книги из ГПНТБ / Электрооборудование и автоматизация сельскохозяйственных агрегатов и установок учеб. пособие

К апериодическому звену можно отнести обмотки управления элект­ рических машин, магнитных усилителей и ряд других устройств. Необ­ ходимо отметить, что апериодическое звено наиболее часто отображает реальные конструктивные элементы САР.

^^ Дифференцирующее звено. Различают

идеальное и реальное дифференцирующие

бзвенья. В этих звеньях выходная величина

Уличина пропорциональна скорости измене­

-----i - -0 ния входной.

90

Примером электрических интегрирующих звеньев могут служить электрический двигатель, у которого можно пренебречь постоянными времени (электромагнитной и электромеханической), идеализирован­ ный интегрирующий контур с емкостью (рис. 45, а) и т. п. Временная характеристика интегрирующего звена показана на рис. 45, б. Как видно из этого рисунка и уравнения (5-13), при подаче на вход звена постоянного возмущения на выходе звена получается величина, воз­ растающая линейно с течением времени.

Колебательное звено. Звено называется колебательным, если выход­ ная величина при подаче единичного возмущения на вход достигает установившегося значения через гармонический переходный процесс.

Дифференциальное уравнение коле­ бательного звена имеет вид

Uбы*.

нение системы в целом составляют на основании уравнений отдельных звеньев.

В общем виде дифференциальное уравнение системы может быть

торые входят постоянные времени, передаточные коэффициенты и дру­ гие постоянные величины, стоящие при членах производных левой и правой части дифференциального уравнения.

Если система состоит из п звеньев, то порядок высшей производной уравнения системы как левой, так и правой частей будет равен сумме степеней соответствующих частей уравнений отдельных звеньев.

91

Из уравнений (5-9) — (5-14) видно, что порядок производной левой части уравнения выше, чем порядок производной правой части, поэтому

R

Рис. 46. Колебательное звено:

а электрическая схема; б — временная характеристика устой­ чивого звена; в — временная характеристика неустойчивого звена.

в дифференциальном уравнении (5-15) степень правой части т не может быть больше п, и, как правило, т < п.

92

S.4. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

При исследовании и расчетах САР широкое применение находит математический метод, называемый п р е о б р а з о в а н и е м Л а п ­ л а с а . Этот метод позволяет функцию / (t) одного переменного (обычно времени) преобразовывать в функцию / (р) другого переменного (на­ пример р) с помощью соотношения

Преобразование Лапласа позволяет произвести алгебраизацию дифференциальных уравнений, т. е. операции дифференцирования

иинтегрирования заменить алгебраическими операциями умножения

иделения. При этом производная я-го порядка заменяется произведе­ нием оператора р в я-й степени на изображение F (р)

Следовательно, формально оператор р можно рассматривать как символ дифференцирования р = ~ . Это позволяет заменять производ­

ные в дифференциальных уравнениях произведениями, состоящими из операторов р в степени, равной порядку производной, умноженных на изображение переменной, т. е. переходить от дифференциальных уравнений к операторным.

О п е р а т о р н ы е у р а в н е н и я находят широкое примене­ ние при исследовании систем автоматики и позволяют получить пере­ даточные функции как отдельных звеньев, так и САР в целом.

П е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и е й э л е м е н т а и л и с м ­ е т е м ы называется отношение лапласового изображения соответ­ ствующей выходной величины к лапласовому изображению входной величины при нулевых начальных условиях, т. е. при условии, что элемент или система находились в состоянии покоя (t <; 0). Переда­

93

точная функция обозначается через W (р) и записывается в следую­ щем виде:

У (р) __ Л [у (Q]

(5-20)

•V(Р) А [* (t)]

Необходимо заметить, что преобразования Лапласа для функций, часто встречающихся в задачах регулирования, найдены и даются в справочных таблицах, где указаны оригинал / (t) и его изображение F (р). В качестве примера приведем несколько оригиналов и их изобра­ жений

функцию обмотки возбуждения машины постоянного тока. Входной величиной является напряжение, приложенное к обмотке UB, выход­ ной — ток возбуждения /„.

В статическом режиме уравнение обмотки возбуждения с приложен­ ным к ней напряжением 0 Вбудет иметь вид UB= RBIB.

В динамическом режиме в цепи появляется э. д. с. самоиндукции eL = — LB~~j, и алгебраическое уравнение превращается в дифферен­ циальное

откуда

Уа= ІsRb+ LB .

Разделим левую и правую части дифференциального уравнения на RB

№, = /, + 7 -» |..

На основании преобразования Лапласа перейдем от переменной t к переменной р и получим операторное уравнение

kitв (р) = / в (Р) + ТвРі в (р) = (1 + Г вр) / в (р ).

Согласно выражению (5-20) напишем передаточную функцию об­ мотки возбуждения

94

Пример 2. Составить операторное уравнение и найти передаточную функцию для электрической схемы на рис. 44, в.

Запишем дифференциальные уравнения для отдельных участков цепи. Напряжение UBX, приложенное к схеме, будет равно

Выходное напряжение і/вых определится как

Ѵ В Ы Х ~ ^ R ,

где I — сила тока, протекающая по сопротивлению R. Разделим оба уравнения на R

R U b x = = I + R C Ü 1 d t '

1 U —/

и ВЫХ — ' •

Обозначив ~ = k и RC = T, получим

Перейдем в уравнениях от переменной t к переменной р\

Решив совместно оба уравнения, получим операторное уравнение

Передаточная функция схемы будет выглядеть так:

следуя методике нахождения операторных уравнений и передаточ­ ных функций в рассмотренных примерах, составим операторные уравнения и передаточные функции для типовых звеньев систем автоматики. Операторные уравнения и передаточные функции для типовых звеньев будут соответственно иметь следующий вид.

Безынерционное звено

95

Операторное уравнение САР в общем виде на основании уравнения (5-15) будет иметь вид

Необходимо заметить, что знаменатель выражения (5-34) является левой частью характеристического уравнения системы. Передаточные функции являются очень важным средством для выявления устойчи­ вости и качественных показателей САР.

5.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Частотные характеристики находят широкое применение при ана­ лизе систем автоматики и могут быть получены как для отдельного зве­ на, так и системы в целом. Существуют а м п л и т у д н ы е , ф а з о ­ в ы е и а м п л и т у д н о - ф а з о в ы е частотные характеристики.

Если на вход линейной разомкнутой системы подать гармоническое возмущение (рис. 47), то на выходе системы получим гармонический

96

сигнал той же частоты, но с другой амплитудой и фазой. Амплитуда и фаза на выходе будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. Подавая на вход возмущающее воздействие постоянной амплитуды и разной частоты, получим частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика

(5‘3э)

где Авых (со,) и Авх (со,) — амплитуды выхода и входа при частоте со,-.

Фазовая частотная характеристика

ленной частоты со находят значение фазы ф (со), откладывают его в виде угла от горизонтальной оси по часовой стрелке, если угол отри­ цательный, и против часовой стрелки, если угол положительный. Под этим углом проводят луч, на котором откладывают величину амплитуды К (со), взятую с графика амплитудной характеристики при той же частоте. Получают точку для частоты со, затем таким же образом строят точки для других частот, соединив которые, получают кривую, называемую амплитудно-фазовой характеристикой. Таков путь получения частотных характеристик экспериментально.

Если в выражение передаточной функции звена или разомкнутой

Если в формулы (5-37) — (5-39) подставить значения со от 0 до со, то получим значения для построения искомых амплитудно-фазовой,

амплитудной и фазовой характеристик. Таким образом можно построить частотные характеристики для любого звена и системы.

На рис. 48 приведены амплитудно-фазовые характеристики типо­ вых звеньев.

5.6.СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ САР И СПОСОБЫ ИХ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Системы автоматического регулирования, кроме принципиальной и функциональной схем, которые рассмотрены в разделе (1.3), можно представить и в виде структурной схемы.

Іи

Рис. 49. Принципиальная схема САР напряжения генератора постоян­ ного тока с электромашинным усилителем:

ЭМУ — электромашинный усилитель; Г — генератор; ЭУ — электронный усили­ тель; ОУ — обмотка управления ЭМУ; ОВГ — обмотка возбуждения генератора.

С т р у к т у р н о й с х е м о й САР называется такая схема, в ко­ торой вся система делится на звенья направленного действия, разли­ чающиеся по их динамическим свойствам. На структурной схеме эле­ менты систем изображаются в виде прямоугольников; причем какоелибо конкретное устройство может быть представлено несколькими

98

звеньями направленного действия, которые передают сигнал только в одном направлении от входа к выходу, и, наоборот, одно звено может представлять несколько конкретных устройств.

Разделение системы на звенья производят в зависимости от вида уравнения или передаточной функции, связывающих выходную величину каждого звена с входной. Внутри прямоугольника указы­ вается передаточная функция Wt (p) каждого звена, а связь между звеньями изображается линиями с нанесенными на них стрелками, ука­ зывающими направление и точки приложения воздействий.

Структурная схема САР напряжения генератора постоянного тока

Рис. 50. Структурная схема САР напряжения генератора постоянного тока с ЭМУ.

контура от входа электронного усилителя ЭУ (входная величина Unx) до поперечной цепи ЭМУ. Выходной величиной этого участка будет э. д. с. Eq поперечной цепи якоря ЭМУ. Согласно методике нахожде­ ния передаточных функций передаточная функция первого звена будет равна

За в т о р о е з в е н о н а п р а в л е н н о г о д е й с т в и я принят участок, входом которого будет э. д. с. Ед, а выходной величи­ ной звена — э. д. с. Еа продольной цепи якоря ЭМУ.

Передаточная функция второго звена будет

где k%— передаточный коэффициент второго звена; Тд — постоянная времени поперечной цепи ЭМУ.