книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов
.pdfПроявление присущего материи свойства сохранять механическое движение, без действия сил сохранять свою скорость, называют
инерцией.
Аксиома инерции содержит в себе как бы две части — аксиома инерции покоя и аксиома инерции движения. Та часть, которая ут верждает, что тело остается в покое, пока силы не изменят этого состояния, очевидна и подтверждается повседневным опытом: мы ни когда не видели, чтобы покоящиеся тела сами, без действия на них сил, приходили в движение. Эта так называемая инерция покоя была известна еще со времен Аристотеля.
Напротив, открытое Галилеем свойство материальных тел без действия сил сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения (инерция движения) на первый взгляд как будто бы про тиворечит повседневному опыту. И движущиеся тела обычно нужда ются в постоянном действии силы для поддержания движения: чтобы передвигать телегу, нужна конская тяга, парусное судно без ветра не движется и т. д. Однако это противоречие закона инерции движе ния нашим повседневным наблюдениям только кажущееся. В обыден ной жизни мы не встречаем тел, на которые не действовали бы никакие силы, на всяком движущемся теле всегда сказываются дей ствия других тел. Катящаяся телега испытывает сопротивление до роги, трение в осях, сопротивление воздуха; плывущее судно пре терпевает сопротивление воды и воздуха. Эти силы (их называют диссипативными) и замедляют движение тел. Диссипативные силы невозможно уничтожить, но их иногда возможно значительно умень шить.
Например, в машине можно смазать трущиеся части, заме нить подшипники скольжения шариковыми подшипниками и т. п.
Чем меньше диссипативные силы, |
тем дольше |
тело сохраняет |
свое |
|
движение. Велосипед, находящийся в хорошем |
|
состоянии, на |
сво |
|
бодном ходу катится дольше, чем старый |
и |
запущенный |
вело |
|
сипед. |
|
|
|
|
Отсюда можно заключить, что |
если бы нам |
удалось совершенно |
||
устранить сопротивление движению тела, то движение было бы рав номерным. Вместе с тем, очевидно, движение было бы и прямоли нейным, если, конечно, никакие силы не заставили бы это тело
свернуть |
со своего |
прямолинейного пути. |
Практически |
невозможно |
||
никакой |
смазкой полностью уничтожить силы сопротивления. |
Поэ |
||||
тому |
для |
поддержания движения к телу необходимо приложить |
силу. |
|||
Эта |
сила |
нужна |
не для осуществления |
движения, |
а лишь |
для |
преодоления сопротивлений. Для равномерного и прямолинейного
движения нужна в точности такая движущая сила, какая |
необходи |
ма для преодоления сил сопротивления. Действительно, |
если дви |
жущая сила меньше сил сопротивления, то движение тела |
постепенно |
замедляется и тело останавливается. Если она больше |
сил сопро |
тивления, то тело движется ускоренно. Если же движущая сила равна силе сопротивления, то не происходит ни замедления, ни ускорения—тело движется равномерно и, разумеется, прямо линейно.
Две силы, действующие на |
Аксиома об абсолютно |
твердом теле. При |
|||||||||
твердое тело, взаимно урав- |
равномерном |
движении |
или при покое те- |
||||||||
новешиваются тогда и толь- |
r |
|
r |
|
|
|
г |
|
|||
ко |
тогда, когда |
они равны |
л а |
Движущая |
сила и сила |
сопротивления |
|||||
по |
величине |
и |
действуют |
как |
бы уничтожают, |
или, |
как |
говорят, |
|||
по одной прямой |
в противо- |
уравновешивают друг друга. |
Очевидно, что |
||||||||
|
положные |
стороны |
д л |
я |
равновесия |
двух |
сил, |
действующих |
|||
на какое-либо твердое тело, точнее говоря, |
для |
того, чтобы твер |
|||||||||
дое тело находилось в равновесии под действием |
только |
двух сил, |
|||||||||
необходимо, |
чтобы они были |
равны по величине, противоположны |
|||||||||
по направлению и действовали |
по одной |
и той же прямой. Если они |
|||||||||
направлены в противоположные стороны по одной и той же прямой, но не равны по величине, то тело приобретает ускоренное движение в сторону большей силы. Если же две силы, хотя бы и равные между собой, действуют по пересекающимся или скрещивающимся прямым, то они тоже не могут уравновесить друг друга. Случай двух сил, направленных по разным прямым и приложенных к одной точке, рассмотрен в аксиоме параллелограмма. Такие две силы не находят ся в равновесии. Две силы не уравновешивают друг друга и в том случае, если они действуют на одно и то же тело в противополож ные стороны, но не по одной, а по параллельным прямым, что под робно рассмотрено в гл. IV .
Сформулируем условия равновесия двух сил: две силы, дейст
вующие на |
твердое тело, взаимно уравновешивают друг |
друга в том |
|||
и |
только в |
том случае, если |
они равны |
по величине |
и действуют |
в |
противоположные стороны |
по одной |
и той же прямой. Это не |
||
только необходимые, но и достаточные условия равновесия двух сил. Напомним, что здесь, как и всюду в теоретической механике, под твердым телом мы понимаем абсолютно твердое тело. Совершенно ясно, что две такие силы, приложенные к какому-либо реальному физическому телу, могут вызвать деформацию и даже разрушение тела. Лишь на абсолютно твердое тело такие взаимно уравновешенные силы
никакого действия оказать не могут. Поэтому рассмотренную |
аксиому |
|||||
следует называть аксиомой об абсолютно |
твердом |
теле. |
|
|||
|
Аксиома о присоединении уравновешенной |
|||||
От присоединения к телу или |
системы |
сил. |
Взаимно |
уравновешенная |
||
отбрасывания от него уравно- |
с и с т е м а |
сил —это такая |
система, |
наличие |
||
вешенной системы сил равно- |
„ |
|
|
|
' |
„ |
весие тела не нарушается |
которой эквивалентно |
ее отсутствию. В са |
||||
|
мом деле, поскольку |
согласно аксиоме об |
||||
абсолютно твердом теле две взаимно уравновешенные силы не могут изменить движение или нарушить покой тела, мы вправе сделать заключение, что такая взаимно уравновешенная система сил никак не влияет на твердое тело. Как мы скоро убедимся, взаимно уравно весить друг друга могут не толко две силы, но и любое большее количество сил. Вообще под уравновешенной системой сил понимают совокупность сил, которая, будучи приложена к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.
В статике принимают как аксиому, что равновесие твердого тела не нарушится, если к телу приложить или от него отбросить взаимно уравновешенную систему сил. Если же твердое тело находилось не
в покое, а в движении перед тем, как мы приложили к нему или отбросили от него взаимно уравновешенную систему сил, то движение тела от этого не изменится.
Всякая данная система сил, действующих на твердое тело, и дру гая система, полученная из данной путем присоединения или от брасывания уравновешенной системы сил, оказывает на твердое тело совершенно одинаковое действие. Обе эти системы эквивалентны.
Сила как скользящий вектор. Докажем теорему, согласно которой всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести по прямой, по которой эта сила направлена, в какую-либо другую
точку тела, отчего действие силы не изменится г .
Пусть на тело действует сила F, приложенная к телу в точке А (рис. \,а). Прямую линию, вдоль которой направлен вектор силы, называют линией действия силы, или прямой действия силы. Возьмем
|
нанейпроизвольнуюточ- |
|||
7 |
ку В и приложим к телу |
|||
|
в этой точке две силы Fx |
|||
|
и F2, |
численно |
равные |
|
|
силе |
F и направленные |
||
|
по той же линии дейст |
|||
|
вия, причем пусть/7 ! на |
|||
|
правлена в ту же сторо |
|||
|
ну, что и F, aF2—в |
про- |
||
|
тивоположную(рис. 1, б). |
|||
|
Действие силы F на тело |
|||
не изменилось от приложения к нему взаимно уравновешенных |
сил |
|||
Fj и F2. Но силы F и F2 также являются |
двумя |
равными |
и проти |
|
воположно направленными силами, действующими на то же абсолютно твердое тело по одной и той же прямой. Можно отбрасывать такие
уравновешенные системы сил. Отбросив F и F2 |
(рис. 1, в), убедимся, |
|
что на тело действует только одна сила Flt |
которая |
представляет |
собой силу F, перенесенную вдоль линии действия в |
другую точку, |
|
что и требовалось доказать. Это свойство силы выражают словами:
сила есть |
вектор скользящий. |
Выражение |
образное |
и очень |
распро |
|||||||||
страненное, |
но |
не вполне правильное, так как оно |
характеризует |
|||||||||||
свойство не вектора, а абсолютно твердого тела. |
|
|
|
|||||||||||
Наши |
рассуждения |
символически можно |
записать |
так: |
|
|||||||||
|
F = F + [(F, + |
F2) = 0] = [(F + F2) |
= 0] + F1 |
= |
F1. |
|
||||||||
Каждая |
из |
сил |
F |
и |
Fx |
может |
быть уравновешена одной и той |
|||||||
же силой |
F2. |
Силу |
Fit |
|
которая, |
будучи |
приложенной к твердому |
|||||||
телу, уравновешивает данную силу |
F, |
называют |
уравновешивающей |
|||||||||||
данную силу. |
Две |
силы |
F |
и Fx |
называют |
эквивалентными, |
т. е. |
|||||||
равноценными |
по своему |
действию |
на |
тело, |
если они |
имеют |
одну и |
|||||||
ту же уравновешивающую силу.
1 Это свойство силы, приложенной к твердому телу, открыто Вариньоном.
22
Это понятие распространяется и на систему сил: системы сил, имеющие одну и ту же уравновешивающую систему сил, называют
эквивалентными системами сил.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон параллелограмма сил. Две силы, |
||||||||||||
Равнодействующая двух сил, |
|
приложенные |
к |
одной материальной |
час- |
|||||||||||||||||
приложенных |
к одной |
точке |
ґ |
|
|
|
направленные |
под |
г |
|
друг |
|||||||||||
и |
направленных |
под |
углом |
™ Ч е |
и |
|
углом |
|||||||||||||||
друг |
к |
другу, |
изображается |
|
к другу, |
эквивалентны одной силе, назы- |
||||||||||||||||
по |
величине |
и направлению |
ваемой равнодействующей |
силой; эта равно- |
||||||||||||||||||
диагональю |
|
параллелограм- |
|
действующая может быть |
представлена |
как |
||||||||||||||||
ма, |
|
построенного |
на |
этих |
|
|
J |
|
|
|
|
|
ґ |
м |
|
|
|
|||||
|
силах как |
на сторонах |
|
диагональ параллелограмма, |
построенного |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на данных силах как на сторонах. |
|
|
||||||||||
|
Пусть к какой-либо частице |
|
О твердого тела приложены две |
|||||||||||||||||||
силы: |
1) |
по величине |
равная |
Р |
и направленная |
по |
прямой |
OA и |
||||||||||||||
2) по величине равная Q и направленная |
по |
прямой |
ОВ |
(рис. |
2). |
|||||||||||||||||
Мы |
представим |
эти силы |
в |
виде |
векторов, т. е. изобразим силу Р |
|||||||||||||||||
вектором |
Р = О Л 1 1 |
и силу |
|
Q—вектором |
|
Q =0Вг. |
На этих |
отрезках |
||||||||||||||
как на сторонах построим параллелограмм ОА1С1В1. |
Согласно аксиоме |
|||||||||||||||||||||
параллелограмма |
две силы |
Р |
и |
Q |
по своему действию на данную |
|||||||||||||||||
материальную частицу О эквивалентны одной силе R, |
т. |
е. |
сила, |
|||||||||||||||||||
изображаемая вектором |
R, |
|
является равнодействующей системы |
сил |
||||||||||||||||||
Р |
и |
|
Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это правило называют правилом параллелограмма, а самый про |
|||||||||||||||||||||
цесс— сложением |
|
сил |
по |
способу |
параллело |
|
|
|
|
|
||||||||||||
грамма2 . Название это нельзя признать удачным, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
так как физического сложения сил не происхо |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
дит, равнодействующая не есть сумма слагаемых |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
сил, а лишь |
равноценна |
им |
обеим, |
вместе взя |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
тым. Пусть, например, два трактора тянут какой- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
либо груз О: один с силой Р=ОА1 |
|
по направле |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
нию |
OA, |
второй |
с |
силой |
Q=OB1 |
|
по |
направ |
|
|
|
|
|
|||||||||
лению |
ОВ. |
Правило |
параллелограмма |
лишь |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
Над буквами, |
обозначающими |
векторы, ставят стрелки |
или |
черточки. |
Такое |
|||||||||||||||
обозначение |
вектора |
(черточка |
над буквой) введено в механику Резалем в |
1862 г. |
||||||||||||||||||
|
2 Сложение сил по способу параллелограмма |
было |
известно |
еще |
Герону, |
им |
||||||||||||||||
пользовался |
Стевин. |
|
Галилей |
применял |
этот |
способ |
и считал |
его |
общеизвест |
|||||||||||||
ным. Ньютон совершенно определенно приписывал закон параллелограмма Галилею
и |
называл основным положением |
механики, нуждающимся лишь |
в разъяснении |
на |
примерах. Однако Ньютон |
все же приводит доказательство |
этого закона, |
очень похожее на доказательство, данное несколько лет спустя независимо от
Ньютона Вариньоном. |
У Вариньона точка под действием |
одной силы движется |
по прямой линии, Эта |
прямая под действием второй силы |
перемещается парал |
лельно своему первоначальному положению. Под действием обеих сил точка
движется по диагонали параллелограмма, построенного на |
этих |
силах. |
По |
сути' |
||||||||
дела, |
это не |
доказательство |
правила |
параллелограмма сил, |
а |
лишь пример на |
||||||
сложение перемещений. Одновременно с Ньютоном и Вариньоном |
опубликовал |
|||||||||||
свое |
доказательство Лами. |
С тех |
пор |
было сделано очень |
много попыток |
дока |
||||||
зать |
правило |
параллелограмма, |
но |
в |
настоящее время |
считают, |
что |
правило |
||||
параллелограмма не имеет математического доказательства |
и |
пользуются |
им |
как |
||||||||
аксиомой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждает, что эти два трактора оказывают на груз О такое же действие, какое оказывал бы один трактор, который тянул бы
груз О с силой R по направлению ОС. |
|
|
|
|
|||
Сложение сил, направленных под углом друг |
к другу, |
называе |
|||||
мое геометрическим |
сложением, сильно отличается |
от сложение |
вели |
||||
чин, к которому мы привыкли, в арифметике и в алгебре. |
|
|
|||||
Геометрическое сложение обозначается обычным знаком |
« + », но |
||||||
над слагаемыми и над суммой ставят стрелки, означающие, |
что это |
||||||
векторные величины. |
|
|
|
|
|
||
Геометрические равенства выглядят иногда необычно с точки |
|||||||
зрения |
арифметики. |
|
|
|
|
|
|
Так, |
например, на |
рис. 3, а сила Р = |
3 я и сила |
Q = 4 н перпендикулярны |
|||
друг другу; по теореме |
Пифагора находим !? = 5 к; |
на |
рис. З, б сила |
Р = 3 н |
|||
и сила Q = 3 н по той же теореме R = 3 У2 |
н; на рис. З, в величины сил |
Р и О |
|||||
|
Q=4n |
Q=3H |
Ч'ЗН |
|
|
|
8'4н |
|
|||
|
|
а) |
6) |
|
6) |
|
г) |
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
те |
же, |
но направлены |
они |
под углом |
120° друг к другу, |
а потому |
R — Ъ к; на |
||||
рис. 3, |
г сила |
Р — 3 н, |
сила Q — 4 н |
и |
направлены |
они |
под углом 60" |
друг |
|||
к другу. Применяя теорему косинусов, находим І?2 = 9 + 1 6 — 2-3-4-cos |
120° = 37 н; |
||||||||||
на |
рис. З, д те |
же силы |
составляют |
угол |
120° и по |
той |
же теореме # 2 = |
9-|- |
|||
+ |
16 —2-3-4-cos 6 0 ° = 13 к. |
|
|
|
|
|
|
||||
Из геометрии известно, что диагональ параллелограмма всегда меньше арифметической суммы его непараллельных сторон и больше их разности. Поэтому, если в геометрической сумме
P+Q = Я
Р больше Q, то всегда имеет место алгебраическое неравенство
|
|
P — Q < R < |
P + Q. |
|
||
Равенство P-{-Q — R имеет |
место, |
если |
силы Р и |
Q направлены |
||
по одной прямой |
и |
в одну |
сторону, а |
равенство Р—Q = R, если |
||
Р и Q направлены в противоположные стороны. В этом случае |
||||||
равнодействующая |
R |
направлена в сторону большей |
силы Р. |
|||
Аксиома говорит о сложении сил, приложенных к одной мате риальной частице, к одной точке. Но складывать силы по правилу параллелограмма можно и в том случае, если они приложены к одному твердому телу и линии их действия пересекаются. В таком случае нужно перенести обе силы в точку пересечения их линий действия и там сложить по правилу параллелограмма, причем если эта точка находится за пределами того тела, на которое действуют обе сла гаемые силы, то равнодействующую силу нужно перенести вдоль ее линии действия в какой-либо из точек тела.
Для равновесия трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, необхо-
димо, чтобы их линии действия пересекались в одной точке
Аксиомы, с которыми мы только что озна- К О мились, позволяют вывести необходимое
условие равновесия трех непараллельных сил: если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, взаимно уравно вешены, то их линии действия пересека
ются в одной точке.
Пусть в каких-либо точках А, В я С (рис. 4) к твердому телу, не показанному на чертеже, приложены три силы Р, Q и F, линии действия которых непараллельны между собой, но лежат в одной плоскости. Покажем, что если система этих трех сил уравновешена, то линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке. Вся кие две непараллельные прямые на плоскости пересекаются. Следо вательно, линии действия двух сил Р и Q пересекаются где-либо в точке О. Перенесем силы Р и Q в точку пересечения их линий действия и сложим их, т. е. заменим одной равнодействующей R.
Данная уравновешенная система трех сил Р, Q и F заменена нами эквивалентной ей (а следовательно, также уравновешенной) систе-
мой двух сил R и F. Но всякие две силы, находящиеся в равнове сии, действуют по одной прямой, а
потому линия действия силы F про- |
|
|
|
|
|
|||||||||
ходит через точку О. Предположе- |
S 4 N |
|
|
|
|
|||||||||
ниє, |
что |
все |
три |
уравновешенные |
|
|
|
|
|
|||||
силы лежат в одной плоскости, сде |
|
|
|
|
|
|||||||||
лано |
для |
упрощения |
доказатель |
|
|
|
|
|
||||||
ства, |
и |
|
оно |
излишне, |
поскольку |
|
|
|
|
|
||||
три уравновешенные силы не могут |
|
|
|
|
|
|||||||||
не лежать в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Это |
условие |
равновесия трех |
Рис. 4 |
|
|
|
|||||||
сил является необходимым, но не |
|
|
|
|
|
|||||||||
достаточным |
условием, |
т. е. если |
три непараллельные |
силы |
нахо |
|||||||||
дятся |
в |
|
равновесии, то их линии действия обязательно |
пересекаются |
||||||||||
в |
одной |
точке. |
Но |
если |
линии |
действия трех |
сил |
пересекаются |
||||||
в |
одной |
|
точке, то отсюда вовсе не |
следует, что эти три силы |
пред |
|||||||||
ставляют |
собой уравновешенную систему сил. |
|
|
|
|
|||||||||
|
В качестве иллюстрации необходимого условия равновесия трех непарал |
|||||||||||||
лельных |
сил приведем |
такой |
пример. Для установившегося |
движения |
самолета, |
|||||||||
т. е. чтобы он |
мог, |
не |
теряя |
набранной |
высоты, лететь равномерно и |
прямоли |
||||||||
нейно, необходимо, чтобы система действующих сил была уравновешенной. Можно считать, что на самолет действуют три силы: его вес, сила тяги и сила сопро тивления воздуха (точнее, равнодействующая всех сил сопротивления воздуха, действующих на различные части самолета). Для равновесия этих трех сил необ ходимо, чтобы их линии действия пересекались в одной точке. Линией действия веса самолета является вертикаль, проходящая через центр тяжести, а сила тяги
действует |
вдоль оси пропеллера. Отсюда вытекает правило, |
называемое |
основным |
|
правилом |
самолетостроения: равнодействующая сил сопротивления воздуха должна |
|||
пересекать |
ось пропеллера |
в той же точке, где ее пересекает |
вертикаль, |
проходя |
щая через |
центр тяжести |
самолета. |
|
|
«Действию всегда есть равное и противоположное противо действие, иначе — взаимо действия двух тел друг на друга всегда между собой равны и направлены в про тивоположные стороны»
(Ньютон)
Принцип равенства действия и противо действия. Силы, приложенные к данному телу, вызываются другими материальными телами. Отдельно от материальных тел, независимо от них, сил в природе не су ществует. Поясним это следующим при мером.
Представим себе, что санки С скользят по ледяной горе А В (рис. 5). На санки
действуют следующие силы: сила тяжести G (вес санок), |
сила |
RN |
||||||||
давления |
со |
стороны |
наклонной |
плоскости |
АВ, сила трения |
FTp |
||||
о лед |
и сила |
F c o n p сопротивления |
воздуха. |
Все эти силы |
действуют |
|||||
на данное тело вследствие наличия других материальных |
тел и |
не |
||||||||
существовали бы, если бы этих тел не было. Так, сила тяжести |
G |
|||||||||
является силой притяжения санок Землей. Давление RN |
горы |
на |
||||||||
санки |
и сила |
трения |
^ т р |
санок о гору |
вызваны наличием |
горы |
АВ. |
|||
Сила |
F c o n p |
сопротивления |
воздуха |
не |
существовала бы, |
если |
бы |
|||
санки двигались в безвоздушном пространстве. Все силы, действую щие на санки, вызваны другими материальными телами.
Но |
действия |
материальных |
тел не |
бывают |
односторонними, |
они |
|||||
всегда |
взаимны, |
тела |
взаимодействуют |
между |
собой. |
|
|
|
|
||
В |
рассмотренном |
примере на санки действует сила |
G, |
с |
которой |
||||||
санки |
притягиваются |
к Земле, точнее, к ее центру. Однако санки |
|||||||||
|
|
|
тоже притягивают к себе Землю, и сила |
||||||||
|
|
|
притяжения Земли санками |
приложена |
|||||||
|
|
|
к |
центру |
Земли. Санки испытывают со |
||||||
|
|
|
противление |
воздушной среды, |
но |
они |
|||||
|
|
|
и сами действуют на эту среду, вызы |
||||||||
|
|
|
вая в ней перемещения ее частиц. По |
||||||||
|
|
|
крытые льдом доски горы не допускают |
||||||||
ШШШШШШШШ///. |
перемещения |
санок в сторону |
дощатого |
||||||||
|
Рис. |
5 |
настила. Но |
и сани давят |
на |
ледяную |
|||||
|
гору. Мы видим, что и здесь действия двух |
||||||||||
|
|
|
тел взаимны. |
При движении |
санок |
по |
|||||
льду трутся обе соприкасающиеся поверхности (полозья саней и ледя
ная |
поверхность |
горы) |
и возникают две силы трения. Одна |
прило |
||||
жена |
к саням и замедляет скольжение; |
другая — к |
ледяному |
покры |
||||
тию |
горы, отрывает и увлекает |
за санями частицы |
льда. Лед и сани |
|||||
взаимодействуют |
между |
собой, |
и для |
трения |
необходимо наличие |
|||
обоих тел—санок и льда. |
|
|
|
|
|
|||
Аксиома утверждает, |
что действия двух тел |
друг на друга |
равны |
|||||
и противоположны. В нашем примере согласно этой аксиоме Земля
притягивает к себе санки с такой же, но обратно |
направленной |
силой, с какой санки притягивают Землю; давление |
санок, на гору |
равно и противоположно давлению горы на санки, |
силы трения |
санок о |
гору |
и |
горы |
о |
санки равны |
и противоположны, а |
воздух |
|||||||||||
сопротивляется |
движению |
санок |
с |
силой, равной |
и |
противополож |
||||||||||||
ной той, с которой санки действуют на воздух. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Таких примеров можно привести сколь угодно |
много |
и на |
каж |
||||||||||||||
дом из, них убедиться, что силы, |
с |
которыми |
два |
тела |
действуют |
|||||||||||||
друг на друга, равны и противоположны. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Нужно твердо усвоить, что механические |
взаимодействия |
двух |
|||||||||||||||
тел |
хотя |
и равны по |
величине |
и противоположны |
по |
направлению |
||||||||||||
и действуют по одной прямой, |
но |
не |
уравновешивают |
друг |
друга, |
|||||||||||||
так |
как* они |
приложены |
не к одному, |
а к разным |
телам. Давление |
|||||||||||||
или притяжение одного тела может |
привести |
в |
движение |
другое |
||||||||||||||
тело |
именно |
потому, |
что |
действие |
и |
противодействие |
|
приложены |
||||||||||
к |
двум различным телам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если, |
например, буксирный |
теплоход тянет на канате |
баржу, то |
||||||||||||||
и |
баржа |
тянет |
буксир |
в |
обратном |
направлении |
с |
равной |
силой. |
|||||||||
В этом можно убедиться, прикрепив на обоих концах каната по динамометру, чтобы один из них измерял силу, с которой буксир тянет баржу, а другой — силу, с которой баржа противодействует буксиру. Показания обоих динамометров будут одинаковы. Следова
тельно, |
действие |
буксира на |
баржу |
равно и противоположно |
дей |
||
ствию |
баржи на |
буксир. Почему же в таком случае |
вся |
система |
|||
перемещается в сторону буксира, а |
не в обратном |
направлении? |
|||||
Ответ на этот вопрос очевиден: буксир отталкивается от воды |
вин |
||||||
том или гребными |
колесами. По той |
же аксиоме этой |
силе, |
прило |
|||
женной |
к шлицам |
гребного |
колеса, |
соответствует другая, |
равная |
||
и противоположная сила, приложенная к воде. Обе эти силы не уравно вешивают друг друга, поскольку они не приложены к одному телу.
Приложенная к буксиру сила, с которой он отталкивается от воды, при ускоренном движении больше той силы, также прило
женной к буксиру, с которой тянет его назад баржа, при |
замед |
|
ленном—меньше, при равномерном |
движении и при покое —равна. |
|
Но всегда — и в покое, и во всяком |
движении — взаимодействия |
греб |
ных колес и воды равны и противоположны между собой, и всегда действие буксира на баржу равно и противоположно действию баржи на буксир. Действию всегда есть равное и противоположное про тиводействие.
Эту аксиому называют принципом равенства действия и противо действия. Она сформулирована Ньютоном, принята им в качестве третьего основного закона механики и опубликована в книге «Мате матические начала натуральной философии».
Равновесие нетвердого тела не нарушится, если это тело затвердеет
^Аксиома затвердения. Если какое-либо нетвердое тело находится в равновесии под действием некоторой системы сил, то можно
г
|
к |
предположить, что |
другое, тождественное |
||
по форме, |
но абсолютно |
твердое |
тело под действием |
такой же си |
|
стемы сил |
тоже должно |
быть в |
равновесии. |
Аксиома |
утверждает, |
что от затвердения равновесие нетвердого тела не нарушится. В ста тике встречаются задачи о равновесии тела, состоящего из несколь ких твердых тел, так или иначе связанных («сочлененных») между
собой. Такое тело находится в равновесии, если в равновесии нахо дятся все составляющие его тела. В некоторых случаях такое тело рассматривают как затвердевшее, т. е. как одно абсолютно твердое тело.
Обратим внимание на то, что обратное утверждение является неправильным, т. е. нельзя утверждать, что равновесие твердого тела обязательно сохранится, если это тело перестанет быть твердым.
§ 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ
Связь. Всякую точку М (х, у, г) называют свободной точкой, если ее возможно пере местить, дав ее координатам х, у и z ма лые приращения бх, 8у, 6г произвольного знака и величины, и никакие другие тела не препятствуют этому перемещению
точки М. Свободная точка обладает тремя степенями свободы. Точку называют несвободной, если ее перемещение ограничено какими-либо
= 3 ^
Рис. 6
условиями и ей нельзя сообщить любое движение. Ограничения, стесняющие движение точки, называют связями. Связи всегда осу ществляются посредством других материальных тел и могут ограни чивать не только перемещения, но и вообще движение (например, могут ограничивать скорости) точек. Со связями, наложенными на скорости, мы познакомимся в динамике (см. № 52).
Связи могут быть |
наложены не только на отдельные точки, но |
и на системы точек, и |
на твердые іела. Итак связью называют огра |
ничение, стесняющее движение материальной точки или механиче
ской системы и осуществляемое другими материальными |
объектами. |
|||||||||||||
Твердое тело, движение которого не ограничено |
связями, |
называют |
||||||||||||
свободным |
твердым |
телом, |
а |
твердое тело, движение которого огра |
||||||||||
ничено |
связями,— несвободным |
твердым |
телом. |
Свободное |
твердое |
|||||||||
тело имеет |
шесть |
степеней |
|
свободы. Чтобы получить |
произвольное |
|||||||||
малое |
перемещение |
твердого |
тела, |
достаточно сообщить три |
малых |
|||||||||
перемещения, |
параллельных |
трем |
осям |
координат, и |
повернуть его |
|||||||||
на |
три |
малых |
угла вокруг |
этих |
трех осей. Так, |
например, летящий |
||||||||
в |
воздухе |
самолет |
является |
свободным |
телом, |
а самолет, |
стоящий |
|||||||
на'аэродроме,— несвободным, так как на него наложена связь (ус ловие: 2 = const). Он не может опуститься ниже площадки аэро дрома и даже подняться, не нарушив при этом своей связи с аэро дромом, и повернуть самолет на аэродром можно только вокруг вертикальной оси Oz. Эта связь, действующая (или, как говорят, наложенная) на самолет, осуществляется при помощи другого мате риального объекта (площадки аэродрома).
|
|
|
|
|
|
|
Реакция связи. Если тело стремится пере- |
|||||||
Реакцией |
связи |
|
называют |
меститься в направлении связи и тем самым |
||||||||||
силу, с которой действует на |
действует |
на |
связь, |
то со стороны |
связи |
|||||||||
данную |
материальную |
точку |
возникает |
противодействие. Силу, с кото- |
||||||||||
или |
механическую |
систему |
|
„ |
т е л ° . |
ґ |
|
|
J ' |
„ |
||||
тело, |
осуществляющее связь |
Р ° и |
осуществляющее |
связь, |
дейст |
|||||||||
на, |
называют |
реакцией |
вует на тело, на которое связь наложе |
|||||||||||
связи.1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Изучая движение или покой тела, надо учитывать |
все силы, дей |
|||||||||||||
ствующие |
на это тело, не исключая |
и реакций |
связей. |
|
||||||||||
По |
закону |
равенства |
действия и противодействия |
реакция |
связи |
|||||||||
равна |
той силе, |
с которой |
данное |
тело |
действует на связь, |
но на |
||||||||
правлена |
в противоположную |
сторону. Так, например, на самолет, |
||||||||||||
стоящий |
на аэродроме (рис. 6), действует его вес (активная сила) и, |
|||||||||||||
кроме того, в местах соприкосновения колес с |
Землей на него дей |
|||||||||||||
ствуют |
реакции |
связей, |
равные и противоположные давлениям в этих |
|||||||||||
местах |
со стороны |
самолета |
на Землю. На рисунке показаны |
только |
||||||||||
силы, |
действующие |
на самолет. Силы давления |
самолета на |
Землю |
||||||||||
не изображены. Изучая в статике систему сил, действующих на какоелибо тело, ни в коем случае не следует вносить в эту систему и те силы, с которыми данное тело действует на окружающие тела и, в частности, на связи, потому что эти силы действуют не на данное тело, а на дру
гие тела. В этом примере |
(см. рис. 6) мы изучаем равновесие системы |
|||||||||||
сил, действующих на самолет, и учитываем |
вес G самолета, т. е. |
|||||||||||
силу, с которой он притягивается к центру Земли, |
но, |
разумеется, |
||||||||||
не учитываем противодействия этой силе, |
т. е. силу, с которой само |
|||||||||||
лет притягивает к себе Землю. Точно |
так же мы не учитываем здесь |
|||||||||||
давлений самолета |
на аэродром, потому |
что эти силы приложены не |
||||||||||
к самолету, а к аэродрому, но учитываем |
приложенные |
к самолету |
||||||||||
реакции аэродрома |
Rlt |
R2 |
и R3. Не всегда |
бывает |
престо |
определить |
||||||
направления |
реакций |
связи и для их |
определения |
полезно пользо |
||||||||
ваться понятием «виртуальные |
перемещения». |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Виртуальные |
перемещения. |
Представим |
||||||
Виртуальными |
перемеще- |
себе |
какое-либо |
несвободное тело, напри- |
||||||||
ниями называют воображав- |
мер |
тот же |
самолет |
(см. рис. 6), стоящий |
||||||||
мые бесконечно малые пере- |
н а а Э |
р 0 д р 0 м е |
. Дадим |
мысленно этому телу |
||||||||
мещения, допускаемые в дан- |
|
£ * |
|
|
|
|
|
J |
||||
ное мгновение |
наложенными |
какое-либо бесконечно малое перемещение.' |
||||||||||
связями без нарушения |
их |
Вообразим, |
например, что мы немного при |
|||||||||
перемещении |
связь |
|
|
подняли самолет над аэродромом; при таком |
||||||||
самолета с аэродромом |
будет |
нарушена. Но мы |
||||||||||
1 Понятие |
реакции |
связи |
в этом смысле |
ввел |
Пуансо |
(1803). |
|
|||||
29