книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов
.pdfкартина распределения скоростей в теле с одной неподвижной точ кой оказалась на данное мгновение такой же, как и в теле, вра щающемся вокруг неподвижной оси.
При изучении вращения тела вокруг неподвижной оси мы усло вились о направлении вектора угловой скорости. То же условие сохраняется на сферическое движение, где вектор угловой скоро-
—>- |
|
|
|
|
точки О по мгновенной оси |
|
||||||
сти со направлен от неподвижной |
враще |
|||||||||||
ния в такую сторону, |
чтобы |
вращение |
тела |
представлялось |
проис |
|||||||
ходящим против хода |
часов, если смотреть с конца вектора со, к точ |
|||||||||||
|
|
ке |
О. Этот вектор можно переносить |
вдоль |
||||||||
|
|
оси вращения, но нельзя перемещать парал |
||||||||||
|
|
лельно оси. Глубокое отличие вектора угло |
||||||||||
|
|
вой |
скорости |
при |
сферическом |
движении |
||||||
|
|
заключается в том, что он постоянно ме |
||||||||||
|
|
няет |
свое |
направление. |
|
|
|
|||||
|
|
|
В |
связи с этим |
другое |
толкование при |
||||||
|
|
нимает |
и |
угловое |
ускорение. |
Изображая |
||||||
|
|
угловое ускорение тела при вращении во |
||||||||||
|
|
круг оси вектором, мы направляли |
его в |
|||||||||
|
|
ту или иную сторону по вектору угловой |
||||||||||
|
|
скорости. При вращении тела относительно |
||||||||||
|
|
неподвижной |
точки |
дело |
обстоит |
иначе: |
||||||
Рис. 10Э |
направление |
угловой |
скорости |
меняется. |
||||||||
|
|
Мы будем называть вектором углового уско |
||||||||||
рения тела |
вектор, характеризующий изменение в данное |
мгновение |
||||||||||
величины и |
направления угловой |
скорости тела- |
|
|
|
|||||||
|
|
|
, . |
|
Д с о |
|
d(o |
|
|
|
|
(97) |
|
|
" • Д / - 0 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
A t |
d t |
|
|
|
|
|
||||
Направление этого вектора, вообще говоря, не совпадает с мгно венной осью вращения. Пусть, например, угловая скорость тела, имеющего неподвижную точку О (рис. 109) и не показанного на
чертеже, |
в данное |
мгновение |
равна со, а |
через малый |
промежуток |
|||||
времени |
станет co1 =co-f |
Асо. |
Разделив Асо на |
At, |
мы |
получим |
||||
вектор среднего углового |
ускорения тела. Если мы будем уменьшать |
|||||||||
промежуток времени At, |
оставляя |
неизменным его начало, то вектор |
||||||||
среднего |
углового |
ускорения |
тела |
будет |
стремиться к |
своему |
пре |
|||
дельному |
значению — вектору |
углового |
ускорения |
тела. |
Этот |
век |
||||
тор е проходит через неподвижную точку О и параллелен касатель-
ной к годографу вектора со.
Аксоиды при сферическом движении. По ложение мгновенной оси в теле, имеющем одну неподвижную точку, непрерывно ме няется. Но в каждое мгновение ось имеет вполне определенное положение и всегда
проходит через неподвижную точку О. Геометрическое место мгно-
венных осей вращения, проведенных в теле, представляет собой некоторую коническую поверхность и называется подвижным аксоидом. Положение мгновенной оси вращения можно отметить и отно сительно неподвижных координат. Их геометрическое место отно сительно неподвижных координат, называемое неподвижным аксоидом, также является конической поверхностью с вершиной в той же неподвижной точке О. Оба конуса соприкасаются по мгновенной оси вращения. Сферическое движение тела можно представить как каче ние без скольжения подвижного аксоида по неподвижному1 .
Зависимость между проекци ями скоростей точек тела, их координатами и проекция ми угловой скорости выра жается формулами Эйлера
Формулы Эйлера. Как было только что показано, скорость каждой точки К тела, имеющего неподвижную точку О, перпен дикулярна к прямой КО и пропорциональ на расстоянию КО sin а точки К от мгно венной оси вращения (рис. ПО), т . е .
vk = <£>К0 sin а.
Таким образом, при сферическом движении, как и при враща тельном, скорость всякой точки тела можно рассматривать как мо мент вектора угловой скорости тела отно
сительно этой точки. Проведем из какой- |
|
^ |
h |
4 и |
|||||||||||
либо точки К тела вектор КО в |
неподвиж |
|
|
|
|
||||||||||
ную |
точку О, |
принятую |
нами |
|
за |
начало |
|
|
|
|
|||||
отсчета. Этот |
вектор |
равен |
по |
модулю, |
|
|
|
|
|||||||
но направлен противоположно |
радиусу-век |
|
|
|
|
||||||||||
тору |
г—О К точки К относительно |
начала |
|
|
|
|
|||||||||
отсчета О. Момент вектора угловой скорости |
|
|
|
|
|||||||||||
относительно точки К представим вектор |
|
Р и с по |
|
||||||||||||
ным произведением и запишем в виде |
|
|
|||||||||||||
определителя |
третьего порядка, |
как |
это |
|
|
|
|
||||||||
мы делали (см. |
17 и 17') |
в |
статике |
при определении момента |
силы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
j |
k |
|
|
|
|
|
v = |
КО х |
со = |
со х |
г •• |
со* |
соу |
сог |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
у |
г |
|
|
Раскладывая |
этот |
определитель |
по |
элементам первой |
строки: |
||||||||||
|
v = |
і |
(<oyz — агу) |
+ |
|
/ (ыгх—a>xz) |
+ |
k (аху—(йух); |
• |
|
|||||
раскладывая скорость точки по осям координат:
v = ivx + jvy + kvz
1 Такая геометрическая интерпретация предложена Пуансо (1834 г.).
181
и сравнивая оба равенства, мы можем выразить проекции скорости точки через проекции угловой скорости тела и координаты точки:
• (£>,л |
Х- |
у |
2 |
(98) |
1 |
"у — *»г |
|
|
Эти соотношения, очень напоминающие знакомые нам выражения (23) момента силы относительно оси, отличаются от них не только тем, что вектор силы заменен вектором угловой скорости, но и знаками. Круговой заменой букв в любой из трех формул (98) можно полу чить две остальные. Эти формулы имеют применение при определе нии проекций скоростей точек тела, совершающего сферическое
движение |
|
или |
вращение |
вокруг |
неподвижной оси. В частном |
слу |
|||||||||
чае, |
если |
|
тело |
вращается |
вокруг |
оси Oz, то проекции угловой |
ско |
||||||||
рости wx |
= K>y==0, а |
сог |
= со, |
мы получаем |
формулы (89). |
|
|||||||||
|
Задача |
|
№ 67 (№ |
19.10,603 М). Тело |
движется |
вокруг неподвижной точки — |
|||||||||
начала координат. В |
некоторое мгновение |
|
угловая |
скорость |
его изображается |
||||||||||
вектором, |
проекции |
которого |
на |
координатные |
оси равны |
У З, У 5, |
У 7. |
||||||||
Найти скорость точки |
К |
тела, определяемой координатами У~\2, У20, |
У28. |
||||||||||||
|
Решение. |
Подставляя |
данные в формулы |
Эйлера, |
получим |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
а* = 0. |
vy = 0, |
у г = 0. |
|
|
|
||||
|
О т в е т . |
ii = 0. В |
этот |
момент времени |
мгновенная ось проходит через |
точки |
|||||||||
О и |
К. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
№ 68. |
(№ |
12. О. В. Г о л у б е в а. Теоретическая |
механика. Физмат- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гиз, |
|
1961). Ось OA мельничного |
бегуна |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. |
111) вращается равномерно вокруг вер |
||||||
Рис.
дящей через О, с постоянной
тикальной ОСИ С уГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ COj.
Длина оси ОА=1, радиус бегуна равен г. Пренебрегая скольжением бегуна, определить вектор его угловой скорости.
Решение. Движение бегуна можно рас сматривать как вращение около неподвижной точки О. Бегун катится без скольжения, поэтому скорость точки С соприкосновения его с горизонтальной плоскостью равна нулю,
и, следовательно, |
в каждое мгновение |
ось, |
|
проходящая через точки О и С, есть |
мгно |
||
венная ось вращения. Центр бегуна (точка А) |
|||
движется |
вокруг |
вертикальной оси, прохо |
|
по величине |
скоростью |
|
|
VA =
Но точка А принадлежит бегуну, а потому ее скорость в то же время является вращательной скоростью вокруг мгновенной оси вращения ОС. Опуская из А пер пендикуляр на мгновенную ось, получаем
|
/г |
|
U4 = co/ sin а = со У /* + /•» ' |
где |
со — угловая скорость бегуна, а а —угол АОС. Из двух выражений vA нахо |
дим |
ответ. |
От в е т . СО = К»!
Формулы (98) даны Эйлером.
Ускорение всякой точки тела, совершающего сферическое движение, состоит из вра-
щательного и осестремительного ускорении
Чтобы |
К |
получить ускорение |
какой-либо |
||
Т О чки |
|
тела, |
находящегося в сфериче- |
||
|
|
Движении, |
, , |
т г |
|
с к о м |
|
продифференцируем по |
|||
времени |
вектор |
ЄЄ СКОрОСТИ |
V — СОХ Г. |
||
и ^ м е е |
м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-*• |
dv |
da> |
-*- , |
* |
dr |
|
|
|
|
И ЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а—гхг |
+ |
ыхи. |
|
|
|
(99) |
||
|
Таким образом, ускорение каждой точки К тела, имеющего одну |
||||||||||||||
неподвижную |
точку |
О, состоит из векторной суммы двух |
ускорений: |
||||||||||||
вращательного |
ускорения |
а в р = гхг |
и |
осестремительного |
ускорения |
||||||||||
аос |
= сохо. В общем случае оба эти ускоре |
|
|
|
|
||||||||||
ния не перпендикулярны друг другу, что |
|
|
|
|
|||||||||||
необходимо учесть при их суммировании |
|
|
|
|
|||||||||||
(рис. 112, а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а = а в р |
+ ї с . |
|
|
(99') |
|
|
|
|
|||
|
Эту |
формулу |
называют |
формулой |
|
|
|
|
|||||||
Ривальса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Чтобы |
лучше |
уяснить |
чему |
равны' и |
|
|
|
|
||||||
как |
направлены |
эти ускорения, |
обратимся |
|
|
|
|
||||||||
к |
чертежу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вращательное ускорение (рис. 112, б) |
|
|
|
|
||||||||||
выражается векторным произведением угло- |
|
р и с Ц2 |
|||||||||||||
вого |
ускорения |
є |
и |
радиуса |
вектора |
|
|
|
|
||||||
ОК — г- Следовательно, оно направлено |
перпендикулярно |
плоскости, |
|||||||||||||
образованной |
этими |
векторами, |
и |
по |
модулю |
равно |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aB p ==ersin(er)=eA1 , |
|
|
(100) |
|||||
где ht—длина |
перпендикуляра, опущенного |
из точки |
К на прямую, |
||||||||||||
по |
|
которой |
направлено |
угловое ускорение є. |
Из |
формулы (100) |
|||||||||
в |
частности следует, |
что эта прямая |
обязательно должна |
проходить |
|||||||||||
через неподвижную точку О, потому что в противном случае точка О имела бы неравное нулю вращательное ускорение, т. е. стала бы подвижной.
Осестремительное ускорение по модулю равно
ao c = COD sin (coy),
но этот синус равен единице, так как векторы угловой и враща тельной скорости взаимно перпендикулярны. Модуль же вектора, вращательной скорости v = ah, где h—длина перпендикуляра, опу щенного из точки К на мгновенную ось вращения, а потому
йо с = /гсо2. |
(101) |
Направлено осестремительное ускорение перпендикулярно векторам угловой скорости тела и вращательной скорости точки К, т. е. по прямой h от точки К. к мгновенной оси вращения.
Задача № 69. Найти скорость и ускорение точки |
В конического катка, |
равно |
|
мерно |
катящегося без скольжения по горизонтальной |
конической кольцевой |
опоре |
(рис. |
113). Диаметр катка ВС = 30 см, СМ = 20 |
см, скорость центра |
катка |
і>Л=40 см/сек |
и направлена перпендикулярно |
плоскости |
чертежа на читателя. |
||||||||||||||
Решение. |
Мгновенная |
ось проходит |
через |
неподвижную точку |
О и точку С, |
||||||||||||
скорость которой в данное мгновение равна нулю, потому |
что каток катится |
без |
|||||||||||||||
скольжения. Вектор угловой |
скорости со направлен |
по мгновенной |
оси. Модуль |
||||||||||||||
его определим, разделив скорость точки А на |
расстояние АК от мгновенной оси. |
||||||||||||||||
Из треугольника О АС |
|
находим ОС2 — ОАг-\-АС'г |
= 625. |
Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ОС = |
25 см, |
sina = : 7 = = 0,6, |
c o s a = ^ |
= |
0,8. |
|
|
|
|
||||||
Имея |
эти данные, |
находим |
угловую |
скорость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
40 |
|
сек-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'20-0,6 = |
3,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы |
найти скорость |
точки В, надо |
угловую скорость помножить на расстоя- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ние |
точки В |
|
от мгновенной |
оси |
/г = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= OB sin2a =25-2-0,6-0,8 =2 4 |
см.Ско |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рость точки В перпендикулярна плос |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
кости чертежа, |
направлена на читате |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ля |
и по модулю |
равна 79,2 |
см/сек. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
|
теперь |
вектор |
углового |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ускорения. Каток катится равномерно, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
величина |
угловой |
скорости |
не изме |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
няется, но меняется ее |
направление, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и конец вектора |
угловой |
скорости |
опи |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
сывает годограф — окружность радиуса |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
со sin |
— |
|
. Угловая |
скорость |
щ, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
с которой поворачивается вектор угло |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вой скорости |
|
со, равна угловой |
скоро |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
сти, с которой поворачивается |
ось OA |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
во |
время |
движения |
катка: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш 1 = |
О Л = 2 0 = 2 Ш С |
• |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор углового ускорения ра- |
|||||||||
|
|
Рис. |
|
113 |
|
|
вен скорости |
|
годографа |
вектора угло- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
• вой скорости. Он направлен |
|
перпен |
||||||||
дикулярно |
плоскости |
чертежа на читателя, но приложен |
в неподвижной точке О: |
||||||||||||||
|
|
е = |
со1со sin ( - j — a ) =3,3-2-0,8 = |
5,28 |
|
сек-2. |
|
|
|
|
|
||||||
Чтобы определить вращательное ускорение точки В, надо помножить угловое |
|||||||||||||||||
ускорение |
е на длину |
|
перпендикуляра hx |
= 5 0 = 25 см: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а в р |
= 5,28-25= 132 |
см/сек1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Направлен |
вектор |
вращательного ускорения перпендикулярно вектору |
угло |
||||||||||
вого ускорения и плечу ВО и в |
такую сторону, чтобы вектор в указывал |
против |
||||||||||||
хода |
часовой |
стрелки, |
если |
смотреть с конца |
вектора aBv. |
Следовательно, век |
||||||||
тор |
а в р |
лежит |
в плоскости ДОС |
|
и перпендикулярен |
ВО. |
|
модуля |
||||||
|
Осестремительное ускорение |
по |
модулю равно произведению квадрата |
|||||||||||
угловой |
скорости |
на |
длину перпендикуляра ft, опущенного из точки В на |
|||||||||||
мгновенную |
ось, и направлено |
к |
оси: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
а о с = |
3,32 -24 = 261 |
см/сек2. |
|
|
||||
|
Угол между векторами вращательного и осестремительного ускорений равен 2а. |
|||||||||||||
|
Полное |
ускорение |
точки |
В |
определим, применив |
теорему |
косинусов |
|
||||||
|
|
|
|
|
а = |
У1322 |
+ |
2612 |
— 2-132-261 -(0,8* — 0 , 6 2 ) . |
|
|
|||
|
Ответ: |
= 79 |
см/сек; ад = |
257 |
см/сек2. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Л А В А |
XI |
|
|
|
|
СОСТАВНОЕ (СЛОЖНОЕ) ДВИЖЕНИЕ |
|
|||||||
|
§ |
29. |
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ И ПЕРЕНОСНОЕ |
ДВИЖЕНИЯ |
|
||||||
|
|
|
|
Абсолютное |
движение. Механическое |
дви- |
|||||
Абсолютным |
движением |
на- |
жение |
выражается |
в изменении |
с |
тече- |
||||
зывают движение точки |
или |
н и е м |
в |
р е м е н и |
взаимных |
положений |
тел |
||||
системы точек по отношению |
, |
|
г |
\ т- |
|
|
|
|
|||
к основной |
системе |
отсчета |
( и л и |
частей тела). Такое |
изменение можно |
||||||
|
|
|
|
отметить только относительно других тел. |
|||||||
Так, река |
течет |
вдоль |
берегов, |
биллиардный |
шар |
катится |
по |
бил- |
|||
лиардному столу, пароход пересекает экватор. Реальные или услов ные тела (берега, биллиардный стол, экватор), по отношению к ко торым мы определяем положения других движущихся тел (воды, шара, парохода) и которые мы принимаем за системы отсчета, тоже не неподвижны. Так, системы отсчета, только что приведенные нами в виде примера, находятся на поверхности нашей планеты и вместе с ней вращаются вокруг земной оси, движутся вокруг Солнца и со вершают множество других движений. Но и предметы, не связанные непосредственно с Землей, тоже не неподвижны—Солнце движется относительно звезд, которые движутся относительно друг друга.
Однако для целей механики далеко не всегда нужно иметь не подвижную систему отсчета. Так, например, если мы передвигаем какой-либо груз с носа корабля на корму, то нас может интересо вать движение груза по палубе независимо от движения корабля. В подобных случаях в кинематике можно условно принять за
неподвижную любую |
систему |
отсчета |
и назвать |
ее основной систе |
|||||
мой отсчета. Движение |
же |
точки (или системы точек) по отношению |
|||||||
к основной |
системе |
отсчета |
называют |
абсолютным |
движением. |
||||
« |
движением |
Относительное движение. Встречаются слу- |
|||||||
Относительным |
|
|
|
приходится |
изучать движение |
||||
называют движение |
точки |
ч а и - |
К 0 Г Д а |
||||||
или системы точек |
по отно- |
(точки или тела) по отношению к системе |
|||||||
шению к подвижной си- |
отсчета, которая сама передвигается отно- |
||||||||
стеме отсчета |
|
|
сительно другой системы, принятой за |
||||||
основную. При |
рассмотрении |
движения точки или тела по отноше |
|||||||
нию к двум |
системам |
отсчета |
ту из этих систем, |
которая движется |
|||||
относительно основной системы отсчета, называют подвижной си стемой отсчета.
Так, например, перемещение корабля в море, измеренное при помощи лага1 , не учитывает снос корабля морским течением. Лагом измеряют движение корабля относительно воды. Можно представить
себе |
подвижную систему |
координат, плывущую |
вместе с водой |
по |
|
течению, т. е. передвигающуюся относительно другой |
системы |
от- |
|||
1 |
Лаг — механический или |
гидравлический инструмент |
для |
измерения |
ско |
рости |
корабля относительно воды. |
|
|
|
|
счета, принятой за основную. Движения корабля можно рассматри
вать по отношению к двум системам отсчета: по отношению |
к под |
|||||
вижной системе |
(связанной |
с |
водой) и к основной (связанной |
|||
с |
материками, |
принимаемыми |
за |
неподвижные). Движение |
корабля |
|
по |
отношению |
к |
подвижной |
системе координат, измеряемое |
лагом, |
|
будем называть относительным движением корабля. Вообще отно
сительным |
движением |
будем |
называть |
движение |
(точки, тела |
или |
||||||||||
системы |
точек) по |
отношению |
к подвижной |
системе отсчета. Отно |
||||||||||||
сительное |
движение |
|
изучают |
обычно |
в тех случаях, когда прихо |
|||||||||||
дится учитывать не только движение данного объекта |
по отношению |
|||||||||||||||
к подвижной системе отсчета, |
но и движение |
самой системы |
отсчета. |
|||||||||||||
п |
|
|
|
на- |
Переносное |
движение. Так, |
в данном |
при- |
||||||||
Переносным движением |
|
г |
|
|
|
|
Движение |
|
^ |
г |
||||||
зывают движение подвижной |
м е Р е > |
ч т о б ы |
з н |
а т |
ь |
корабля |
от- |
|||||||||
системы отсчета по отноше- |
носительно |
берегов, надо |
кроме движения |
|||||||||||||
нию к основной системе |
от- |
корабля относительно воды |
знать |
также |
||||||||||||
|
|
с ч е т а |
|
|
|
и |
движение |
самой воды, т. е. движение |
||||||||
подвижной системы |
отсчета |
относительно |
основной. Движение |
под |
||||||||||||
вижной |
системы |
отсчета |
по |
отношению |
к |
основной системе |
отсчета |
|||||||||
называют |
переносным |
движением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Во многих задачах кинематики переносным бывает движение |
||||||||||||||||
среды, в |
|
которой |
находится |
тот объект, |
движение |
которого |
нужно |
|||||||||
изучить. |
|
В только |
что рассмотренном |
примере течение воды дейст |
||||||||||||
вительно переносит корабль. Еще один пример: человек идет по поезду. Движение поезда является переносным движением для чело века, а движение человека относительно вагонов является относи тельным. Поезд переносит (в буквальном смысле слова) человека. Но иногда переносное движение не является движением среды,
которая |
увлекает |
с собой |
данный объект. Например, |
рассматривая |
||||||||||||
движение |
Земли |
вокруг |
ее оси и вокруг Солнца, мы можем первое |
|||||||||||||
из этих |
движений |
считать |
относительным, |
а |
второе — переносным, |
|||||||||||
хотя нет такой среды, которая вращалась бы вокруг |
Солнца, |
увле |
||||||||||||||
кая |
с собой и Землю. |
Составное движение. В первых двух |
при- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Составным движением |
назы- |
мерах |
движение |
объекта |
(корабля, |
чело- |
||||||||||
вают |
абсолютное |
движение |
в |
е к £ |
л |
с о с т о и |
т и з д |
в у |
х |
движений, |
которые |
|||||
ТОЧКИ ИЛИ СИСТеМЫ ТОЧеК, СО- |
|
|
' |
|
|
м |
J |
« |
vv. |
, j ^ i u p u i v |
||||||
ставляемое |
из их относитель- |
м |
ы |
назвали |
относительным |
и |
переносным, |
|||||||||
ного и переносного движений |
В |
третьем |
примере |
|
Земля |
совершает |
дви |
|||||||||
|
|
|
|
|
жение, которое мы искусственно разложили |
|||||||||||
на |
относительное |
и переносное. Часто, чтобы упростить |
изучение |
|||||||||||||
какого-либо сложного движения, это движение искусственно раскла дывают на более простые, называя одно из них относительным, другое—переносным. Независимо от того, состоит ли движение в действительности из относительного и переносного или же мы искусственно, для упрощения расчетов, считаем его состоящим из двух движений, мы будем называть сложным или составным движе нием абсолютное движение точки или системы точек, состоящее (или составляемое) из относительного движения по отношению к подвиж ной системе отсчета и переносного движения вместе с подвижной системой отсчета.
Если в составном движении мы мысленно прекратим одно из составляющих движений, то получим второе составляющее движе ние. При решении некоторых задач бывает удобно пользоваться таким приемом:
1)чтобы определить относительное движение, мысленно остано вим переносное;
2)чтобы определить переносное движение, мысленно остановим относительное.
Возвращаясь к первому из только что разобранных примеров, мысленно остановим морское течение; корабль будет двигаться от носительно воды, но не будет относиться течением; останется только
одно движение — относительное. Остановим теперь собственный ходко-
Рис. 114
рабля, но предоставим воде продолжать свое течение, и корабль поплы вет по течению; останется только одно движение корабля —-переносное.
Также легко выделить относительное и переносное движения во втором примере. Остановим мысленно поезд, но предоставим чело
веку идти по вагону, и |
получим |
относительное |
движение |
человека; |
||||||||
остановим мысленно человека в его движении по поезду, |
но |
не |
||||||||||
будем |
останавливать |
поезд, и найдем переносное движение |
человека. |
|||||||||
|
|
|
|
|
Несколько сложнее третий пример (дви- |
|||||||
Движение точки, тела |
или |
жение Земли). Здесь нет движения |
среды, |
|||||||||
системы точек часто рассмат- |
переносящей |
Землю, |
подобно |
морскому |
||||||||
ривают как составное, мы- |
течению, переносящему корабль. Мы лишь |
|||||||||||
сленно |
раскладывая |
его |
на |
|
г |
|
г |
|
о |
|
|
|
два или |
несколько движений |
мысленно приняли движение Земли за |
||||||||||
более |
простых |
|
|
составное, искусственно разложили его на |
||||||||
|
|
|
|
|
переносное и |
относительное, |
чтобы |
упро |
||||
стить его, |
чтобы |
более |
наглядно |
себе |
его представить |
и |
легче |
по |
||||
нять. Мы можем вообразить подвижную систему координат, связан ную с Землей и движущуюся относительно основной системы, связан ной с Солнцем и звездами-, и считать, что движение Земли состоит из переносного и относительного. Поскольку движение земного шара (движение по отношению к основной системе) мы искусственно рас сматриваем как составное, постольку от нас самих зависит, как разложить это движение на переносное и относительное. Мы можем
считать, что |
подвижная система |
отсчета |
движется |
поступательно |
||||
или вращательно. В зависимости |
от этого, |
конечно, |
изменится |
|||||
и относительное движение. Земля совершает 366 — |
оборота |
в |
год |
|||||
относительно |
поступательно движущихся |
осей |
(рис. 114, |
а) |
и |
на |
||
один оборот меньше относительно осей, вращающихся вокруг Солнца (рис. 114, б) и совершающих один оборот в год.
Такой искусственный метод разложения движения на относитель ное и переносное широко применяют в различных областях меха ники. Л. Пуансо в предисловии ко второму изданию своей книги «Элементы статики* (1824) писал даже о невозможности представить наглядно движение тел иначе, как в виде одновременного переме щения и вращения.
Очень часто движение раскладывают не на два, а на большее число составляющих движений. Напомним, что мы уже так посту пали, изучая движение точки как составное из трех прямолинейных движений, параллельных осям координат (см. § 22).
§30. ТЕОРЕМЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СКОРОСТЕЙ
ИПАРАЛЛЕЛОГРАММА УСКОРЕНИЙ
|
|
|
|
Относительные скорость и ускорение. Пусть |
|||
Относительными |
скоростью |
некоторая точка М (рис. 115) движется |
|||||
и |
ускорением |
точки назы |
относительно |
системы |
координат |
x'Ey'z'. |
|
вают ее скорость |
и ускорение |
Если бы эту систему координат |
мы счи |
||||
по |
отношению |
|
к подвижной |
||||
|
системе |
отсчета |
тали неподвижной, то движение, скорость |
||||
|
|
|
|
и ускорение |
точки по |
отношению |
к этим |
координатам мы называли бы абсолютными. Но пусть система коор
динатных |
осей |
x'Ey'z' по условиям задачи движется относительно |
||
основной |
системы |
отсчета хОуг. |
В таком |
|
случае скорость |
и ускорение точки М отно |
|||
сительно |
системы |
координат x'Ey'z' |
назы |
|
вают относительными. Итак: |
|
|||
относительной скоростью точки назы вают скорость точки по отношению к под вижной системе отсчета1 ;
относительным ускорением точки назы вают ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета.
Мы |
будем |
обозначать относительную |
|
скорость буквой v с индексом г (от латин |
Рис. 115 |
||
ского |
слова |
relativus — относительный). |
|
Относительное |
ускорение будем обозначать |
|
|
буквой |
а с тем же индексом |
г. |
|
|
|
Для |
обозначения |
проекций |
относительных скорости |
и ускоре |
|
ния будем ставить |
рядом с |
индексом г второй индекс. |
Так, vrx |
||
Понятие «относительная скорость» в науку ввел Мариотт.
189