Примеры решения задач

Задача.1. Электрон в атоме водорода находится в состоянии 4d. Найти энергию электрона, его момент импульса и возможные значения проекции момента импульса на ось OZ в этом состоянии.

Решение

В данном случае электрон находится в состоянии с квантовыми числами: n = 4: l = 2. В этом состоянии возможные значения магнитного квантового числа равны: m = 0,  1,  2.

Энергию электрона найдем по формуле (2):

;0,685 эВ

Величины L и L_z вычислим по формулам (1)

;

; ;

Ответ: Е₄ = - 0,85 эВ; ;

;.

Задача 2. В спектре излучения атомов водорода, возбужденных ультрафиолетовым излучением, наблюдается только одна спектральная линия, принадлежащая видимому участку спектра. Найти энергии фотонов, изучаемых данными атомами водорода, и соответствующие им длины волн.

Решение.

Наблюдаемая визуально спектральная линия, принадлежит серии Бальмера и образуется в результате переходов электронов с третьего уровня на второй. Кроме этих переходов возможны также переходы с третьего уровня на первый и со второго на первый. Энергии изучаемых при этом фотонов можно определить по формуле (3):

. В нашем случае Z = 1 и:

Соответствующие фотонам длины волн можно рассчитать по формуле (4) или исходя из соотношения связи энергии фотона с длиной его волны:

. Тогда: и:

Ответ: Е₃₂ = 1,89 эВ; Е₃₁ = 12,1 эВ; Е₂₁ = 10,2 эВ;

₃₂ = 659 нм; ₃₁ = 103 нм; ₂₁ = 122 нм.

Задачи для самостоятельного решения

2.1 Электрон в атоме водорода перешел из состояния n=4 в состояние n=2 . Определить длину волны и энергию испущенного при этом фотона.

2.2 Какую энергию должен поглотить электрон в атоме водорода, чтобы из основного состояния перейти в состояние n=3 ?

2.3 Атом водорода, находясь в основном состоянии, поглотил фотон с длиной волны λ=1.03·10^-7 м . Каким главным квантовым числом n будет характеризоваться возбужденное состояние электрона?

2.4 Атомарный водород возбуждается фотонами с длиной волны

λ=1.03·10^-7 м . Найти длины волн спектральных линий, которые будут излучаться водородом.

2.5 Атомарный водород возбуждается фотонами с длиной волны

λ=0.973·10^-7 м .Какие спектральные линии, принадлежащие видимому спектру, будут излучаться водородом ?

2.6 Найти наименьшую энергию фотона в серии Лаймана спектра водорода.

Какова наибольшая длина волны фотона в этой серии?

2.7 Спектр атомов водорода, возбужденных ультрафиолетовым излучением таков, что в нем имеется только одна спектральная линия λ=6.56·10^-7 м, принадлежащая видимому участку. Какие еще линии имеются в этом спектре? Найти длины волн этих линий.

2.8 Вычислить энергию фотонов, излучаемых атомом водорода, длины волн которых лежат в видимой области спектра от 4·10^-7 м до 7,6·10^-7 м .

2.9 Электрон, находясь в атоме водорода в первом возбужденном состоянии, поглотил фотон с длиной волны λ=4.86·10^-7 м. Определить энергию электрона, поглотившего фотон. Какое значение имеет главное квантовое число n?

2.10 Найти длину волны и энергию фотона, излучаемого однократно ионизированным атомом гелия Не⁺ , при переходе электрона из первого возбужденного состояния в основное.

2.11 Электрон переходит из основного состояния в первое возбужденное в двух случаях 1) в ионе Не⁺ ; 2) в ионе Li⁺⁺ . В каком случае и во сколько раз поглощенная энергия больше ?

2.12 Электрон, находящийся в основном состоянии в однократно ионизированном атоме гелия Не⁺, поглотил фотон с длиной волны

λ=2.56·10^-8 м . Найти главное квантовое число и энергию электрона в возбужденном состоянии.

2.13 Смогут ли однократно ионизированные атомы гелия или двукратно ионизированные атомы лития перейти в возбужденное состояние, если их облучить фотонами с энергией 48.36 эВ ?

2.14 В спектре излучения однократно ионизированных атомах гелия имеются спектральные линии, длины волн которых лежат в области видимого света. Найти длины волн этих спектральных линий. При решении рассмотреть электронные переходы в состояния с главными квантовыми числами n=3 и n=4.

2.15 Какую минимальную дополнительную энергию должен получить электрон, находящийся в первом возбужденном состоянии в ионе гелия (He⁺ ), чтобы оторваться от ядра?

2.16 Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, находящемуся в основном состоянии в ионе лития (Li⁺⁺ ), чтобы он мог перейти в первое возбужденное состояние?

2.17 Сравнить между собой наибольшую длину волны в серии Лаймана в спектре атомов водорода и наименьшую длину волны при излучении ионов гелия, соответствующую переходу из состояния ионизации в состояние c главным квантовым числом n=2. Какая из этих длин волн больше ?

2.18 Как и во сколько раз изменится по абсолютной величине полная энергия электрона в атоме водорода при его переходе из состояния с n=6 в состояние с главным квантовым числом n=2 ? Определить длину волны испущенного при этом фотона.

2.19 Вычислить квантовое число n , соответствующее возбужденному состоянию атома водорода, если при переходе в основное состояние атом излучал два фотона с длинами волн λ₁=1.22·10^-7 м и λ₂=4.86·10^-7 м.

2.20 При переходе из возбужденного состояния с квантовым числом n=5 в основное состояние атом водорода испустил два фотона. Длина волны одного из фотонов оказалась равной λ=12.82·10^-7 м . Найти длину волны второго фотона.

2.21 Электрон, находящийся в основном состоянии в атоме водорода, поглотил фотон с энергией ε₁= 10.2 эВ , перейдя в возбужденное состояние. В этом состоянии он поглотил еще один такой же фотон, перейдя в состояние ионизации. Определить кинетическую энергию электрона вдали от ядра.

2.22 Ион гелия (He⁺) испускает фотон при переходе электрона из состояния c главным квантовым числом n=2 в основное состояние. Этот фотон поглощается атомом водорода, находящемся в основном состоянии. Найти кинетическую энергию электрона, вырванного из атома водорода.

2.23 Имеются ли в спектре излучения атомов водорода спектральные линии с такой же длиной волны, как в спектре излучения ионов гелия (He⁺)? Если да, то приведите примеры.

2.24 Имеются ли в спектре излучения атомов водорода спектральные линии с такой же длиной волны, как в спектре излучения двукратно ионизированных атомов лития (Li⁺⁺)? Если да, то приведите примеры.

2.25 Каким должно быть минимальное число штрихов дифракционной решетки, чтобы она в спектре первого порядка могла разрешить первые двадцать линий в серии Бальмера спектра атомарного водорода ?

2.26 Атом водорода находится в состоянии, характеризуемом главным квантовым числом c n=3. Найти все возможные значения момента импульса электрона.

2.27 В некотором состоянии электрона в атоме водорода наибольшее значение момента импульса равно: . Найти энергию электрона в этом состоянии.

2.28 В некотором состоянии наибольшее значение момента импульса электрона в атоме водорода: . Найти главное квантовое число и энергию в этом состоянии.

2.29 Для электрона в атоме водорода, находящегося в состоянии с главным квантовым числом n=4 , найти наибольшее значение момента импульса электрона L и его проекции L_z.

2.30 Электрон в атоме водорода имеет энергию Е = -1,51 эВ. Найти все возможные значения момента импульса электрона в этом случае.

2.31 Найти все возмжные значения момента импульса электрона в атоме водорода, если его энергия равна E=- E_ih /16 , где E_ih - энергия ионизации атома водорода.

2.32 Электрон в атоме водорода имеет орбитальное квантовое число l=3 . Найти наименьшее из возможных значение главного квантового числа n и соответствующее ему значение энергии электрона.

2.33 Электрон в атоме водорода находится в состоянии с главным квантовым числом n=3 . Какие значения может принимать проекция момента импульса L_z электрона?

2.34 Какие значения может принимать проекция момента импульса L_z электрона в атоме водорода, если ?

2.35 Какие значения может принимать орбитальное l и магнитное m квантовые числа, если электрон в атоме водорода имеет главное квантовое число n = 4 ? Какие значения может принимать проекция момента импульса L_z электрона?

2.36 Электрон в атоме водорода имеет энергию E = -E_ih/9 ( E_ih - энергия ионизации). Найти все возможные значения момента импульса L_z электрона.

2.37 Электрон в атоме водорода находится в состоянии с главным квантовым числом n=4 . Найти наибольшее из возможных значение момента импульса L электрона и его проекции L_z в этом состоянии.

2.38 Наибольшее из возможных значений проекции момента импульса L_z электрона в атоме равно. Найти значение момента импульсаL электрона.

2.39 Найти главное квантовое число n и соответствующую ему энергию электрона в атоме водорода, если наибольшее из возможных значений проекции момента импульса .

2.40 Энергия электрона в атоме водорода составляет четвертую часть от энергии основного состояния. Какие значения может принимать проекция момента импульса L_z электрона в этом состоянии?

2.41 Электрон в атоме водорода находится в состоянии 2р. Найти энергию Е и момент импульса L электрона в этом состоянии.

2.42 Найти энергию Е и момент импульса L электрона в атоме водорода в состоянии 3d. Какие значения может принимать проекция момента импульса L_z в этом состоянии ?

2.43 Электрон в атоме водорода находится в состоянии 4f. Найти энергию Е, момент импульса L и все возможные значения проекции момента импульса L_z электрона в этом состоянии.

2.44 Электрон в атоме водорода переходит из состояния 4р в состояние 3d. Найти отношение моментов импульсов L₁/L₂ и отношение энергий E₁/E₂ электрона в начальном и конечном состояниях.

2.45 Решить задачу 2.44 для перехода из состояния 4d в состояние 2р.

2.46 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: где – радиус Бора и с – постоянная. Найти из условия нормировки постоянную с.

2.47 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: где – радиус Бора и с – постоянная. Определить расстояние r, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

2.48 Нормированная волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: , где - радиус Бора. Найти среднее расстояние < r> электрона от ядра.

2.49 Нормированная волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: , где - радиус Бора. Определить среднее значение < F > модуля кулоновской силы взаимодействия электрона с ядром атома.

2.50 Нормированная волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: , где - радиус Бора. Найти среднее значение потенциальной энергии электрона <П> в основном состоянии.