Примеры решения задач

Задача 1. Параллельный пучок электронов падает по нормали на диафрагму с узкой щелью шириной a = 2 мкм. Ширина центрального дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии l = 50 см от щели, равна b = 80 мкм. Определить скорость электронов (считая ее одинаковой для всех частиц).

Решение.

Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Для определения скорости электронов применим формулу

де-Бройля (1):

.

Положение дифракционных минимумов можно определить по формуле:

.

Из рисунка 1.1 видно, что:

.

Т.к. угол мал, то:

.

Полагая , получим что:

Тогда:

Ответ:

Задача 2. Во сколько раз увеличится длина волны де Бройля у частицы, если ее кинетическая энергия уменьшится от до?

Решение.

В данном случае, кинетическая энергия частицы сравнима с ее энергией покоя. Поэтому для расчета импульса частицы следует воспользоваться релятивистским выражением (4):

Согласно (2), длина волны де Бройля равна:

Аналогично, во втором случае:

Тогда, отношение длин волн де Бройля равно:

Ответ:

Задача 3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной “потенциальной яме” шириной в состоянии сn =2.

1). Вычислить вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале

2). Найти точки и, в которых плотность вероятности обнаружения частицымаксимальны.

Решение

1). Вероятность обнаружить частицу в интервале определяется равенством (8):

,

где - нормированная волновая функция частицы, в данном состоянии.

Согласно (7), возбужденному состоянию (n = 2) отвечает функция

.

С учетом этого:

.

Так как: ,ито:

.

2). Согласно (7), плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой равна : . График этой функции для состояния сn = 2 приведен на рисунке 1.2.

Функция имеет максимумы когда, т.е. при(-целое число),.

Примем: = 0

= 1

Ответ: 1). ; 2). , .

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить отношение длин волн де Бройля для электрона и протона, прошедших в электрическом поле из состояния покоя одинаковую разность потенциалов.

2. Ядро дейтерия (₁H²) и альфа-частица (₂Не⁴) прошли в электрическом поле из состояния покоя одинаковую разность потенциалов. Найти отношение длин волн де Бройля для этих частиц.

3. В однородном электрическом поле напряженностью E = 100 кВ/м из состояния покоя начинает двигаться электрон. Найти длину волны де Бройля электрона, когда он пройдет расстояние S = 1 см.

4. Частица с кинетической энергией Т = 200 эВ, и имеет длину волны де Бройля, равную 0,00202 нм. Найти массу этой частицы.

5. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью, равной м/с.

6. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля у частицы, если ее скорость изменится от м/с дом/с?

7. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, у которого кинетическая энергия в 2 раза меньше его энергии покоя.

8. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля частицы, если ее кинетическая энергия изменится от до?

9. Какую кинетическую энергию надо дополнительно сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от =0,2 нм до=0,1 нм?

10. Вычислить значение длины волны де Бройля для тепловых нейтронов, скорость которых равна средней квадратичной скорости при температуре T = 300 K.

11. Во сколько раз уменьшится длина волны де Бройля тепловых нейтронов в активной зоне ядерного реактора, если температура повысится от 600 до 1200 K? Расчет вести по средней кинетической энергии нейтронов.

12. Во сколько раз увеличится длина волны де Бройля у альфа-частицы, если при движении в воздухе ее кинетическая энергия уменьшается от 5 МэВ до средней кинетической энергии теплового движения при температуре T = 300 K ?

13. В результате фотоэффекта из вольфрамовой пластины (эВ) вырваны электроны. Длина волны падающего света 200 нм. Найти минимальную длину волны де Бройля фотоэлектронов.

14. При ионизации атома водорода был поглощен фотон с длиной волны нм. Найти длину волны де Бройля электрона. Энергия ионизации атома водорода 13,6 эВ.

15. Ядро плутония Pu²³⁹ испускает альфа-частицу с энергией 5 МэВ, превращаясь при этом в ядро урана U²³⁵. Считая, что ядро плутония свободно и до распада покоилось, найти длину волны де Бройля ядра урана.

16. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл, альфа-частица движется по окружности радиуса R = 1 м. Найти длину волны де Бройля этой частицы.

17. Считая, что расстояние между атомами кристалла равно 0,3 нм , найти минимальную разность потенциалов, которую должен пройти поток электронов, чтобы при отражении от кристалла можно было наблюдать их дифракцию.

18. Возбужденное ядро урана U²³⁵ переходит в основное состояние, испуская -квант с энергией 0,5 МэВ. Считая, что первоначально ядро покоилось, найти его длину волны де Бройля после перехода в невозбужденное состояние.

19. Рентгеновский фотон с длиной волны = 0,01нм претерпевает комптоновское рассеяние на свободном электроне. Угол рассеяния. Определить длину волны де Бройля электрона отдачи.

20. Параллельный пучок электронов, с кинетической энергией 50 эВ падает на щель. Ширина главного дифракционного максимума на экране, расположенного на расстоянии 1 м от щели равна 10 см. Определить ширину щели.

21. Узкий пучок электронов с кинетической энергией Т= 200 эВ, падает по нормали на поверхность кристалла. В направлении, составляющем угол с нормалью к поверхности кристалла, наблюдается дифракционный максимум четвертого порядка. Вычислить величину межплоскостного расстояния в кристалле.

22. Параллельный пучок электронов с кинетической энергией Т = 20 эВ попадает на диафрагму с двумя параллельными щелями. Найти ширину интерференционных полос на экране, удаленном от диафрагмы на 2 метра, если расстояние между щелями d = м.

23. Найти длину волны де Бройля молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.

24. Вычислить длины волн де Бройля электрона, протона и атома урана, имеющих кинетическую энергию 100 эВ

25. .Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от 100 до 50 пм?

26. Внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,1 нм найти точки и, в которых плотность вероятности обнаружения частицыв состоянии сn = 2 принимает максимальные значения. Вычислите значения в этих точках.

27. Внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,3 нм найти точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии с n = 3 равна 0.

28. В каких точках ивнутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии сn = 1 равна половине максимальной? Ширина “ямы” =0,2 нм.

29. В каких точках внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,2 нм плотности вероятности обнаружения частицы в состояниях с иодинаковы? Найти плотности вероятности обнаружения частицы в этих точках.

30. Внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,4 нм найти точки, в которых плотности вероятности обнаружения частицы в состоянии с n = 4 равны 0.

31. Вычислить значения энергии трех первых уровней электрона в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной =0,3 нм.

32. Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме”, найти отношение разности энергий соседних энергетических уровней к энергии частицыв состояниях си. Как меняется это соотношение при?

33. Для протона, находящегося в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной см, найти наименьшую разность энергиймежду энергетическими уровнями.

34. Альфа – частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной и обладает таким же набором значений энергии, как и протон в яме шириной. Найти отношение.

35. Альфа – частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии, характеризуемом квантовым числом n = 2. В каком состоянии в той же яме должен находиться протон, чтобы иметь то же значение энергии? Вычислить эту энергию для “ямы” шириной =0,1нм.

36. Электрон, находясь в “потенциальной яме”, переходит из состояния с n = 3 в состояние с n = 1, излучая фотон с длиной волны нм. Найти ширину“потенциальной ямы”.

37. Определить ширину “потенциальной ямы” , если минимальная разность энергий электрона в ней равна 1 эВ.

38. Для микрочастицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n=1, найти вероятность ее обнаружения в области , где- ширина ямы.

39. Для микрочастицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n = 6, найти вероятность ее обнаружения в области , где- ширина ямы.

40. Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n=1, найти вероятность ее обнаружения в области , где- ширина ямы.

41. Решить задачу 1.40 для частицы, состояние которой характеризуется квантовым числом n = 2.

42. Частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n = 3. Вычислить вероятность обнаружения частицы в интервале, ограниченном соседними точками, в которых плотность вероятности обнаружения частицы принимает максимальное и минимальное значения?

43. Частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме”. Найти три наименьших значения n (номера состояний), при которых вероятность ее обнаружения в области равна 1/3.

44. Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной , найти три наименьших значения квантового числаn, при которых вероятность ее обнаружения в интервале равна 1/4.

45. Частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной =0,8нм. При каком наименьшем значении квантового числа n вероятность ее обнаружения в интервале нм равна 3/8?

46. Найти вероятность обнаружения частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n=1, в интервале, ограниченном точками и, в которых плотность вероятности составляет половину максимального значения.

47. Электрон в одномерной “потенциальной яме” с бесконечно высокими стенками шириной пм находится в возбужденном состоянии (n = 4). Определить:

- минимальную энергию электрона в этой “яме”

-вероятность обнаружения электрона в области .

48. Электрон находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной пм . Определить наименьшую разность энергий электрона.

49. Минимальная разность энергийэлектрона, находящегося в бесконечно глубокой “потенциальной яме”, равна 4,48 эВ. Определить ширину“ямы”.

50. Энергия электрона, находящегося в бесконечно глубокой “потенциальной яме”, в возбужденном состоянии (n = 4) равна 9,37 эВ. Определить ширину “ямы”.

2. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА. СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМА ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫХ ИОНОВ.

В атоме водорода в области около ядра движется один электрон. Также одноэлектронными являются ионы Не⁺ и Li⁺⁺, заряды Z ядер которых, в единицах элементарного заряда, соответственно равны двум и трем. Эти ионы называются водородоподобными ионами.

Так как уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода и водородоподобных ионах имеет один и тот же вид, то и поведение этих систем во многом идентично. Координатные части волновых функций электронов в них зависят от заряда ядра Z, главного квантового числа n (n = 1, 2,3, …) , орбитального квантового числа (= 0, 1, 2, ...n-1), магнитного квантового числа m (m = 0, ± 1, ± 2, …± ).

Состояния электронов с различными значениями орбитального числа l принято в атомной физике обозначать латинскими символами следующим образом:

–0 1 2 3 4 5

символ – s p d f g h

Номер уровня (совпадает с главным квантовым числом n), на котором находится электрон, указывается числом перед символом (например, 1s, 2p, 3d и т.п.).

В состояниях с определенными значениями квантовых чисел иm, момент импульса L электрона и проекция этого момента L_z на ось OZ соответственно равны:

; ; (1)

Уровни энергии электрона в указанных системах являются дискретными и зависят от Z и n:

, (2)

где эВ – энергия ионизации атома водорода.

При переходе электрона с уровня k на более низколежащий уровень с номером n, атом излучает фотон, энергия которого, согласно закону сохранения энергии, равна:

(3)

Длина волны этого фотона описывается выражением:

; (4)

где - постоянная Ридберга.

При поглощении атомом фотона, с указанной выше энергией и длиной волны, электрон в атоме переходит с уровня n на более высоколежащий уровень с номером k.

Серия спектральных линий, излучаемых атомами водорода, при переходах электронов в них на первый уровень с более высоколежащих называется серией Лаймана. Переходам на второй уровень соответсвует серия Бальмера. Первые четыре линии этой серии, соответствующие переходам с 3, 4, 5, 6 уровней на второй, лежат в видимом участке спектра, остальныые в ультрафиолетовом.

Далее следуют серии Пашена, Брэкета, Пфундта, образующиеся при переходах на 3, 4, 5 уровни с шестого и выше.