Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Процессы взаимной диффузии в сплавах

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

с дополнительными условиями

Аdu 2

А » и "

а 2 ,

п=0

Аі«о = ах «о 4- 6 Ь

а 2 "і + Рг-

п=0

Здесь

«о

и ti[ представляют

крайние

точки

прямолинейных

участков. Отметим также, что, согласно

условию

(4.27), необхо

димо, ЧТОбЫ р1 = р 2 = р \

Такая

апроксимация

после

подстановки

соответствующих

величин в выражения

Матано — Больцмана

(4.18)

и (4.19) при

водят к следующей формуле для определения

D (с)

[147]:

D (с) =

exp (u2 ) 2

пАпи-1

lxMC

+ і

exp ( -

«2 0 ) -

n=l

" "

— PC (u0)

7Г (erf u — erf U0)

( я - 1 ) ( я - 3 ) . . . 1 м

, ,

n=2,4,...

exp ( - u2 ) J ; AnFn

(u) -

exp ( - «o2) 2

("o)l(4-29)

где

n-=l

n=l

xu = -

- § = exp ( - ul) +

PC («„) 4-

4- - 5 - (erf ui — erf u0 )

A . +

( Я - 1 ) ( Я - 3 )

2 n/2

n=2,4,...

^„F„ («x ) — exp (— Ыо) 2

Д х ^ л («o)

2Yn

exp (— «1) 2

n=i

- ^ е х р ( - « і 2 ) 4 - р [ 1 - С ( м 1 ) ] ,

(4.30)

a JF„(H) —полиномы, введенные на стр. 147.

Легко увидеть из (4.27), что ы = 0 при х—хьъ

Тогда из (4.28)

получим, что постоянная

р должна

равняться

х м . Такое

соот

ветствие в принципе позволяет применять метод итерации при вычислении х„ по формуле (4.30). Однако оценки показывают,

что

значение хы

мало

чувствительно

к ошибке

определении

В по экспериментальной кривой,

так

как

6 входит

(4.30) с

коэффициентами

С(и0)

1 — С(щ),

величина

которых

обычно

не

превышает

0,02—0,03. Таким

образом,

применение

метода

последовательных

прибли

сАи,ам/,

жений для вычисления

Л'м

практически

не требуется.

На

рис.

4.3

показан

пример

использования

предложенного

работе

[147]

метода

апроксима-

цин

(взаимная

диффузия

между

Ag,

900° С,

і! =

50час). В данном

кон

кретном

случае

С(«0 ) =

1 — C(wi) =0,024;

от

сюда

следует, что вклад в

(4.30)

членов,

содержа

щих

В,

составляет

лишь

около 5%. Поэтому, да

же

допустив,

что

при

приблизительной

оценке В

ошибка

составляет

100%,

•800 -600-400 -ж о

200

400

600

мы

все же внесем в окон

Х.мк

чательный результат

для

х„ ошибку, не превышаю

Рис.

4.3. Апроксимированная

концентраци

щую 5%.

онная

кривая на

вероятностной диаграмме.

Сверху для сравнения приведена обычная кон

Вообще говоря, исполь

центрационная кривая.

зование

формул

(4.29) и

(4.30) требует довольно громоздких вычислений. Однако их легко выполнить при помощи ЭВМ [147], причем в результаты

расчета		D(c) не вносится дополнительной ошибки из-за непра
вильной		асимптотики			апроксимирующей				кривой (см. рис. 4.3).
Подробности вычислительных							операций и сравнение резуль
татов	расчета		D(c)		различными			методами		будут	изложены
в § 4 и 5.
		§	3. Методы расчета D(c),						основанные
		на прямом интегрировании уравнения (4.1)
В §		1 мы отмечали, что решение уравнения								(4.1) для случая
£>=^const, данное				Больцманом			(см. (4.11)),			нельзя	использо
вать	для расчета			D(c)		на основе		экспериментально			определяе
мого графика			с=с(х,		t).	Это связано с тем, что искомая функ
ция D(c) входит в соотношение								(4.11)	под знаком		интеграла.
Поэтому, если			рассматривать (4.11) как уравнение относительно


D(c),		то	решение			его оказывается		очень сложным		и	не сво
дится		к	простому			вычислению	D (с)		при известных		значени
ях с(х,		t).
Возможен, однако, особый подход к задаче определения D (с)
из	уравнения			(4.1). Он заключается в том, что задается опре
деленный вид зависимости D от концентрации, причем											парамет
ры,	входящие			в	это выражение,			остаются неопределенными.
Затем		решают		уравнение (4.1)			с	использованием		выбранной
формы для D(c).					В результате получается аналитическое реше
ние	для		с(х,	t)	с	неопределенными			параметрами.	Последние

определяют путем сравнения найденного решения с эксперимен
тальной концентрационной кривой. Тем самым, автоматически
полностью	определяется вид D (с). Метод, таким образом, су
щественно	зависит от «удачного выбора» формы D\c).^

Любов	и Максимов [149]	предложили задавать D	в виде
линейной	функции от концентрации:
	D=D°	+ ac.	(4.31)

Вообще говоря, любую функцию можно апроксимировать рядом Тейлора, причем линейное приближение будет первым приближением такого разложения, заведомо пригодным только в узких интервалах концентраций, т. е. апроксимация, предло женная Любовьш и Максимовым, наиболее пригодна при близ ких составах сплавов, между которыми происходит взаимная диффузия. Другими словами, апроксимацию (4.31) можно за ведомо считать справедливой, если при решении уравнения

дс	_	_ д _	(4.32)
dt	~	дх

начальные условия (4.3) выбирают специальным образом (т. е. перепад концентраций между исходными сплавами считают малым).

Ряд авторов предлагал другие апроксимации величины D(c).

В работе		[138] D(c)		выбиралось в виде экспоненты, Кранк
[29]	апроксимировал			D(c) параболой.		Однако,		как	показали
результаты		вычислений, практическую				ценность		для	расчета
D(c)	имеет лишь		метод Любова		и Максимова		[149], и поэтому
его следует разобрать более подробно.
Сформулируем			начальные и		граничные		условия		(4.3) в
виде	[149]
		с(х,		0) = с , + 1 ,	при	х>0,
		с(х,		Q)—Ci,	при	х < 0 ,
		с(оо,		t)=ci+i,

С ( - о с ,

t)=Ci

и введем замену	переменных
	z =
					(4.33)
так что с учетом	(4.6) получаем
	2	(_	с { + с і + 1
Тогда уравнение (4.32) запишется следующим образом:
	d [ ( l + ™ ) J ^ ]		+ 2 2 J g - =	0	(4.35)
	dz
с условием	fi) ( ± о о )		= ± 1 ,
где	fi) ( ± о о )		= ± 1 ,
где	_ a ( c i + 1		- ct )
	_ a ( c i + 1		- ct )		(4.36)
					(4.36)
		2D
Любов и Максимов искали решение уравнения				(4.35)	в виде ря
да по степеням параметра %
CD(Z)=CU0 (2)+XCUI(Z)+X2 CO2 (2)+ . . . .					(4.37)

причем в работе [149] показано, что шо является четной, a a>i — нечетной функциями своего аргумента. Подставив последнее со отношение в (4.35) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях к, можно определить (Во, © і И ©2-

В линейном приближении по х нетрудно получить простые

соотношения для определения D. Действительно, если известна концентрация в двух точках Х\ и —хи то из (4.37) находим в ли нейном приближении

c o ( 2 l ) - c o ( - 2 l ) = a ) o ( 2 i ) |

< Щ ± ^ )

= К_

( 4 3 8 )

Определив из (4.38) (с учетом (4.33), (4.34) я (4.36)) Ъ и и, можно затем из (4.33) и (4.36) определить а и D°.

Рассматриваемый метод прост и удобен, но требует выполне ния некоторых условий. В первую очередь сама постановка зада чи требует, чтобы функция б (с) была линейна. Очевидно, этому условию можно удовлетворить, выбирая достаточно близкие на чальные концентрации диффузионных пар. Но для того чтобы получить простые соотношения (4.38) для определения D'(c), пришлось ограничиться первым приближением в решении (4.37). Пределы применимости такого приближения требуют, однако, специального обсуждения.

Авторы [149] указывают, что ряд (4.37) сходится абсолютно
При Х < 1 , ЄСЛИ \| c O i ( z ) \| ^ 1 ,		\| 0)2 (г) \| ^ 1 И Т . Д. Вычисление (Oi (г)
и ©o(z) показало,	что последнее условие выполняется хорошо.
Более того, \|©2(г)	\|<\|U>I(Z)	\|. Последнее неравенство, очевидно,
улучшает сходимость ряда		(4.37).

Однако для полного выяснения сходимости ряда необходимо оценить также величину параметра х. Из (4.36) видно, что па раметр х тем больше, чем больше а, т. е. чем сильнее концент рационная зависимость D(c). Для удобства рассуждений вве дем величину К= D (Cj+i)/D'(Ci), где D'(Cj) и D(ci+i) — коэффи циенты взаимной диффузии при граничных концентрациях. Пос

ле преобразований		получим	из (4.36) с учетом (4.33)
График функции к(К)			представлен на рис. 4.4; как мы ви
дим, при всех	К>0	(величина К не может быть отрицательной,
так как по своему		физическому смыслу величины		D всегда по
ложительны)	\| и \| < 1 . Но для того чтобы линейное			приближение
было достаточно		строгим	при всех значениях z,	необходимо,

Рис. 4.4. График зависимости	Рис. 4.5.	Расчет коэффициента
малого параметра "л от К-	взаимной	диффузии	методом
	Любова	и Максимова	(сплош

				ная	кривая) и обычным графи
					ческим методом (точки).
чтобы параметр			х был достаточно мал. В работе			[149] было по
лучено	хорошее		согласие с	расчетом	по методу Матано при
х = 0,21.	Если	принять верхним допустимым пределом для \>i\
число 0,3, то		отсюда следует, что в выбранном				концентрацион
ном интервале коэффициент				взаимной	диффузии	D не должен
меняться больше, чем в два				раза.

Рассмотрим пример применения метода Любова и Максимова для расчета D(c) [23]. Воспользуемся концентрационной кри вой, полученной при диффузии между Ni и сплавом 80% Ni + +20% Сг (рис. 4.5) при 1200° С за время отжига 50 час. Выбор этой кривой оправдывается тем, что графический расчет показал

слабую зависимость D(c) в исследуемом концентрационном интервале. В самом деле, из результатов расчета В и %, приве


денных для ряда значений х\						в табл. 4.1, следует, что к доста
точно мало и это свидетель
ствует о слабой зависимости
D от концентрации.						ДГ\|, мк	= 10	X
Интересно			отметить,		что		D • 10 , см^сек

вблизи	значений			2=0,65,
где функция сої меняет знак						7,5	5,8	0,17
(см. [149]), расчет х за						57,0	5,5	0,11
труднен	вследствие			быстро		85,0	5,1	0,07
го изменения			U>I(Z). ЭТО			106,0	5,0
изменение		делает		расчет		127,0	4,85
						148,0	4,25	0,18
очень	чувствительным				к

ошибкам,		допускаемым			при	Среднее	5,1	0,13
определении			концентрации

по экспериментальной кривой. Поэтому в табл. 4.1 пропущены

значения % в «опасной области» значений Х\	(106—127 мк).
По усредненным значениям D и % было определено оконча
тельное выражение для Ъ(с) вида
Ъ{с) = (4,32+6,90 ссг) • Ю - 1 0	см2/сек.

Из рис. 4.5, где эта зависимость сравнивается со значениями, полученными по графическому методу Матано, видно, что оба метода дают в рассматриваемом случае хорошее согласие. Та ким образом, значение и с р = 0 , 1 3 гарантирует применимость ре шения (4.37) в линейном приближении.

Итак, проведенный анализ показывает, что метод, предложен ный Любовым и Максимовым [149], при достаточной простоте вычислений н удобстве, заключающемся в возможности прове дения расчета даже по части концентрационной кривой, обеспе чивает надежное вычисление D(c) в случае, когда в действитель ности в рассматриваемой области концентраций коэффициент взаимной диффузии меняется монотонно и достаточно плавно.

§ 4. Сравнение аналитических методов с графическим

Для сравнения ценности и точности описанных выше мето дов, обсудим результаты определения с их помощью концентра ционной зависимости коэффициента взаимной диффузии с ис пользованием экспериментальных концентрационных кривых для систем Си—Ni [147] (две кривые), U—Zr [151] и Au—Ag [148]. Графический метод, метод полиномов и усовершенствован ный аналитический метод применялись при расчете D(c) для всех трех систем. Метод же Холла удалось использовать только для системы Си—Ni с вероятностной диаграммой, содержащей

достаточно широкий почти прямолинейный участок в экспе риментальной области. Заметим, кстати, что и сам Холл разра ботал свой метод применительно к системе Си—Ni [146].

Расчеты методом полиномов и усовершенствованным анали тическим методом проводились следующим образом. На элект ронной вычислительной машине М-20 решали сначала систему линейных относительно Ап уравнений с постоянными коэффи циентами и"

Xj. =	V	Ап1Д,
	/1=0
%г ~	і N	^пЩ-і
%г ~	2	^пЩ-і
	п=0
где t ' = / V + l , xh и Uk (k=l,...,		і) —некоторые фиксированные
точки, определяемые по экспериментальной кривой с(х), нане

сенной на вероятностную диаграмму. Решение этой системы по зволило определить коэффициенты Ak апроксимнрующего поли нома (4.22). В обоих методах коэффициент взаимной диффузии

параметрически зависит					в конечном счете лишь от А%; поэтому,
										Т а б л и ц а 4.2
		Коэффициенты			апроксимнрующего					я- , мк
Система				полинома, мк						м
									по		графи
		А0		Ай	А,	А,		л.		по
			-1.				А ,				ческим
									(4.23)	(4.30)
											методом
Cu—Ni
7=1000°С,		—18	39,63	41,57 46,92		7,05	— 13,80	— 5,98	-2,00	0,82	0,0
1—48 час
Си—Ni
Г=1000°С,
(=24	час	—12	34,09	25,66 16,89 —6,42			—5,52		-3,98	—3,28	- 2 , 3
U—Zr
Г=1000°С,
(=24 час		—194 118,32		39,68 79,75		49,28	—12,07 —15,95 —167,12 — 161,52				—163,2
Ag—Аи
7=900о С,
/=50	час	—40 373,96		96,95 57,94 —27,96 —22,90				— 12,49		—8,81	— 8,0
подставляя их в соответствующие выражения									(для метода поли
номов— в формулы				(4.23) и (4.24), а для усовершенствованного
аналитического			метода — в формулы (4.29) и						(4.30)), вычисляли
х м и Я. В табл. 4.2 приведены полученные таким способом											значе
ния	Ak и хы для концентрационных кривых								указанных		систем.
График		одного	из	апроксимирующих				полиномов		(для системы

Au — Ag) представлен на				рис. 4.3, на		нем		пунктирной			линией
показано его продолжение				за пределы		области			(«о, «i)> где про
водилась апроксимация. Как мы видим,							оно значительно отли
чается	от	асимптотического			поведения			решения		уравнения
(4.1). Очевидно, что с этим связано						и	существенное				отличие
вычисленной		по методу		полиномов		координаты				плоскости
Матано	хм	от	ее координаты,		найденной			другими		методами
(см. табл. 4.2).
Результаты			вычисления	D (с) приводятся					на рис. 4.6. Как

видно из табл. 4.2, метод полиномов дает и для других систем

заметно отличные от правильных данные для хм,

а следователь

но, и для D. Поэтому

на рис. 4.6 приведены

результаты

расчета

D(c)

методом

полиномов только

для

системы

медь — никель

(см. рис. 4.6, б), для которой различие

в вычисленных

значени

ях

я м

минимально. Из

других

систем

рассмотрим,

например,

U — Zr,

где хи

отличается

от

значения, полученного

графиче

ским

методом,

на

3,92

мк

(отметим,

что,

как

показали

соответствующие

оценки,

вероятная'

ошибка

при

графиче

ском

определении

хм

при

использованных

здесь

для

расче

та

кривых

не превышает + 1

мк).

Расчет

по

методу

поли

номов

при

с = 9 6

ат.

дает

значение

3,6 - Ю - 9

см2/сек,

графический расчет — 5,7 - Ю - 9

см2/сек,

формула

(4.29) —

4,8-Ю-9

см2/сек.

Из приведенных данных видно, что результаты, полученные графическим методом Матано и развитым в [147] усовершен ствованным аналитическим методом в области концентраций

0,1 <С , _ с „ < 0 . 9 . полностью совпадают. Хотя величины D, най денные методом полиномов, по своим абсолютным значениям также близки к значениям, полученным другими методами, caai метод нельзя считать строго обоснованным, и поэтому найден ный с его помощью концентрационный ход D(c) может заметно отличаться от действительного. Аналитический метод Холла дает надежные результаты в том случае, когда прямолинейные участ ки на вероятностной диаграмме соответствуют асимптотическо му условию (4.27) (например, область от 10 до примерно 40 ат. °/о

Си на рис. 4.6, а, где DTXconst).

Интересно также отметить, что, как показывает проведенное сравнение методов расчета (см. рис. 4.6), в средней части кон центрационной области разброс в значениях D обычно не пре вышает ± 5 % . На краях концентрационной области разброс уве личивается довольно значительно, что объясняется ухудшением точности методов расчета (и особенно графического метода). Однако разброс вследствие применения к одним и тем же кон центрационным кривым разных методов расчета все же значи тельно меньше разброса экспериментальных данных, полученных разными авторами (см. [23]).

Рис. 4.6. Значения		D, вычисленные	для ряда	систем	различными		методами.
а —система	Си —Ni	(1000° С, 48 час); б — система		Си — Ni	(1000° С,	24 час);	в — систе
ма и — Zr	(1000° С, 24 час); г —система		Au — Ag	(900° С 50 час).		Зачерненные круж

ки—расчет	графическим	методом	Матано (формула	(4.18));	светлые кружки — расчет
методом Холла (формула		(4.21));	крестики — расчет	методом	полиномов	Барудн (фор
мула	(4.24)); треугольники — расчет методом апрокснмацпи (формула					(4.29)).

§ 5. О возможности применения вычислительной техники

для расчета методом Матано — Больцмана

Опыт применения графического метода Матано [136] пока зывает, что необходимые вычислительные операции достаточно трудоемки. Вместе с тем, при заданной концентрационной кри вой, точность определения D(c) этим методом зависит — помимо прочих факторов — и от навыков, и субъективных вычислитель ных приемов каждого исследователя. Поэтому оценка реальной точности метода затруднительна и ее удается осуществить лишь косвенным путем. Одним из таких путей является проведенное выше сравнение различных методов расчета. Однако существует и непосредственная возможность программирования вычисли тельных операций для расчета на ЭВМ. Такая задача представ ляет в настоящее время интерес прежде всего для оценки надеж ности графического метода, но в принципе, при необходимости выполнения широких исследований с применением стандартного метода расчета, может иметь и практическую ценность. Ниже изложена попытка такого подхода, выполненная в [23].

Будем исходить из выражений (4.18) и (4.19), причем кривые с(х), как и при графическом методе, строятся в обыкновенной системе координат. Поскольку аналитический вид функции с(х) неизвестен, допустим, что она задана в виде некоторой таблицы дискретных значений ск и xh. Так как нас интересуют лишь об щие черты вычислительных операций, то, чтобы не усложнить за дачу, выберем для определения интегралов при помощи конечноразностных величин простейший метод трапеций, а для вычисле ния производных применим линейное приближение. Тогда задача нахождения D(c) сводится к вычислению по формуле:

ъ ^ ) = 1 Xh~uch+X	І ( f S r ^ - 1 - * - ) А с -	( 4 - 4 °)
к	л=1

где

у— коэффициент с размерностью квадрата длины х, N — число отрезков, на которое разбивается интервал с. Если таблица дискретных значений х/г и ск задана с постоянным интервалом (шагом) по с, т. е. Acft=const, то (4.40) упростится и при мет вид

Последние		два	соотношения можно использовать		для рас
чета	D(c).
Выражения			(4.41)	и (4.42) программировались для расчета
на	ЭВМ	«Урал-2».		Программа состояла из двух	циклов.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ