книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

тельное направление отсчета выбирают в зависимости от условий задачи. Так, например, местонахождение поезда известно, если из­ вестна железная дорога и расстояние s поезда от какой-либо стан­ ции; разумеется, при этом надо знать, по какую сторону от станции находится поезд на данном расстоянии s.

Расстояние s движущейся точки с течением времени изменяется, оно является функцией времени

Эта функция однозначна, так как точка в каждое мгновение занимает на траектории только одно положение, а не несколько.

Движение точки задано, если положение точки может быть

в любой момент времени может быть определено, и движение поезда

ное мгновение, введем понятие алгебраической величины скорости точки.

мени At движется по своей траектории в одном направлении (не совершает возвратных движений). Величину As мы назовем прира-

щением расстояния точки М за время А? и определим ее по при­ ращению функции (51):

Если мы будем уменьшать промежуток времени, оставляя неиз­ менным начало этого промежутка, то отношение (52) будет стре­ миться к некоторому пределу, называемому алгебраической величиной скорости точки в данное мгновение, или, коротко, алгебраической скоростью точки:

Итак, если движение точки задано в естественной форме, то для определения алгебраической величины скорости нужно взять первую производную по времени от расстояния, выражаемого законом дви­ жения точки. Если знак производной положителен, то, следова­ тельно, расстояние возрастает, и точка М движется по траектории в том направлении, которое мы приняли за положительное при от­ счете расстояний s; при отрицательной производной точка движется в обратную сторону. Таким образом, формула (53) определяет вели­ чину скорости и показывает, в какую сторону траектории движется точка. Эту формулу широко применяют при решении задач. Размер­ ность 1 скорости равна размерности длины, деленной на размерность времени:

[t»] = L 1 T ~ 1 .

В зависимости от условий задачи скорость измеряют в кило­

висимость расстояния s от времени t не может быть выражена ана­ литически соотношением (51), но могут быть определены (например,

1 Квадратные скобки в формулах размерности введены Максвеллом.

ния s, соответствующие этим мгновениям, мы построим отдельные точки графика, соединяя которые, получим кривую (рис. 78, а, б), называемую графиком расстояний, или графиком движения. Дви­ жение точки определено, если даны ее траектория и график дви­ жения.

В таком, случае для определения алгебраической скорости при­ меняют методы графического дифференцирования, изучение которых

tt і г t3 Ось времени tn

Рис. 78

не входит в нашу программу. По одному из этих методов для опре­ деления скорости в какое-либо мгновение V нужно измерить тангенс угла между осью времени и касательной к графику расстояний, про­ веденной в точке, абсцисса которой равна V (рис. 78, б). Тан­ генс угла наклона касательной к оси абсцисс равен ^ . В нашем

случае ось расстояний — это ось у, а ось времени — это ось х, сле­ довательно,

,ds

Можно построить график зависимости скорости v от времени t. Такой график называют графиком скорости, или тахограммой.

Графический метод широко применяют, в частности, при изуче­ нии различных механизмов и машин.

функции времени

Эта функция должна быть однозначной и непрерывной. Такой способ определения движения точки называют векторным.

Пусть положение движущейся точки в мгновение, принятое нами

за начальное, определяется радиусом-вектором г —ОМ (рис. 80,6). Через промежуток времени At точка переместилась и заняла другое положение, которое мы назовем конечным для данного отрезка вре­ мени, и радиус-вектор ее стал г1 = ОМ1. Проведем вектор Аг = ММг из точки М в точку Мг Как видно из чертежа,

r1 = r + Ar и Аг = гх— г.

Вектор Дг, проведенный из начального положения точки в ко­ нечное, определяет изменение положения точки в данной системе отсчета и называется перемещением точки.

Вектор Дг отмечает положения точки только в начальное и ко­ нечное мгновения интервала времени At, но не дает возможности определить положение точки в промежуточные мгновения этого ин-

Рис. 80

тервала времени. За бесконечно малый отрезок времени перемеще­ ние точки тоже бесконечно мало. Оно выражается бесконечно малым

мени и траекторией, описанной точкой за то же время, есть сущест­ венное различие: перемещение—это вектор, соединяющий положения

точки в начальное и конечное мгновения данного промежутка вре­ мени, а траектория — совокупность всех положений, которые зани­ мала точка в -различные мгновения этого промежутка времени. Так,

тие «путь», с которым мы сейчас ознакомимся. Пусть в начальное

Рис. 81

диним хордами. Мы получим ломаную ММ Х Л1 2 М 3 .. .Мп (рис. 81, б). Чем меньше отрезки времени, на которые мы разбили А^, тем ближе ломаная соответствует траектории точки и тем меньше длина лома­ ной отличается от длины дуги, пройденной точкой за время At. Назовем путем точки предел суммы абсолютных значений элемен­ тарных перемещений точки за данный конечный промежуток вре­

дулей) элементарных перемещений, а не геометрической суммы этих перемещений. Если бы эти перемещения мы складывали геометри­

Размерность ускорения — это размерность скорости, деленной на размерность времени, или, что то же, размерность длины, деленной на квадрат размерности времени:

Рис. 83

которых выражает быстроту изменения величины радиуса-вектора, следовательно, направлена по ФХМ и по величине равна первой производной от модуля радиусавектора по времени -—-. Назовем ее радиальной компонентой скорости и отложим

вдоль радиуса-вектора в виде произвольного отрезка МРЪ так как величина этой компоненты неизвестна. Вторая составляющая скорости направлена перпендику­ лярно к первой и характеризует быстроту поворота радиуса-вектора ФХМ. Эту компоненту вектора скорости называют трансверсальной. Изобразим ее отрезком РхТ-х произвольной длины, перпендикулярным к MPlt так как величина этой компоненты также неизвестна. Если бы отрезки /ИРХ и Р{ГХ были нам известны, то скорость точки М изобразилась бы вектором МТХ и мы нашли бы направление касательной к эллипсу в точке М.

Примем теперь за начало отсчета фокус Ф 2 (рис. 83, б). Тогда эллипс станет годографом радиуса-вектора г2 = Ф2М, радиальная компонента скорости будет направлена по радиусу-вектору и по величине равна -jp • Припомним, что ариф­ метическая сумма расстояний точки М, описывающей эллипс, от фокусов есть величина постоянная:

Гі + Гг — const.