книги из ГПНТБ / Процессы взаимной диффузии в сплавах

Глава IV

МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА ВЗАИМНОЙ ДИФФУЗИИ

§ 1. Решение Матано — Больцмана уравнения диффузии и графический метод Матано

Основным параметром процесса взаимной диффузии, опреде­ ляемым непосредственно из данных экспериментов по диффузии между различными металлами и сплавами, является коэффи­ циент взаимной диффузии, который можно рассматривать как характеристику «интенсивности» процесса перераспределения элементов в бинарных системах. Как было показано в гл. I , уравнение, описывающее наблюдаемый на опыте процесс пере­ распределения атомов, в случае одномерной диффузии, которая обычно и исследуется в экспериментальных работах, можно приближенно записать следующим образом:

в частных производных в обыкновенное дифференциальное урав-

*) Здесь для простоты изложения мы не будем учитывать деформацию кристаллической решетки в процессе взаимной диффузии, а также влияние изменения объема (параметра кристаллической решетки) на расчет коэффи­ циента взаимной диффузии, которое в большинстве бинарных систем мало (см., например, [3, 137, 138, 377]). Отметим, что последний вопрос подробно обсуждался в работе [377].

прямо значення х. В такой масштабной сетке график С(х), со­ ответствующий решению уравнения (4.2), должен иметь вид прямой, причем ее наклон позволяет непосредственно найти D (см. (4.5)):

дії 1

Таким образом, определив по экспериментальной прямой на та­ ком графике тангенс угла наклона, равный ~ , можно вычис­

лить D:

стимо лишь в редких случаях незначительного начального пере­ пада концентрации (с''« с") . В общем же случае величина D должна зависеть от концентрации. Поэтому для описания про­ цесса и расчета коэффициента взаимной диффузии нужно использовать исходное уравнение (4.1).

очевидно, одним и тем же, что возможно только, если выполня­ ется условие

Условие (4.15) накладывает ограничение на выбор коорди­ натной системы для X; начало отсчета в ней должно быть выб­ рано специальным образом. Это «начало отсчета» получило наименование плоскости Матано. Часто оказывается удобным пользоваться произвольной системой отсчета, явно вводя в ней значение X для плоскости Матано. Такое значение XiU очевидно, легко найти из условия (4.15), записав его в произвольной сис­ теме отсчета в виде

с'

f (X— XM)dc = 0.

Отсюда

с'

K^-^r—rjXdc. (4.16)

с"

В такой системе отсчета имеем

с

с"

Обычно вычисления проводятся для фиксированного значе­ ния t. Тогда можно также написать

с

(4.19)

с"

Решение в таком виде обычно называют решением Матано — Больцмана. Соотношения (4.17) или (4.18) представляют собой наиболее общее выражение для D (с) в произвольной системе координат, причем параметры Хм и хм определяются по форму­ лам (4.16) и (4.19).

Некоторые авторы [140—142] подчеркивают, что выражение

можно показать, что уравнение (4.1) при начальных и граничных

В работе [144] предлагается некоторое видоизменение графи­ ческого метода Матано. В ней было показано, что при расчете D

число вычислительных операций, когда требуется найти значе­ ние D лишь для одной выбранной концентрации, но при опреде­

симость D определяется таким графическим методом (см., на­ пример, [ 3 ] ) .

§ 2. Аналитические методы расчета D(c), основанные на решении Матано — Больцмана

Графический метод Матано, как и все графические способы определения величин, имеет ограниченную точность, которая сильно ухудшается при предельных концентрациях, т. е. концент­ рациях, близких к с' и с", где большое значение производной умножается на малую величину интеграла (см. выражение (4.18) и рис. 4.2). Поэтому определение D при малой концентрации одного из элементов графическим методом Матаио становится невозможным. Некоторые авторы предложили аналитически апроксимнровать опытную концентрационную кривую или хотя бы ту ее часть, где графический метод Матано заведомо приво­

в соотношение (4.17). Последнее преобразуется к виду

Следует отметить, что в самой работе Холла весь метод рас­ чета развит в системе координат с началом отсчета для перемен­ ной К от плоскости Матано (т. е. при А, м =0) . В общем случае произвольной системы отсчета для X, как видно из последнего соотношения, необходимо знание величины Ям . Метод Холла не дает возможности вычислить это значение и его приходится пред­ варительно определять графически.

аналитическую апроксимацию всей концентрационной кривой.

п=0

то, вычислив при помощи него входящие в (4.18) величины про­

Таким образом, используя градуировочную связь между ве­ личиной и и концентрацией с на вероятностной диаграмме, можно по формуле (4.22) подобрать число N и величину «под­ гоночных коэффициентов» Ап, при помощи которых концентра­ ционная кривая с требуемой точностью описывается этим мето­ дом. Соотношение (4.24) дает тогда возможность определить концентрационную зависимость D (с) при заданном времени от­ жига t. Степень точности такого определения, очевидно, зависит от «удачного подбора» подгоночных коэффициентов Ап.

По поводу применимости аналитических методов следует сделать одно существенное замечание. Как было указано выше,

ет исходному уравнению. При графическом определении мето­ дом Матано величин производных и интегралов, входящих в

выражение для D, не делалось никаких дополнительных допу­ щений относительно вида функции с(х, t), и точность определе­ ния D в этом случае зависит от корректности применения урав­ нения (4.1) к рассматриваемому процессу и от точности графического вычисления интересующих нас величин, что, ес­ тественно, в свою очередь зависит от точности измерения экспе­ риментальной кривой. Использование же аналитических методов расчета требует задания вполне определенного аналитического вида экспериментальной кривой с(х, t). Корректность любой такой апроксимации можно проверить сравнением аналитиче­ ского выражения с исходной экспериментальной кривой. Однако подобную проверку можно выполнить лишь в той области из­ менения х, где имеются значения с, найденные в опыте с доста­ точной степенью точности. Вне «экспериментальной области» в аналитических методах используются интерполяционные про­ должения функций. Отсюда ясно, что если внутри «эксперимен­

значениях х решение этого уравнения стремится к виду, спра­

Сравнение (4.25) с (4.26) показывает, что в асимптотическом пределе должно получиться

Из последнего соотношения вытекает, что при больших зна­ чениях |Я| функция и(Х) должна изображаться на вероятност­

апроксимирующие функции, предложенные Холлом [146] и Ба-

=—hXM). Последнее выполняется, однако, лишь в частном

случае и приводит к выражению

_ L D = 4Л2'

существенно отличающемуся от (4.21).

N

Легко видеть, что апроксимирующий полином х= 2 AtU"i

введенный в работе [143], в общем случае также не удовлетво­ ряет условию (4.27) и отличается от него тем больше, чем выше степень полинома N. Последнее обстоятельство создает допол­ нительные трудности при использовании аналитических методов, так как для надежного вычисления D (с) в каждом конкретном случае требуется оценка того вклада в вычисляемую величину, который вносится неправильной асимптотикой апроксимирующей функции.

Для исправления указанных недостатков этих методов в ра­ боте [147] был предложен следующий обобщенный аналитиче­ ский метод определения D(c). Учитывая, что сложную концент­ рационную кривую в средней части концентрационной области