2. Аппроксимация теплофизических свойств материала от температуры

Цель работы: исследование теплофизических свойств материала (табл. 2.1) в зависимости от температуры и получение уравнений аппроксимации.

При решении задач теплообмена с переменными теплофизическими коэффициентами необходимо знать законы их изменения в зависимости от температуры. В литературных источниках эти зависимости могут быть представлены в виде таблиц, что не всегда удобно для использования. Некоторые вычислительные комплексы не позволяют вводить данные в табличном виде, аналитические и численно-аналитические решения также требуют представления их в виде уравнений. Таким образом, необходимо получить уравнения, которые бы описывали изменение теплофизических коэффициентов в зависимости от температуры.

Аппроксимация, или приближение – математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. В нашем случае, аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(y) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

Microsoft Office Excel – это программа, которая позволяет получить зависимости в виде уравнений различного вида.

Таблица 2.1. Зависимость теплофизических коэффициентов для стали 20 от температуры

Температура, К	Коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К)	Удельная теплоёмкость, Дж/(кг·К)	Плотность стали, кг/м3
273	51,9	−	7863
323	51,5	465	7849
373	51,1	486	7834
423	49,9	507	7819
473	48,5	519	7803
523	46,5	532	7787
573	44,4	557	7770
623	43,6	574	7753
673	42,7	599	7736
723	41,1	624	7718
773	39,3	662	7699
823	37,7	703	7679
873	35,6	749	7659
923	33,9	787	7635
973	31,9	846	7617
1023	28,5	432	7620
1073	25,9	950	7624
1123	25,9	737	7616
1173	26,4	649	7600
1223	27,2	649	7574
1273	27,7	649	7548
1323	28,0	649	7522
1373	28,5	649	7496
1423	29,3	657	−
1473	29,8	666	−

2.1. Определение зависимости коэффициента теплопроводности от температуры

Создаем новый документ Microsoft Office Excel и в нем в виде таблицы указываем в одном столбце значения температуры (в К), а в другом столбце соответствующие этим температурам значения коэффициента теплопроводности (в Вт/(м·К)) (табл. 2.1, рис. 2.1).

Рис. 2.1. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры в табличной форме

Далее необходимо получить графическую зависимость коэффициента теплопроводности от температуры в виде точечного графика. Для этого во вкладке Вставка в меню Диаграммы выбираем Точечная с маркерами (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Выбор типа диаграммы

После этого должна появиться область для дальнейшего построения на ней графика по заданным значениям. Чтобы ввести данные для построения графика переходим в появившееся меню Работа с диаграммами, где во вкладке Конструктор выбираем Данные > Выбрать данные (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Вкладка работы с диаграммами

После этого появится окно Выбор источника данных (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Окно выбора источника данных

В окне Выбор источника данных нажимаем кнопку Добавить. После этого появится окно Изменение Ряда (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Окно ввода данных конкретного ряда

В качестве имени ряда пишем название графика «Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры», в качестве значений Х выделяем все значения температуры, а в качестве значений Y все значения коэффициента теплопроводности (предварительно удалив содержимое строки, заданное автоматически). Нажимаем ОК в окнах Изменение ряда и Выбор источника данных.

Подписываем оси X и Y. Для этого стоя на диаграмме в меню Макет, выбираем вкладку Название осей (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Название осей X и Y

Затем перемещаем диграмму на отдельный лист нажав Конструктор > Переместить диграмму > На отдельном дисте. В результате получаем точечную диаграмму зависимости коэффициента теплопроводности от температуры (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Зависимость удельной теплоемкости от температуры в виде точечной диаграммы

На основе полученной диаграммы можно получить описание зависимости коэффициента теплопроводности от температуры в виде уравнения. Поскольку график имеет криволинейную зависимость, то наиболее точное описание дадут степенные функции.

При добавлении линии тренда на диаграмму Microsoft Office Excel можно выбрать любой из следующих шести различных типов тренда или регрессии: прямые, логарифмические, полиномиальные, степенные и экспоненциальные линии тренда, а также линии тренда с линейной фильтрацией. Тип линии тренда, который следует выбирать, определяется типом имеющихся данных.

При аппроксимации данных с помощью линии тренда значение величины достоверности аппроксимации R² (число от 0 до 1, которое отражает близость значений линии тренда к фактическим данным) рассчитывается приложением Excel автоматически. При необходимости полученный результат можно показать на диаграмме. Линия тренда получается наиболее точной, когда ее величина достоверности аппроксимации близка к единице.

Для того, чтобы добавить линию тренда на диаграмму необходимо щелкнуть левой кнопкой мыши по любой точке графика, а затем нажав правой кнопкой мыши выбрать Добавить линию тренда. Появится окно Формат линии тренда, в котором можно выбрать параметры линии тренда. Во вкладке Построение линии тренда отмечаем Линейная, а внизу окна ставим галочку напротив строки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации и нажимаем Закрыть (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Задание параметров линии тренда

Аналогично можнос добовить линию тренда Степенную, Полиноминальную и т.д..

Итогом этих действий станет диаграмма с различными линиями тренда и уравнениями к ним (рис. 2.9):

• линейная аппроксимация

λ(Т) = -0,0239 + 57,945·Т; R² = 0,8895;

Рис. 2.9. Аппроксимация точечной диаграммы с помощью линии тренда

• квадратичная (полиномиальная) аппроксимация

λ(Т) = 69,562 – 0,056·Т + 2Е-05· Т²; R² = 0,9438;

• экспоненциальная аппроксимация

λ(Т) = 62,783·е^-6Е-04·Т; R² = 0,8754;

• степенная аппроксимация

λ(Т) = 888,62·Т^-0,481; R² = 0,88.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает исходные данные.

Но использование этих уравнений значительно усложняет решение и приводит к возникновению ошибок.

Таким образом, лучше описать данную диаграмму линейными функциями, предварительно разбив ее на два участка (сплайн фукция). В качестве точки разбиения выбрать значение точки перегиба соответствующее температуре 1123 К.

Строим новую точечную диаграмму. Снова выбираем Вставка >Диаграммы > Точечная с маркерами. Выделяем область для построения диаграммы, выбираем Работа с диаграммами > Конструктор > Выбрать данные > Выбор источника данных > Добавить. В окне Изменение Ряда в строке Имя ряда ячейку можно оставить пустой, тогда ей автоматически будет присвоено имя Ряд 1), для заполнения строки Значения Х выделяем температуры от 273 К до 1123 К, для заполнения строки Значения Y выделяем значения коэффициента теплопроводности, соответствующие данному температурному диапазону. Нажимаем ОК. Снова в окне Выбор источника данных выбираем Добавить. Теперь для заполнения строки Значения Х выделяем температуры от 1123 К до 1473 К, для заполнения строки Значения Y выделяем соответствующие значения коэффициента теплопроводности. Нажимаем ОК. Далее подписываем оси и перемещаем диаграмму на отдельный лист как было описано выше. Итогом станет диаграмма, состоящая из двух графиков (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Сплайн функция коэффициента теплопроводности

Теперь для каждого участка можно получить простое описание в виде линейной функции. Выделяя последовательно первый и второй участок диаграммы строим линейные линии тренда с выводом уравнений для них, согласно методике описанной выше.

Итогом этих действий станет диаграмма с двумя линиями тренда и уравнениями к ним (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Диаграмма с линиями тренда и уравнениями, определяющими данные линии тренда

Для определения температуры, при которой эти две линейные функции пересекутся, необходимо приравнять правые части функций и решить уравнение. Решив уравнение получаем, что они персекутся при температуре 1140 К.

Таким образом изменение коэффициента теплопроводности для стали 20 в диапазоне температур от 273 К до 1140 К будет описываться уравнением λ(Т) = 63,219-0,0325∙Т Вт/(м∙К), а в диапазоне от 1140 К до 1473 К уравнением λ(Т) = 13,634+0,011∙Т Вт/(м∙К).