книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

помня,

что знаменатель

в выражении

направляющего косинуса яв­

ляется

положительным.

По

этой

формуле можно определять не только направляющие

косинусы вектора силы, но и направляющие

косинусы всякого другого вектора (скорости,

ускорения и пр.). Во всех

отделах

нашего

курса направляющим косинусам отведена зна­

чительная роль.

Углы, составляемые каким-либо

вектором

с

осями х, у и г,

мы будем

обозначать

соот-

Рис.

15

ветственно буквами а ,

Р и у

с индексом век­

тора. Например, углы, составляемые векто­

ром F с осями координат, будем обозначать aF,

Р ґ ,

yF. Если проек­

ции

силы

F на оси координат обозначать через X , Y и Z, то

cosa f = y j q - ;

cospV = " p y ;

cosvf

=

.

(3')

Практически

при решении

задач для определения проекции

силы

на

ось

обычно

умножают

модуль

силы на

косинус

о с т р о г о

угла между осью (ее положительным

или отрицательным

направле­

нием)

и линией

действия

силы

и приписывают

проекции

знак

«+»

или

«—» в зависимости от того, «направлена»

ли проекция

в сторону

положительного

или в сторону

отрицательного направления оси.

Проекция силы

на

плоскость.

В

отличие

Проекция вектора на пло-

от проекции

силы

на

ось проекция

силы

скость

является вектором

на

плоскость является вектором

и

имеет

собственное

направление

на плоскости.

ab=AB

cos a.

Проекция равнодействующей

Теорема

о

проекции

равнодействующей.

Покажем,

что проекция

равнодействующей

равна сумме проекции со-

н а плоскость

r

r

„ J

сумме

ставляющих сил

равна геометрической

проекций

составляющих.

OAEKL,

Дан пучок сил, представленный силовым многоугольником

Аа, Ее, Kk и Ы

на плоскость

из вершин силового многоугольника,

найдем проекции

составляющих

сил на-плоскость: проекция ОА=оа;

хОу и спроецируем

все силы

на оси Ох и Оу.

Обозначим проекцию силы Fx

на ось абсцисс через

Xlt

а на ось

ординат—через У\; проекции

силы F.2 обозначим теми

же буквами

с индексом

2 и т. д. Сумму

проекций всех

сил на ось абсцисс обо­

значим символом 2]Х, а на ось ординат — ^Y . Проекция

равнодей­

ствующей на какую-либо ось равна алгебраической

сумме

проекций

составляющих на ту же ось, и мы можем написать

равенства

RX

= xl+xt+x,+

...+xa

=

'2x,

RY

= YL + YT + YA+...+YA

= ^LY,

(4)

где RX и RY означают проекции равнодействующей

на

оси коорди­

нат. Теперь

мы можем найти

величину равнодействующей:

или

R = +

VRI+R*,

# = + ]/(2*)2 +(2} 02

(5')

Направление равнодействующей можно определить по направ­

ляющим косинусам:

2*

cos aR •• Rx_

\

R

+ j / ( 2 x ) 2 + (2k)2

(6')

Если силы системы не лежат в одной плоскости,

то, спроециро­

вав силы на три координатные оси, получим

я = + / (2x)2+(2^)2+(2z)2>

(5)

cos аг, =

_

cos $ R •

(6)

cos2 a^-fcos2 P^ + cos 2 Y«= !•

(7)

щейся между

блоками, привязан груз б =

2 7 , 3 я . При

равновесии системы

ветвь

OA образует

с горизонталью угол 60°, а

ветвь О В — угол 45°.

Пренебрегая тре­

нием в блоках, определить величину грузов Р и Q.

Решение.

Равновесие какого объекта

надо рассмотреть для решения задачи?

Ответим на этот вопрос. Требуется определить веса грузов Р

и Q.

Веса

грузов

приложены к

этим грузам и направлены

вертикально

вниз. Каждый

груз

натя­

модулю равные Р и Q и направленные

по OA и ОБ,

пересекаются в точке О, где

приложена

и заданная

сила

G (рис.

18, б).

Поэтому

для

решения

задачи надо

рассмотреть

равновесие

точки

О.

Какие же силы действуют

на

точку

О?

На нее

действуют сила

G; натяже­

ние Р

ветви

OA;

натяжение

Q ветви ОВ.

Веса грузов

Р и Q, приложенные к этим

грузам,

учитывать

не надо,

потому

что они

не приложены

к точке О.

силы

на

оси и

составим уравнения равновесия.

Д л я

проекций на ось

Ох

имеем

2^

=

0;

Q cos 45° — P c o s 6 0 ° = 0.

Знак проекции Q положительный, потому что она направлена в положитель­

ном

направлении оси Ох

(вправо). Знак у проекции

Р отрицательный,

так

как

она

направлена

в отрицательном

направлении оси Ох.

Проекция силы G на

ось

Ох

равна нулю.

Аналогично

получаем

Задача

№ 6.

(№

2.54, 63

М).

Земляная

насыпь

подпирается

вертикальной

каменной

стеной

АВ.

Найти

необходимую

толщину

стены а,

предполагая, что

давление земли на

стену направлено горизонтально,

приложено

на

1 /3 ее

высоты

и равно 6 тонн на

метр длины стены; удельный вес кладки 2 Г/см3.

Стена должна

быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра А (рис. 19, а).

Решение.

Первый

вопрос: равновесие

какого тела

надо рассмотреть?

Нужно рассмотреть равновесие каменной стены

АВ.

Второй вопрос: какие силы действуют на рассматриваемое тело?

На

стену

действуют следующие

силы

(рис. 19, б):

а)

вес

G стены, приложенный в

ее центре

тяжести,

направленный по

верти­

кали вниз

и

равный

произведению

объема

стены на

удельный

вес

кладки.

Обо-

значим

высоту,

длину

и ширину стены

в метрах соответственно

h,l

и а. Удельный

вес кладки

2

Г/см3,

или, что то же, 2

Т/м",

следовательно,

G = 2hla

Т;

б)

давление

Р земляной насыпи, приложенное на

1/3

высоты

стены, направ­

ленное

горизонтально

от насыпи к стенке

и равное (в

Т)

Р =

6/;

в)

реакция

R

опоры. При решении

подобных

задач,

называемых

задачами

на

опрокидывание,

нужно

иметь в виду, что реакция связи

бывает только

в той опоре,

вокруг

которой

опрокидывается

тело,

а

реакции же связей

в опорах,

в которых

связь

нарушится при

опрокидывании

В

тела,

равны

нулю.

Определив

точку

приложения

реакции

опоры,

найдем

направление

реакции. Стена

находится

в равнове­

сии под действием трех

сил, а следова­

H» I

тельно, линии действия всех трех сил

должны

пересекаться

в одной

точке,

1

поэтому реакция опоры направлена под

углом а

к горизонтальной

оси, причем

В)

h

a

2h

t g a =

T - :

За'

Проецируя

все приложенные к стене силы

на

горизонтальную

и на верти­

кальную

оси (рис. 19, в) и приравнивая

нулю

суммы

проекций,

найдем

2*

=

0;

Я cos a.— 6/ =

0;

P c o s a =

6/;

2^

= 0;

Я sin a — 2Wa = 0;

Rs\na

= 2hla.

Легко

находим, что

наименьшая

толщина

стены

а=У~2

.« =

1,41 м.

Чем

нами, силы

не

пересекутся в одной

точке

и

равновесие

невозможно, стена

опро­

кинется.

В условии задачи использованы различные единицы измерений (тонна, грамм,

метр, сантиметр). При решении мы

выразили

все величины в тоннах.и

метрах.

Решим эту же задачу в

СИ или МКС (м,

кг,

сек),

для чего

выразим

в этих еди­

ницах все величины, заданные в условии задачи.

Давление

земли на

один

метр длины

стены

6

Г/ж = 6000 кГ/м

= 6000-9,81

н/м.

Если

длина стены /

м, то давление

на

всю стену

Удельный

вес

кладки

Р =

6000-9,81 •/«.

2

Г/см3

= 2000 кГ/м3

= 2000 -9,81

н/м9.

Тогда

вес стены

G = 2000-9,81 -Ыа н.

Составляя

и решая

уравнения

равновесия

всех

сил, приложенных

к

стене,

получим

тот же ответ.

О т в

е т .

1,41 м.

Задача № 7. На катеты

равнобедренного прямоугольного треугольника

ABC,

сделанного

из

проволоки и установленного

в

вертикальной

плоскости

так, что

гипотенуза

АВ

горизонтальна

(рис. 20, а), нанизаны два шарика: Р весом G1

= 3 н

и Q весом G2 = 4 н, связанные нерастяжимой

нитью. Найти

положение

равновесия

(угол /_ CPQ = OL),

реакции

катетов

и

натяжение

нити,

считая, что

проволока

не прогибается

и трение

отсутствует.

Решение.

Равновесие

какого

объекта

надо

рассмотреть,

чтобы

определить

угол а,

натяжение

нити Т

и две реакции катетов? Если рассматривать равновесие

шарика

Р,

получим

два

уравнения равновесия ('£1Х

= 0 и

— 0)

Д л я

т Р е х

неизвестных

(угол

а,

натяжение Т нити и реакция RA

катета АС).

Если

рассмат­

ривать

равновесие

шарика

Q,

то

получим

два

других

уравнения

с

тремя

неиз­

вестными (угол ос, натяжение Т нити и реакция Л?д катета ВС),

но

две

из

этих

неизвестных величин входят в уравнения равновесия шарика

Р.

Для

решения

задачи

надо: 1) рассмотреть равновесие шарика

Р

и

составить

уравнения равновесия;

2)

рассмотреть равновесие шарика Q и составить

уравне­

ния равновесия; 3) решить совместно все четыре уравнения

и

найти

из

них

четыре

неизвестных

а,

Т,

RA

и

Rg.

силы: его вес

3 я,

направ­

1) Равновесие

шарика

Р. На шарик Р действуют

ленный

вниз, натяжение

Т

нити,

направленное

к Q,

и реакция

RA

катета

АС.

Рис.

20

Катет (проволока АС)

осуществляет

связь

шарика

Р.

Эта

связь

допускает

пере­

мещение шарика лишь по АС.

Реакция

направлена

перпендикулярно

виртуальным

перемещениям,

т. е. перпендикулярно

АС.

Построим

систему

координат

с

началом в центре шарика

Р ,

направив

ось

Ох по катету к точке С (рис. 20, б).

Заметим, что мы впра'ве выбирать направ­

ления осей так, как

это представляется

целесообразным для упрощения выкладок.

Мы свободны также

в

выборе

начала

координат.

Р:

Составляем

уравнения

равновесия

системы сил,

приложенных

к шарику

2*

=

0;

Г cos

к — 3 c o s 4 5 ° =

0;

2^

= 0;

— Т 8іпа — 3 sin 45° +

=

0.

2) Равновесие шарика

Q.

На

шарик Q действуют, вес 4 я, направленный

вниз,

ствия и противодействия),

и реакция

Rn

катета

ВС,

направленная перпендику­

лярно виртуальному перемещению шарика Q.

Нет необходимости строить

новую

систему координат, и

мы можем проеци­

ровать силы,

приложенные

к шарику Q, на уже

имеющиеся

координатные оси.

Получаем два

новых уравнения:

2-Х

= 0;

RB

—T

COS a—4 cos

45° =

0;

2^ = °; T s i n a — 4 s i n 4 5 ° = 0.

3) Решая

совместно четыре

уравнения,

находим четыре

неизвестных.

О т в е т .

t g a = - | - ;

(a = 53°);

Г = 3 , 5 4 я ;

R A = R B =

5H.

Задача № 8.

К шарниру

кронштейна

A BCD

(рис.

21, а) приложена

сила

Р = 6000 н. Кронштейн

состоит

из трех

стержней АВ,

АС

и AD

равной

длины;

крепления А,

В, С и D шарнирные, плоскость ABC

горизонтальна

и

В С = Л О =

= 2 OD. Найти усилия в

стержнях.

Решение.

Рассматриваем

равновесие

точки Л,

в которой

сходятся

все неиз­

вестные силы.

сил: вес Р = 6000 н,

На точку Л действует пространственный пучок

направ­

ленный вниз, усилия в стержнях

АВ,

АС

и AD. Усилием

в

стержне

называют

силу, действующую вдоль стержня

и растягивающую

или

сжимающую

его;

если

стержень растянут, то на шарнир

действует сила, направленная к стержню,

если

сжат, то от

стержня.

Не

всегда

бывает просто без предварительных расчетов

определить, сжат

данный стержень

или растянут. Иногда этому

помогает

следую-

Рис. 21

щий прием: если от замены стержня нитью равновесие не нарушается,

то стержень

растянут, а если нарушается, то сжат. В данной задаче стержень

AD,

очевидно,

можно

заменить

нитью, следовательно,

он

растянут

и

сила

FQ,

приложенная

к шарниру

А, направлена так, как тянула

бы

его нить,

т. е.

к

D. Стержни

АВ

и АС нитями заменить нельзя, так как кронштейн, потеряет

жесткость, следова­

тельно,

силы, приложенные к

шарниру

А, направлены от В

и от С. Существует

и другой

способ,

требующий

предварительных

расчетов:

силы, действующие

на

шарнир

со

стороны стержней,

при предварительном

расчете

считать

растягива­

ющими

и всегда

направлять от шарнира

к стержням,

составлять

и

решать урав­

ются положительные значения, то стержни

растянуты,

а если отрицательные,

то

сжаты. Этот способ мы

применим

в

данной

задаче

и

будем считать, что, кроме

вертикальной нагрузки

Р,

на

шарнир А

действуют

усилия

в стержнях

АВ,

АС

и AD, направленные условно

от Л к В, С и D.

в точке О (рис. 21, б),

Построим пространственную систему координат с началом

направив

оси, как показано на чертеже. Из условия задачи следует, что

АВО=

— £АСО

= 60°,

ОАВ=

/

OAD = 30°. Составляем

уравнения равновесия про­

странственного пучка сил:

2^ = 0; F s c o s 6 0 ° — F c c o s 6 0 ° = 0;

2

У = 0;

— F B

cos 30а—Fс

cos 30° — F 0

cos 30° = 0;

2^ = 0; f D c o s 6 0 ° — P = 0. "

Решая эти уравнения,

находим

ответ.

О т . в е т . Стержень

АВ

сжат,

F B

= —

6000 и; стержень АС сжат, FC=—6000

к;

стержень

AD растянут,

F 0

= - f - 1 2 000 н (рис. 21,в).

(в

некоторых

задачах)

Для

отличия

сжимающую силу

условимся

писать

с отрицательным

знаком. Этот

знак

сжимающим

силам приписывают условно..

точке D. Очевидно,

что

равнодействующая

этой

системы приложена

в той

же

точке D, направ­

лена в ту же сторону,

что

и

слагаемые

си­

лы, а по модулю

равна

сумме

модулей

этих

сил:

R = Ft

+ Ft.

(10)

Fj__CD_

F2

_

CD

Pt ~~ AC И

P.,

~

ВС •