книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

На основании выражения (177)

и из очевидных физических соображений

мож­

но заключить, что функция F(X),

а вместе с ней и величина М(Х2)

постоянно

зависят от параметров системы: при заданной величине N и

любом

фиксирован­

ном

X приращения F(X) и М(Х2)

от изменения параметров

A,

a, Ьі

и Ьі могут

быть

сколько угодно малыми, если

только указанные изменения

достаточно

ма­

рассмотренном случае сводится к моделированию системы на математической

ма­

шине дискретного действия.

Предложенная методика может быть использована также для выбора опти*

мальных

параметров других различных систем регулирования размеров.

Ниже приводится пример расчета и

построения,

выполненный

на

основании

найденных выше общих соотношений при подстановке

j V =

1 и алгоритме

выдачи

сигнала на подналадку по первой детали

(общие соотношения

при этом

значитель­

но упрощаются, так как правые части системы

( 1 6 6 ) не

зависят

в данном случае

от Т и, следовательно, состояние системы в момент времени п полностью

характе­

ризуется

одной величиной — положением

центра

группирования

Х0(п)

=

Х(\і).

На рис. 61 приведено семейство кривых,

которые

получены

для

данного

примера

на

основании

вычисленных предельных

дифференциальных

законов

распреде­

ления на

Ц В М

[119] и которые можно использовать как

для

анализа качества

ра­

боты системы при заданной величине А, так и для выбора оптимального

для

за­

данных условий работы значения

А. Кривые заканчиваются

слева на линии мини-

мально допустимых

значении, уравнение

которой

V

M{Xf

!

(А+

З з ) 2 + з 2

О

—

3

•

получается из того довольно очевидного

обстоятельства,

что при

А = а

кривая

f(X)

получается из

кривой

Ф(Х)

[уравнение

( 1 6 3 ) ]

путем

сдвига

последней

вдоль оси абсцисс на величину А + За.

Наличие этой линии

облегчает

интерполя­

цию семейства

кривых (см. рис. 6 1 ) для

случаев

промежуточных

значений

а.

Заштрихованная

область

соответствует

расходящемуся

процессу

поиска

(в

этой

области условие Na^.A

не выполняется). Как

видно

из

рисунка,

каждой

паре величин

а и сг соответствует оптимальное значение А, обеспечивающее мини­

мально

возможную при данных конкретных условиях величину

М(Хг).

Пусть, например, величины а и о, оставаясь

неизменными

в пределах каждой

партии,

могут

изменяться от

партии

к партии в

пределах: О і ^ 0 ^ 2 о і ;

— 1 , 5 о і ^

ï S T a ^ o i ,

где

ai — заданная

постоянная. Требуется найти величину А,

обеспечи­

вающую

минимакс среднего квадрата X, т. е. минимальное значение М(Хг)

для

наихудшей партии. Из рис. 61 видно, что М(Х2)

увеличивается

с ростом

\а\

и а.

Таким

образом, наихудшая партия

соответствует

а = 2оі

и

\а\ =

1,5о"ь

при

этом

И

= 0 , 7 5 . Минимуму

М(Х2)

при

а

А

=

1,3

(см.

—

— = 0 , 7 5 соответствует

—

рис.

61)

и

Лепт = 1,3a = 2,6о"і, а получающееся

при

этом

значение

~\jM(X'-)

равно 4о"і

сутствует, имеет место возмущение

в виде нормальной стационарной

случайной

(функциональной)

коррелированной

последовательности.

Наличие

возмущения

этого типа объясняется медленными изменениями уровня

размерной

настройки

станка около его среднего значения.

Значение регулируемого размерного параметра в этом

случае определяется

уравнением (159)

при линейном тренте ara = 0:

* ( л )

= | і ( л ) + С ( л ) .

(179)

для этого

случая.

При возмущении в виде стационарной

случайной коррелированной

последова­

тельности

прогнозируемое

значение р. (га + 1)

зависит от всех предшествующих

значений

р-(га), р(га — 1),

р(га— 2)

Для

определения

правила (алгоритма)

вычисления коррелирующего импульса по

прогнозируемым

значениям

р. (га + 1)

прогноз для неизвестного

значения

р.(га + 1) определяется

как

линейная комби­

нация h известных значений [161]:

г

h

_

•±(п+1)-^--

-

ат

[ji (л +

1 — m) — [i.] +

V (0,

ij.

(180)

Область возможных

значений

прогноза

ц ( г а + 1)

ограничена

областью

воз­

можных значений случайной величины ѵ (0,

a,J, а вероятность прогноза равна ве­

роятности этой случайной

величины.

Коэффициенты ат

в формуле

(180)

определяются

из условия

минимума

сред­

неквадратичной ошибки прогноза

_

h

M\\Ып^

{)-•,.]-

V

awl:i.(n+l--m)-y.W}

=

min

(181)

m = 1

и могут быть получены

в результате

решения системы линейных уравнений [161]

ВНц*=І,

(182)

где H и—алгебраическое

дополнение

симметричной

матрицы порядка h +

1 из

элементов H

(і — /) (і, / — номера

строк и столбцов):

H

(ff)

Я ( 1 )

Я

(2)

Я ( 3 )

Я (Л);

I

Я ( 1 )

Я ( 0 )

н

О)

Я (2)

Я ( 1 - п )

я =

Я

(2)

Я ( 1 )

Я ( 0 )

Я ( 1 )

Я (2 — Л ) ;

(183)

Я ( 3 )

Я (2)

Я ( 1 )

Я ( 0 )

Я ( З - л ) ;

H(h)H(h

— 1) Я(/г — 2 ) Я ( Л — 3) . . .

Я ( 0 )

£ — вектор-столбец

из неизвестных

коэффициентов а т

в

формуле

(180);

/ — вектор-столбец

из элементов

Я

(у) :

Я ( 1 )

Я (2)

Я ( 3 )

Я

=

•

I

=

•

Я (л)

и, следовательно,

Я і ( т

- 1 )

«m =

Я г

Остаточная

дисперсия в

выражении

(180)

определяется

из выражения [88]

1 1

Я п

Уравнением

(180) можно воспользоваться только в том случае, если известно

сред­

нее значение ц. Поскольку механизм

регулирования (MP)

воздействует

на смеще­

ние среднего значения, то его можно определить из выражения

7(л)

=

ІГ(0) +

2 ( л ) ,

где (і(0) — положени е корректирующего

механизма

регулирования

(MP)

при

п = 0;

Z(n)—корректирующее

воздействие механизма

регулирования.

Дл я

этого

необходимо

располагать

всей

информацией за время

О ^ г ^ л .

При экстраполировании стационарной

случайной

последовательности с

неиз­

(X (л +

1) - £ (А)= %

ат[ц(п+1-

т)-

£ (А)],

(184)

m =

l

где \х(к)—несмещенная

наилучшая

оценка среднего значения стационарной по­

следовательности, определенная по h известным

значениям.

л

1

*

т

Î = T S [ | Х ( Л + +

? ( « + ! - / ) ] •

( 1 8 5 )

m=l

j=\

Оценка

выражения

(185)

распределена нормально около истинного

среднего

,и (я) с

дисперсией

л _

Н(0)

_2_

А - 1

V (h-m)

H (m).

(186)

Л2

m=2

2

H

(0)

2

ft-„l

M

(В) = 0; M (8») =

(1 -

ату

~

г

+ V

S

о»)

m*=l

m-2

Из уравнений (180), (184) и (185) с

учетом возможных смещений центра груп­

пирования за h заданных моментов

времени

может

быть

получено

уравнение

для

прогноза

неизвестного

значения

h

А

m

«р (п+

ц ( л +

1 ) =

2 « т Ы « +

1 - я )

+

V

Р - ( 1 -

т=\

; = 1

-

2

* « )

+

r-,

(187)

т - 1

где

ф =

V +

ô — случайная величина,

причем

УИ(-ф) = 0 ,

M(tp2 )

= M (б2 ) +

При

сравнении

выражений

(180)

и (187)

видно,

что

применение

полученной

оценки среднего значения

несколько

увеличивает

область

возможных

значений

прогноза.

Сигнал ф (я) на выходе анализатора СКС зависит от положения центра рас­

сеивания

в дискретные моменты

времени

р-(я),

ц ( л — 1 ) ,

ц(п

+

1—N),

величины допустимых отклонений границ Ъі и Ьг и алгоритма

переработки ин­

формации, положенного в основу работы анализатора

СКС. Поскольку анализа­

тор СКС определяет

не истинное значение возмущения,

а некоторую более

или ме­

ривать вероятность формирования

корректирующего

сигнала

с

уровнем: 0; + 1 ;

— 1 ; —2; + 2 ,

т. е.

[Л (Л),

|і (Л —

1), . .

0

Р

<р(л)

=

+ 1

(188)

=

—1

Т ( л - 1 ) ,

.. ., <р (и + 1 —

N),

—2

+ 2

Определение значений

(188)

при различных структурах

алгоритма

анализа­

различных комбинациях испытаний. Методика определения выражения

(188)

для

алгоритма СКС была приведена выше.

Коррелированная составляющая размерного параметра в

каждый

дискрет­

ный момент времени изменяется под воздействием случайного

(стохастического)

возмущения

р. (л)

и корректирующего

подналадочного сигнала.

Величина

этого

сигнала

(0;

+ 1 ; — 1 ; —2;

+ 2 )

и изменение

коррелированной составляющей

в не­

который

момент времени л +

1 зависит

от

M (M = N при N~> h

и M = h

при

h>

N)

прошлых

значений

р.(я), р . ( л — 1 ) ,

р,(я + 1—М);

ф ( я ) ,

ф ( я — 1 ) ,

. . . ,

ф(л

+

1 — М)

— см. выражения (187) и

(188).

ветствующим

образом

сконструированного

простого

марковского

процесса

[72,

132].

Соединяя

значения

в моменты времени 1, 2,

М,

моменты

времени

2,

з, .. ., M + 1 и т. д.,

мы получим

неограниченный

ряд новых М-членных зависи­

мых

друг от друга состояний. Каждое М-членное

состояние

можно

рассматри­

вать

как вектор

X

(я)

в

AI-мерном пространстве,

a M состояний

системы — как

координаты этого

вектора

[132]. Отсюда видно, что эволюция

вектора

X^

(п)

про­

текает по

схеме

простого

марковского процесса. Действительно, значение векто­

ра Х{і

(п +

1)

зависит

только

от значения

А'^

(я) .

Переходная

функция

распределения

вероятностей

положения

для

простого

марковского процесса в этом случае может быть

записана

в виде Р[Х[Х(п),

5],

где S —• некоторое

подмножество

множества

состояний D, а Р — вероятность того,

что в момент времени п +

1 окажется реализованным

одно из

состояний

подмно­

жества S при наличии состояния

Х[Х (я)

в

момент

времени я. Область состояний,

входящих

в подмножество

S,

существенно

зависит

от

сигнала

анализатора.

Из

выражения

(187)

видно,

что

подмножества

S соответствуют

возможным

состоя­

ниям

случайной

величины

|х(я +

1) с различным математическим

ожиданием:

A(A - ! X , y , j , / > [ ^ ( я ) , 5 2 ] / ( i ) ;

(191)

f-ЛК,

YJ

=

P\X^(n),

s-AfW,

где

—плотность

распределения

случайной

величины

ф

из

выражения

(187).

В общем случае области Si, S2,... ,

S5

могут

пересекаться,

следовательно,

из выражения

(І91)

f

Y ; J

-

/1

* У

+

f2

( ^ ,

Y.J

+

...

+

h

Yv).

(192)

Основное

уравнение

марковского

процесса

для

рассматриваемого

случая

можно записать в виде однородного интегрального уравнения

Фредгольма

вто­

рого

рода

[132]:

С»

со(К; і )

X

\f(X,y

Y,J

«(X,,)dXiy

(193)

с,

в котором

ядро

f(X^,

Y,t)

задано

уравнениями

(191)

и (192)

в интервале

[С\Сг]

(интервал

[СіС2 ]

соответствует

возможным

значениям

координат

векто­

ра Xи—Ц(і),

а

координаты

ср(п)

могут

иметь

дискретные

значения

0; + 1 ; — 1 ;

—2;

+ 2 ) .

Согласно

работе [132],

частное

решение

выражения

(193)

при

харак­

теристическом

числе

Я =

1 и

должным

образом

нормированное, соответствует

плотности

распределения

вероятности

вектора

X

(п)

при

п—*-оо

для

некото­

рой

генеральной

совокупности значений

регулируемого

размерного

параметра.

Численные

методы решения

уравнения

(193)

сводятся

к

замене

непрерывных

величин дискретными

и

нахождению

собственного

вектора

соответствующей

матрицы. Если возможный интервал значений

координат

[С1С2]

вектора Х а

раз­

бить на Т дискретных значений, то возможные

дискретные

положения

вектора

будут

исчисляться

числом Ъм

Тм,

и

численное

решение

уравнения

(193)

Найденные таким образом значения будут соответствовать финальной

вероятно­

сти

рг

(при п—*-оо)

для дискретного

вектора

Хг

(г

=

1, 2 , . . . ,

5NTN).

Фи­

нальные вероятности

prjL

для

дискретных

значений

коррелированной

составляю­

щей

\іа

(а = 1, 2 , . . . ,

Т)

могут быть

определены

следующим образом:

Рг-т (*)

(194)

M

где

та

— число дискретных

положений

вектора

Хг,

содержащих

в

качестве

координат значения и , а ;

%г — число координат вектора

Хг,

имеющих значения

\іа .

Нахождением

предельного

распределения

коррелированной

составляющей

размерного параметра собственно и заканчивается расчет точности

подналадки,

так

как

по предельному

распределению

легко

найти

качественные

показатели

СКС, в

частности,

дисперсию

генеральной

совокупности

относительно

уровня

настройки системы.

Следует отметить, что для многих встречающихся на практике систем приве­

денные выше расчетные зависимости могут быть значительно упрощены.

Таким образом, в результате рассмотренного случая подналадки с помощью

СКС случайная последовательность

размерных

параметров обработанных дета­

лей полностью декоррелируется, что свидетельствует о максимально

возможном

повышении точности обработки

при

подналадке.

С

точки зрения

теории

управления

система

подналадчик —

регулируемый

процесс

может

быть представлена

блок-схемой,

изображенной

на рис. 62.

Выше

отмечалось,

что

откло­

нение размера

хп п-ѵо

изделия

от

номинала

складывается,

как

п

0

правило,

из

трех

компонентов:

систематической

составляющей

/„,

функциональной

случайной

составляющей

ц,п

и

собственно

Рис

62.

Блок-схема

подналадчик —

случайной

составляющей

технологический

процесс:

Если

обозначить

через Un

уро­

я

подналадчик

(управляющее

устрой-

вень

настройки (управление)

на

О-

• регулируемый

технологический

ство);

процесс

/г-ом такте, то отклонение теку­

щего

размера

изделия

от номинала

может

быть

записано в

виде

сѵммы

(195)

( * =

1, 2

. . . )

ln = mn

(п = 1, 2, . . . ) ,

(196)

Формулы (195), (196), а также предположения о

статистиче­

ских характеристиках

последовательностей

{ц,п} и

{£п }

служат

исходным пунктом при синтезе оптимальных по точности

алгорит­

мов подналадки следящих подналадочных систем.

Общая постановка

задачи синтеза такова.

Изучается

дискрет­

теме, рассматриваются

лишь в дискретные

моменты

времени

t

= I, 2, ...,

п...

Значение любой из величин в момент

времени

t

= п снабжается индексом п.

Решается

байесовская

задача [146], т. е.

предполагается, что

управляющие технологическим процессом с учетом всей имеющейся

к моменту подналадки информации о ходе процесса. Физически это

означает,

что, формируя величину подналадочного импульса, под-

наладчик

принимает во внимание всю информацию о предыдущих

импульсах и размерах выпущенных изделий.

Введем

следующие

обозначения.

Условимся

записывать

со

стрелкой

наверху

последовательность величин, поступивших

в различные моменты

времени. Например, Un =

(Uu • •, Un)

—

последовательность уровней настройки,

поданных

до п-то момента

L'n=-U„[xn-u

Un-il

(197)

Уровень настройки инструмента

перед

выпуском

п-го

изделия

ІІп

слагается из п подналадочных импульсов,

подаваемых

перед

выпуском каждого

изделия

Un=

2 и,,

(198)

где

ui — подналадочный

импульс,

подаваемый

перед

выпуском

/'-го

изделия.

В теории

статистических

решений

[146] критерий оптимальности

принято именовать риском. В соответствии с этим в данном

случае

риск имеет вид

Dn =

M{x*},

(п=

1,

2,

. . . ) ,

(199)

где

M — символ

математического ожидания

равен дисперсии раз­

меров изделий.

Требуется определить последовательность решающих функций

[145,

146]

Г„ =

\\ [un\ Ûn-\,

Хп-\

), (я

=

1, 2,

. . . )

(200)

и,

соответственно,

подналадочных

импульсов

ип{п—\,

2 , . . . ) ,

доставляющих Dn

минимум при каждом п.

По определению, риск Dn

равен

Dn =

\х;*р{хп,

: п ,

à,,, ÛjdQ,

«

=

1,2

(201)

где

Р ( • ) — совместная

плотность

случайных

величин,

стоящих

в скобках;

Q (•) — область их изменения;

dÇ> — бесконечно малый элемент этой

области.

Условимся, что плотности Р (•), имеющие различные

аргумен­

ты, представляют собой различные функции.

Представим плотность Р (хп,

£„,

цп, Un)

в виде

произведения

плотностей, относящихся к п-му

изделию

и к предыстории

процес­

са

подналадки:

Р[Хп,

^п, rS, Ùj

=

P[xn-\,

Pn-l,

Ün-l)

P[xn,

Ji„,

Un\Xn-l,

Z-uV-n-uO^).

(202)

Физический

смысл

второго

сомножителя

в правой

части

форму­

лы

(202) — условная плотность

случайных

величин,

относящихся

к га-му изделию, при фиксированной предыстории процесса

подна­

ладки.

По теореме умножения

вероятностей

Р(хп,

С„,

| i e ,

Un

I Хп-\,

In-i,

Vn-U

Un-\)

=

Р[и„\

Х„-и

С„_і,

—1, ип—і,і

'

*

\wn J л:я—1,

~ я _ і ,

^л—и

ХРІрп

I х я _ і ,

С л ,

? я _ і ,

ÔJ

• Р(х„

I

х я _ і .

ln,

jl„,

£/„).

(203)

Рассмотрим подробнее

каждый

из

сомножителей

формулы

(203).

Первый

сомножитель — плотность

Р ( U n \ x n - i ,

£п-ь

м-п-ь

^ п - і ) —есть

не что иное, как решающая

функция

Гг е . Она должна

удовлетворять условию реализуемости

вида

P[U„

I x„_i,

In-i,

ln-\,

Ün-i)

=

l\{un

I

Ûn-x).

(204)

лений: « n = ип (Un-u

Хп-і)-

Именно это и отражает

формула

(204).

По предположению, последовательность {£п }

есть

последова­

тельность независимых случайных

величин.

Поэтому

условная

плотность Р (£,п\хп-и

Zn-i,

Ц

и -

і

,

Un)

совпадает

с безусловной (ап­

риорной) плотностью Р (£п):

Р (;и

I хп-и

С л - і ,

І - і ,

Un)=P

(205)

Далее, поскольку

последовательность

{\х,п}

— марковская,

то

при фиксированной совокупности цп-і

— (цо, (л>

Vn-i)

величина

f i n не зависит от хп-і,

£ n - i >

Un,

так

что

Р(ря

I Хп-и

Ся>

p„-i,

Û„)

=

Р ( а „

I

(206)

( * = 1 .

2

)

Рассмотрим последний сомножитель в формуле (203). Из фор­

мулы

(195) следует,

что при заданных

{ і і п ,

£ « , Un}

и

известном

(детерминированном)

значении

/„

плотность

Р (

i / n ) обращается

в

ô-функцию:

р ( х „ I х а - и

С л - і ,

=

8 [ х „ - ( / „ +

[*„

4

-

:

п ( 2 0 7 )

Подставляя выражения

(204) — (207)

в формулу

(203), находим

Р{ХП,

^я- !*„, ^ л

I Х„-\,

(А„_1,

£/л _і)

= Р{',п)

•

Р{ра

I Ѵп-і)

X

X 8 U„ -

(/„ +

н-я 4 - С„ +

^ я

)

I • Г я

(t/„

I х„-і,

£ / я - і ) .

(208)

Первый сомножитель, стоящий в правой части равенства

(202),

отличается от левой лишь

на единицу меньшим номером

при

соот-