в своей плоскости. По задан |
||||||||||
ным ускорениям точек |
А к В определить |
ускорения точек D и С. |
|
|
|||||||||
Решение. |
От произвольной |
точки |
е |
вне |
фигуры |
откладываем направленные |
|||||||
отрезки еа = аА |
и eb ~ |
ав. |
Проводим |
отрезок |
ab и от его концов |
две прямые: от |
|||||||
точки а проводим прямую |
под углом |
BAD, а |
от точки b под углом ABD |
до их |
|||||||||
пересечения |
в |
точке d. |
Дл я определения положения точки с плана ускорений надо |
||||||||||
провести до |
их пересечения |
какие-либо |
две из трех |
следующих |
прямых: 1) от |
||||||||
точки а прямой ab под углом |
ВАС, 2) от b прямой |
ab под углом |
ABC или 3) от |
||||||||||
точки d прямой ad под |
углом ADC. Эти прямые |
пересекаются в точке с плана |
|||||||||||
ускорений. Направленные |
отрезки еа, |
eb, |
ее и ed |
представляют векторы абсолют |
|||||||||
ных ускорений |
точек |
А, |
В, С и D, а |
отрезки |
ab, |
be и т. д. соответствующие |
|||||||
относительные ускорения |
этих |
точек. Дл я получения ускорения всякой точки фи- |
|||||||||||
Рис. 158
гуры надо определить подобным же образом соответствующую ей точку на плане ускорений и соединить с ней полюс е (для получения вектора абсолютного уско рения) или точки плана (для получения относительного ускорения относительно соответствующей точки).
§ 35**. ПОНЯТИЕ ОБ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Уравнение движения свободного тела,
в самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятой
нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса. Движение свободного твердого тела может быть описано шестью
|
|
|
Рис. |
159 |
|
|
уравнениями: |
тремя |
уравнениями |
(78) |
поступательного |
движения |
|
и тремя уравнениями |
(96) |
сферического |
движения: |
|
||
xB = x(t), |
yE = y(t), |
zs |
= z(t), |
г|з = і|>(/), Ф = Ф(0, * = |
(122) |
|
Во всякое мгновение мы представляем движение тела как посту пательное с некоторой скоростью vE (рис. 159, а) и вращение во-
—>•
круг мгновенной оси с угловой скоростью ш.
Поступательное движение тела со скоростью vE в свою очередь раз ложим на два поступательных движения, одно из которых происхо
дит |
со скоростью vE, направленной по мгновенной |
оси |
вращения, |
||||
а другое —со скоростью vE2, |
направленной перпендикулярно со. |
|
|||||
|
Эту скорость vEi поступательного движения мы представим |
как па |
|||||
ру угловых скоростей (рис. 159, б), момент которой равен |
vE%, |
а |
плечо |
||||
ft = |
vE |
(рис. 159, е) одна из двух со, составляющих |
эту |
пару, |
|||
— . Тогда |
|||||||
уравновесится |
с угловой |
скоростью, направленной |
по |
мгновенной |
|||
оси |
вращения, |
проходящей |
через полюс Е, и останется |
лишь |
вра |
||
щение, происходящее вокруг оси, ей параллельной и отстоящей от выбранного нами полюса на расстоянии п. Кроме того, останется
поступательное движение |
тела со скоростью |
vEi, |
происходящее |
в направлении вектора угловой скорости (рис. |
159,г). |
|
|
Следовательно, картина |
распределения скоростей |
твердого тела |
|
в самом общем случае такова, как будто тело вращается в данное мгно
вение вокруг некоторой оси и |
одновременно скользит |
вдоль |
нее. |
||||
Эту ось |
называют |
мгновенной |
осью вращения—скольжения1, |
или |
|||
мгновенной |
винтовой |
осью. |
|
|
|
|
|
Таким образом, картина распределения скоростей в твердом теле |
|||||||
вполне |
аналогична |
динамическому |
винту (см. § 15), выражающему |
||||
общий |
случай приведения системы |
сил, приложенной |
к твердому |
||||
телу. |
|
|
|
|
|
|
|
Движение свободного тела мы разложили на поступательное
движение, определяемое движением произвольной точки |
Е, |
приня |
той за полюс, и сферическое движение вокруг полюса |
Е и пред |
|
ставили уравнениями движения (122). |
|
|
Очевидно, что и скорость любой точки К этого тела |
мы |
полу |
чим как скорость точки в составном движении по параллелограмму скоростей, как сумму скорости полюса и относительной скорости точки при сферическом движении тела вокруг полюса.
Аналогично и ускорение любой точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при сферическом движении тела, определяемого формулами 99—101 (см. стр. 183).
1 Эта ось впервые была открыта Юлием Моцци (1766 г.).
Ч А С Т Ь I I I
ДИНАМИКА
Г Л А В А XIII
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
§ 36. ПРЕДМЕТ ДИНАМИКИ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ ГАЛИЛЕЯ — НЬЮТОНА
|
Предмет динамики. Динамика1 |
является |
||||
Динамикой называют раздел |
основным и наиболее общим разделом тео- |
|||||
теоретической механики, в |
ретической |
механики. Если |
в статике мы |
|||
котором изучают механиче- |
изучали условия равновесия твердого тела, |
|||||
ское движение в связи с си- |
совершенно |
г |
занимаясь |
г |
вопросами |
|
лами, приложенными к дви- |
не |
|
||||
жущимся объектам |
движения, а в кинематике, напротив, изу |
|||||
женных к этим телам, то |
чали движение тел |
без учета сил, |
прило |
|||
в динамике нас будут одинаково |
интере |
|||||
совать и силы, действующие на материальные тела, |
и |
движение |
||||
этих тел. |
|
|
|
|
|
|
В динамике изучают зависимость между движением материаль ных объектов и действующими на них силами, по данному движе нию точки или тела устанавливают, какие силы его производят, и по действующим силам определяют движение материального объекта. Поэтому динамика не может, подобно кинематике, ограни читься добавлением к понятиям геометрии одного лишь понятия времени. Она дополняет понятия кинематики понятием силы, извест ным нам из статики. Нас не интересует физическая сущность силы, и здесь, как и в статике, мы характеризуем силу величиной, на правлением и точкой приложения, разве лишь с тем добавлением, что в динамике чаще, чем в статике, рассматривают силы, перемен ные по величине и направлению.
Две одинаковые силы, приложенные к двум различным мате риальным телам, могут сообщить этим телам за одно и то же время совершенно различные движения, что зависит от инертности этих тел. Движущиеся объекты характеризуются также и массой и рас-
1 Название «динамика» введено Лейбницем (1690 г.).
246
пределением массы. В динамике изучают движение только матери альных тел (или точек), обладающих определенной массой.
|
Таким |
образом, динамикой |
называют |
раздел теоретической |
меха |
||||
ники, в котором изучают механическое движение |
материальных |
||||||||
объектов |
в связи |
с силами, приложенными к этим |
объектам. |
|
|||||
|
|
|
|
Три |
закона |
движения. |
В |
основе |
всей |
В |
основе |
динамики |
лежат |
механики, в частности динамики, лежат |
|||||
три закона Ньютона: 1) прин- |
три |
закона, называемые основными зако- |
|||||||
цип |
инерции^2) основной |
т м и |
Галилея —Ньютона |
и |
сформулиро- |
||||
равенс?ваНТеИйствия ГпроТи- |
ванные Ньютоном под названием «Аксиомы, |
||||||||
|
водействия |
|
или законы движения». Они опубликованы |
||||||
всочинении Ньютона «Математические
начала натуральной философии» (1686) *.
С |
двумя |
из этих |
законов |
(с первым |
и третьим) мы ознакоми |
|
лись |
в курсе |
статики |
(см. § 3). Но необходимо обратить |
внимание |
||
на некоторые |
обстоятельства, |
которые в |
динамике имеют |
большее |
||
значение. Поэтому, приступая к курсу динамики, мы критически рассмотрим первую аксиому Ньютона, затем изучим вторую аксиому, а потом расширим наше знакомство с третьей аксиомой.
Систему отсчета, по отношению к которой всякая материальная частица под действием взаимно уравновешенных сил совершает прямолинейное и равномерное движение, называют инерциальной системой отсчета
Инерциальная система отсчета. Первый
основной закон механики (принцип инерции) сформулирован Ньютоном так: «Вся-
кое тело продолжает удерживаться |
в своем |
|||
состоянии покоя или равномерного |
и пря |
|||
u |
1 |
_ |
r |
г |
молинеиного |
движения, |
пока и поскольку |
||
оно не понуждается приложенными силами • изменять это состояние».
Проверить принцип инерции прямым "и непосредственным экспериментом вряд ли можно. Для такого эксперимента понадобилось бы тело, на которое не действуют ника кие силы; это тело должно быть полностью изолировано от всех других тел. Никакое тело, никакая материальная система во Все ленной не являются полностью изолированными. Но ввиду громад ности расстояний до звезд можно допустить, что звезды не оказы вают заметного действия на солнечную систему, т. е. на систему, состоящую из Солнца, планет и их спутников. Полагают, кроме того, что эта система не подвержена никаким другим посторонним воздействиям, как, например, сопротивление среды, заполняющей мировое пространство. Тогда можно считать, что центр масс (центр тяжести) солнечной системы в данное время находится в состоянии равномерного прямолинейного движения. Центр масс солнечной системы почти совпадает с центром Солнца, и в дальнейшем мы будем называть его центром Солнца.
Возникает вопрос: по отношению к какой системе отсчета центр Солнца движется прямолинейно и равномерно? Вполне конкретно и однозначно ответить на этот вопрос невозможно. Ньютон ошибочно
1 Имеется русский перевод акад. А. Н. Крылова, изданный Морской ака демией в 1916 г., а также АН СССР в Собрании трудов А. Н. Крылова, т. " V I I .
полагал, что независимо от материи существует абсолютно неподвиж ное пространство. «Абсолютное пространство по самой сущности без относительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда оди наковым и неподвижным», —писал он в «Математических началах натуральной философии». Но мы не мыслим пространства безотноси тельно к внешнему миру, и для нас пространство есть форма суще
ствования материи. Материя же немыслима без движения, |
поэтому |
не может быть и пространства, которое было бы абсолютно |
непод |
вижно безотносительно к чему бы |
то ни было, т. е. не может быть |
||
неподвижной пустоты. Д'Аламбер, |
критикуя Ньютона за то, что он |
||
понятия |
пространства и времени отрывал |
от понятия материи, писал |
|
в 1759 |
г.: «Те философы, которые |
хотят |
создать пустоту, теряются |
всобственных выдумках»1 .
Вэтом вопросе воззрения Д'Аламбера близко подходят к пози ции Энгельса, который писал: «Разумеется, обе эти формы сущест вования материи (т. е. пространство и время—М. Г.) без материи
суть ничто, пустые представления, абстракции, существующие только в нашей голове» 2 .
Лобачевский показал, что представления геометрии Эвклида и механики Ньютона о пространстве не являются истинными, и подго товил почву для развития современных физических представлений о пространстве и времени.
Не следует думать, что неправильное понимание Ньютоном абсо лютного пространства делает его законы неверными и неприемле мыми. Неправильно только было бы считать аксиомы очевидными ис тинами, абсолютно верными и не нуждающимися в доказательствах, о чем мы уже говорили в § 3. Аксиомы нуждаются не только в до казательствах, но также и в уточнениях.
Представим себе какую-либо систему координат (связав ее, на пример, со звездами), по отношению к которой центр Солнца совер
шает |
равномерное и |
прямолинейное движение |
с какой-либо скоро- |
|
—> |
|
|
стью |
v, примем эту |
систему за основную и |
назовем инерциальной |
системой.
Представим себе также вторук) систему координат, совершающую поступательное движение относительно первой системы. Пусть одна
из точек |
(а значит, |
и все остальные) второй системы движется отно |
||
сительно |
инерциальной |
прямолинейно |
и равномерно с"какой-либо |
|
скоростью ve. Тогда |
скорость vr центра |
Солнца относительно второй |
||
системы согласно закону |
параллелограмма скоростей равна |
|||
|
|
|
~Zr=v—ve. |
(103') |
В правой части равенства мы имеем разность постоянных вели чин, следовательно, постоянна и левая часть равенства, т. е. центр Солнца относительно второй системы координат тоже находится в
1 |
Д ' А л а м б е р . |
Об элементах |
философии или принципах |
человеческих по |
знаний с пояснениями. |
|
|
||
2 |
К. М а р к с |
и Ф. Э н г е л ь с . |
Сочинения, изд. 2-е, т. |
20. Госполитиздат, |
1961, |
стр. 550. |
|
|
|
г
прямолинейном и равномерном движении. Таким образом, характер движения центра Солнца по отношению к обеим системам координат один и тот же—прямолинейное и равномерное движение. Поэтому и вторую систему координат мы можем называть инерциальной сис темой, как и всякую прочую систему координат, движущуюся отно
сительно первой поступательно, прямолинейно и |
равномерно. |
|
|||
В |
таком движении по отношению ко |
всякой |
инерциальной |
си |
|
стеме |
находится не только центр солнечной системы, на |
которую, по |
|||
нашему заключению, не действуют извне |
никакие |
силы, |
но и |
каж |
|
дая материальная частица, находящаяся под действием взаимно урав
новешенных сил, потому что наличие взаимно |
уравновешенных |
сил |
эквивалентно их отсутствию (см. § 3). Все это |
требует значительно |
|
расширить понятие шнерциальная система-» и |
определить ее как |
та |
кую систему отсчета, по отношению к которой всякая материальная частщіа, находящаяся под действием взаимно уравновешенных сил, совершает прямолинейное и равномерное движение. Любую такую систему можно принять за неподвижную при решении задач дина мики. В этом заключается открытый Галилеем так называемый прин цип относительности классической механики.
В целом ряде проблем, например в задачах небесной механики — при вычислении траекторий искусственных спутников, при исследо ваниях, связанных сдвижением нашей планеты (опыты Фуко), и др., за инерииальную систему принимают систему координат, начало ко торой находится в центре Солнца, а оси направлены на какие-либо
три «неподвижные» |
звезды. Чтобы показать, |
как |
незначительна по |
|||||
грешность, которую |
допускают, считая звезды неподвижными друг |
|||||||
относительно друга, |
представим себе модель |
звездного |
мира, |
сделан |
||||
ную в масштабе 1:1 000 000 000 000. В таком масштабе |
наше |
Солнце, |
||||||
диаметр |
которого |
1500 000 |
км, |
изобразится |
шариком |
с булавочную |
||
головку |
диаметром |
1,5 мм. |
На |
расстоянии |
15 см |
от |
этого |
шарика |
будет кружиться невидимая глазу пылинка—Земля. Другие же звезды, в среднем такие же булавочные головки, мы должны будем помес тить километров на 40 от Солнца и друг от друга. Если принять скорость Солнца относительно соседних звезд равной 150 км/сек, то, следовательно (в том же масштабе), модель Солнца (начало коорди
нат) движется со скоростью |
1 мм/ч. |
Таким образом, |
относительные |
|||||||||
перемещения |
звезд ничтожны, и систему отсчета, связанную со |
звез |
||||||||||
дами, |
можно |
принимать |
за |
инерциальную |
с большой |
степенью |
точ |
|||||
ности. |
|
|
|
Всякую |
систему |
координат, |
неподвижную |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
При многих технических рас- |
относительно Земли, обычно принимают за |
|||||||||||
четах можно принимать за не- |
инерциальную |
систему отсчета, |
пренебре- |
|||||||||
ПОДВИЖНУЮ |
ВСЯКУЮ СИСТему |
|
Г |
|
J |
|
J |
' |
г |
F |
||
отсчета, |
неизменно связан- |
г а я |
Движением Земли вокруг Солнца и |
|||||||||
ную с Землей. |
вокруг оси. Конечно, при этом допускают |
|||||||||||
|
|
|
|
некоторую ошибку, потому что невозмож |
||||||||
но, чтобы |
принцип инерции |
был |
верен |
одновременно |
и по |
отноше |
||||||
нию к |
осям, |
направленным |
на звезды, и по отношению к осям, |
уча |
||||||||
ствующим |
в |
движении |
Земли. Но |
эта |
ошибка невелика |
и вполне |
||||||
может |
быть допущена в |
обычных |
технических задачах. |
|
|
|||||||