книги из ГПНТБ / Якушев А.И. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения учебник

измерения линейных и угловых размеров, массы деталей, величин твердости, механических и физических свойств материала.

Случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, характеризуются следующими свойствами: малые но величине погрешности встречаются чаще, чем большие; отрица­ тельные и положительные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто; алгебраическая сумма отклонений от среднего значения равна нулю.

Рис. 16. Кривые плотности вероятности:

а — по закону Максвелла; б — нормального распределения (по закону Гауеса)

Кривая, изображающая плотность вероятности для нормаль­ ного закона распределения (рис. 16, б), определяется уравнением

величины х уравнение кривой нормального распределения будет иметь вид

Кривая плотности вероятности нормального распределения симметрична относительно максимальной ординаты. Параметр а представляет собой абсциссу, соответствующую оси симметрии кривой нормального распределения. При законе нормального распределения а равно математическому ожиданию MX случай­ ной величины X, определяемому по формулам:

для дискретной величины

81

где xi — возможное значение дискретной случайной величины; р (х-,) — вероятность значения xi дискретной случайной вели­

чины; для непрерывных величин

— СО

где рх (х) — плотность вероятности непрерывной случайной вели­ чины X.

Значение MX характеризует положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, размеры большинства деталей в партии. При отсутствии система­ тических погрешностей многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же усло­

Уi= i

для непрерывной величины

У—со

Среднее квадратическое отклонение о характеризует величину рассеяния значений случайной величины относительно центра группирования. Параметр о влияет на форму кривой распределе­ ния: при уменьшении величины о высота кривой увеличивается и кривая сжимается по оси абсцисс; при увеличении о кривая сплющивается, растягиваясь вдоль оси абсцисс (рис. 17).

82

Систематические погрешности, постоянные в пределах партии, па форму кривой не влияют, а вызывают смещение центра груп­ пирования относительно середины поля допуска па величину, равную алгебраической сумме систематических погрешностей. Погрешности, закономерно изменяющиеся, увеличивают диапазон рассеяния и оказывают влияние на форму кривой распределения. 11а рис. 18 показано совместное влияние случайных и одного систе­ матического доминирующего фактора (например, равномерного износа инструмента, при котором размер каждой последующей детали больше размера предыдущей детали). По оси ординат отло­ жены размер],I деталей, а по оси абсцисс — промежутки времени Т1? Т2, Tt, через которые производилось определение поля рас­ сеяния сомг и среднего квадратического отклонения амг. Так как

Рис. 18. Теоретическая точностная диаграмма процесса меха­ нической! обработки при равномерном износе режущего ин­ струмента (ЛСр — среднее значение размера)

износ инструмента за время, необходимое для изготовления неболь­ шого количества деталей, отбираемых для определения мгновенного распределения, незначителен, то погрешности размеров случайны и подчиняются закону нормального распределения. Но для всей партии деталей, изготовленных в этих условиях при одной наладке с момента установки инструмента до его затупления или разладки станка, кривая суммарного распределения может быть плосковершинной (кривая А на рис. 18).

Под влиянием доминирующего, систематически действующего фактора центр группирования относительно начального положения смещается на величину 0,5со', а поле общего рассеяния размеров всей партии деталей увеличивается до со0о = сомг -f- to'.

Из рис. 18 видно, что для устранения брака необходимо было провести подналадку технологического процесса ранее времени Tt.

Рассеяние случайных величин характеризуется также диспер­ сией DX ~ try.

Определение вероятного процента деталей в партии, имеющих погрешности, величины которых лежат в каком-либо заданном интервале. Ветви теоретической кривой нормального распределе­ ния (см. рис. 16, б) уходят в бесконечность, асимптотически при­

83

ближаясь к оси абсцисс. Площадь, ограничиваемая кривой и осью абсцисс, равна вероятности того, что случайная величина (напри мер, погрешность размера) лежит в интервале от — до со. Она принимается равной 1 (или 100%) и определяется интегралом

а\ 2л J

—СО

(начало координат расположено в точке, совпадающей с центром группирования).

Так как подынтегральная функция четная и кривая симметрична относительно максимальной ординаты, можно написать

В этом случае абсцисса на рис. 19 будет выражена в долях а. Если принять за пределы интегрирования 0 и г, то интеграл

в выражении (45) будет функцией 2, т. е.

двумя ординатами, соответствующими границам отрезка, пред­ ставляет собой вероятность попадания случайной величины zL в данный интервал.

84

Для функции Ф() (z) в приложении 2 приведены данные, поль­ зуясь которыми можно определить вероятность того, что случай­ ная величина х, выраженная через а, будет находиться в пределах того или иного интервала ± z,a . Например, из приложения 2 нахо­

площадь, ограниченная кривой Гаусса и осью абсцисс, равна 1, то площадь, лежащая за пределами значений х ■- - ± За, равна 1. —

— 0,9973 - 0,0027 и расположена симметрично по 0,00135 (или по 0,135%) справа и слева относительно оси у (см. рис. 19). Следова­ тельно, с вероятностью, весьма близкой к единице, можно утвер­ ждать, что случайная величина X не будет выходить за пре­

принимают за практически предельное поле рассеяния случайной величины. При этом вероятность выхода случайной величины за пределы значений ± 3 а равна 0,0027.

В общем случае относительное количество деталей А % в партии, имеющих погрешность, выходящую -за пределы z1a и z2c, можно определить по формуле

Пример. Определить относительное количество валиков (табл. 2), кото­ рые могут иметь погрешность размеров, выходящую за пределы — 0,03 .мм + + 0,03 мм (случай первый) и — 0,015 мм +0,015 мм (случай второй). Величина эмпирического среднего квадратического отклонения S = 0,015 мм.

Таблица 2

Рассеяние размеров деталей при обработке их на токарно-ренольверном станке

85

При наличии неустранимых систематических погрешностей количество деталей, погрешность размеров которых выходит за установленные пределы, увеличится.

§ 18. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Методику статистической обработки результатов измерения рассмотрим на примере, характерном для машиностроения, когда определяются дискретные значения измеряемой величины.

Из большой партии (генеральной совокупности) валиков 012_OjO7, обработанных на токарно-револьверном станке, возьмем выборку объемом N 200 шт. Измерим валики на приборе с ценой деления шкалы 0,01 мм. Примем, что точность отсчета равна 0,005, т. е. равна половине цены деления шкалы. Измерение валиков необхо­ димо производить в одном и том же сечении (расположенном на определенном расстоянии от торца детали), соблюдая постоянство условий измерения. Расположив полученные действительные размеры di в порядке возрастания их значения, получим ряд слу­ чайных дискретных величин. Разность между наибольшим и наименьшим размерами валиков определит величину поля рассея­ ния ш действительных размеров. Для нашего примера ю = daапо —

— dnanм = 12,005 — 11,915 = 0,09 мм (см. табл. 2).

Для упрощения расчетов поле рассеяния результатов наблю­ дений при N > 25 разбивают на к интервалов. Число интервалов рекомендуется брать в пределах 8—15. Для нашего примера поле рассеяния разделим на 10 интервалов. Подсчитаем число детален, имеющих размеры, ограничиваемые пределами каждого интер­

Далее находим среднее арифметическое значение действитель­ ных размеров х но формуле

где к — число интервалов группирования.

86

Из выражения (49) видно, что х равно сумме произведений

значений середин интервалов ^на их частости . Величину х иног­

да называют средневзвешенной. Она определяет эмпирический центр группирования. Степень приближения х к истинному зна­ чению рассмотрена ниже.

В данном примере средний арифметических! размер

Разность между действительным размером (или значением сере­ дины интервала ,г;) и средним арифметическим размером х назы­ вается его отклонением от среднего (остаточной погрешностью). Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна нулю.

Рассеяние значений случайных величин в выборке относительно эмпирического центра группирования характеризуется эмпири­ ческим средним квадратическим отклонением s, определяемым по приближенной формуле

При выборке объемом, меньшим 25, целесообразно определять уточненное эмпирическое среднее квадратическое отклонение по формуле

s = ] / ( — 0,04)2 •0,01 + (— 0,03)2 •0,03 + . . . + (0,04)2 •0,01 ^ 0,015 мм.

Размерность s, как и о, совпадает с размерностью случайной величины, для которой они определены.

Чем меньше величина s, тем выше точность изготовления (или измерения), т. е. тем меньше величины случайных погреш­ ностей изготовления (измерения). Поэтому параметр s исполь­ зуется, как в данном примере, в качестве меры точности процесса изготовления или при повторных измерениях одной и той же величины в качестве меры точности метода измерения.

Исключение нз совокупности результатов наблюдений грубых ошибок. Вследствие невнимательности контролера, а также вслед­ ствие других причин, нарушающих нормальные условия полу­

87

Сравнение характеристик эмпирического и теоретического рас­ пределений случайных величин. Параметры х, s и s2, оггределенные по данным выборки, дают лишь приближенную характеристику теоретического распределения. Между математическим ожиданием

четкое разграничение: первые рассматриваются как постоянные, но неизвестные величины, характеризующие теоретическое распре­ деление (генеральную совокупность), а вторые, являясь случай­ ными величинами и будучи определены из выборочных наблюде­ ний, дают лишь приближенную оценку MX, ох и DX. Чем больше объем выборки, тем меньше разница между MX ах, ах и s, а также

DX и s2.

По результатам выборок и их объему можно установить границы, внутри которых с определенной, заданной исходя из эксплуата­ ционных требований вероятностью будут находиться значения MX, cf.y и DX, характеризующие результаты многократных изме­ рений. Эти границы определяют так называемый доверительный интервал. Соответствующая этому интервалу заданная вероятность

квадратическое отклонение для распределения средних арифме­ тических величин X , определяемое по формуле

ах |/7у7~Г

Следовательно, границами доверительного интервала будут З.ц

Х± \ПхГ=1'

Вобщем случае при большом объеме выборки и различной веро­ ятности р доверительные интервалы для M X определяют по фор­ муле

Обычно задаются вероятностью р, равной 0,90; 0,95; 0,99 или

0,999, что соответствует значениям z : 1,645; 1,960; 2,576 и 3,291.

Пример. Для рассмотренного выше распределения погрешностей изго­ товления валиков при N = 200 шт. (см. табл. 2), которое принимаем за нормальное,

При Р = 0,90 доверительный интервал для MX по формуле (52) будет

11,96-1,645-0,001 < М Х < 11,96 + 1,645 - 0,001

ИЛИ

11,958 < М Х < 11,962.

89

При р = 0,999 получим больший доверительный интервал:

11,96-3,291 - 0,001 < Л/Л' < 11,96 + 3,291-0,001

или

11,957 < MX < 11,963.

Для выборок малых объемов множитель z должен быть заме­ нен множителем £р, который находят по таблицам распределения

при выборке объемом 20, а не 200 шт., как это было принято в предыдущем примере, то при вероятности, равной 0,90, границы доверительного интервала

При уменьшении объема выборки п увеличении требуемой вероятности величина доверительного интервала будет возрастать, т. е. границы возмож­ ных значений величины MX будут расширяться.

Аналогично могут быть определены доверительные интервалы для зна­ чений ах -

§ 19. СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИИ

Для проведения расчетов условимся считать погрешностью Ах; отклонение от среднего значения величины а+ Следовательно, погрешности могут быть + Дхг и —Ах.ь а диапазон изменения погрешности равен 2Аа+ Например, для валиков 0 12_.0.07 наи­ большие допустимые отклонения от среднего размера (11,96) могут быть равны +0,045 и —0,045.

Для повышения точности измерений рекомендуется произво­ дить не одно, а ряд измерений одной и той же величины X при одних и тех же условиях. Как уже отмечалось, результат изме­ рения в общем случае может отличаться от среднего значения изме­ ряемого параметра па величину систематических и случайных погрешностей измерения. Значения вероятных границ, в которых будут находиться статистические характеристики х, s и s2 много­ кратных измерений, определяются доверительными интервалами.

90