книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

3) Находим отношение

приращения функции к при*

ращению

аргумента:

Ду

î(х +

Ах)—/ (х)

,

д |= ——1—~ —L-1—

(это —средняя

скорость

изменения функции).

4) Находим

предел

отношения приращения функции

к приращению

аргумента,

когда

приращение аргумента

стремится

к нулю. Этот

предел

и есть производная от

данной функции:

А£

lim

Дл: -+ О Дл: = У

1 . Известно,

что

путь,

пройденный

свободно

падающим телом,

вычисляется

по

формуле

S —gt2/2,

где S — путь в метрах, g —уско­

рение

силы тяжести,

равное

9,8 м/с2, і —время в секундах.

до

1)

5;

Найти

среднюю скорость тела за промежуток времени от /, = 2

/2 =

2 )

найти

скорость

ѵ

тела

в

момент

t = 2 , вычисляя

lim

—

;

3)

показать,

что

скорость

ѵ свободно падающего тела в

A t

-» о Аг

любой

момент времени t

равна v — g t.

и

равноускоренно

по закону

2.

Тело движется

прямолинейно

S = 5 / 2 + 8 / +

10,

где

t —время

в

секундах,

S — пройденный

путь

в

метрах.

Найти:

1) скорость движения

в конце 8 -й секунды; 2) по

истечении скольких секунд скорость достигнет 128 м/с?

3.

Вычислением

lim

~

найти производные от функций:

Ах^оЛх

1 )

У

=

х 3 ;

2 )

у = ~ ;

3 )

у =

- % = ;

4 )

у = 2х2 — 5 х

+ 8 ;

х"

у х

Б)

у = ~ + 3 х + 1 \

6 )

у =

cos х;

7)

y ^ j —~

l x -

4.

Вычислить

f

(0),

если

/ (х) =

У I

-\-х-

к параболе

5.

Найти

углы

наклона

касательных,

проведенных

f/ = 0,5x2 +

1

в точках

с

абсциссами

х = ± \ .

6 . Под каким углом

пересекаются параболы: у = Зх2 и у — 4—х2?

У к а з а н и е .

Углом

пересечения двух

кривых

называется угол,

в)

и ~-Уа^Ъ-

12‘

^

20>/Л2;

6) °'

13- 3) У ^ ’

У 9 № ,

у

8?.

14.

1)

у ~ ¥ \

4)

2 ' f / l .

15.

3)

Ѵ Щ

5)

х ху ~ х \

9) 0,4aô; 11) 7; 13) 1; 15) а2 —&;

17)(а +

6)2; 19) 102 +

9 j/“6;

21)

1; 23) у.

16.

4)

аѢ2;

7)

а + Ь + 2.уТЬ\

10)

2 (х +

У х 2— у2);

13)

ху

;

19)

(р2 — <?2)2.

18.

2) ~

у

2;

5 )

у / ' б

;

9)

2— |^"3- 19.

4 х У х 2~^1.

2

J_

_J_

_l_

24.

m.

26.

2) а 3 ;

6)

(д:— t/) 3 ;

8)

а

2 ; 11)3

(д:—у)

3 ;

_

_2_

12)ЗаЬ(а + Ь)

5

. 27.

4)

- і

;

10)

^

;

13)

12- і .

28.

3)

х — у,

6)

а2 +

а + 1 ;

10)

х2 +

2;

12) а.

29.

1)

2У .

4 УТу

'

2

’

'

Vх“—у

3)

£ ± J

;

4)

Y а—У=b; 5)

'■=------. 30.

2 ( а — 1 )

. 31. 1)

х \

х—у

У

_8

2_J_

2 ) а ЬЬ-1- 3 ) __а з 0 з . ^

Глава VI

'■

'(т)-гтт-

2-

£ § Н Ь

/<»-Ф(з)'-э9

3.

1) Вся

действительная

ось;

2)

х ^ — у ;

3)

х < 0 ;

4)

вся дей­

ствительная

ось,

кроме

точек

х — ± \ ;

5)

| х | ^ 2 ;

б)

вся

действи-

3

а,

тельная ось, кроме точки х==~2

> ') вся действительная ось, кроме

точки х = 0 .

4.

Четными

будут функции,

приведенные

в примерах

1)

и 6), нечетными —в примерах

4)

и 7). 6 .

1) £/= д:2 —(- I; 2) у = х2 —2.

7.

1)

При

q > 0

вершина

лежит

над

осью

Ох,

при

q < 0 — под

осью

Ох,

при

q = 0

вершина

совпадает

с

началом

координат.

8 .

1) у = (х— 4)2; 2) £/=

(д:-(-З)2.

9. 1) Сдвигом вправо на

2 единицы

и вверх

на

І

единицу;

2 ) сдвигом

влево

на

1

единицу

и

вниз

на

4 единицы.

10.

1) у — (х—3)2 + 2;

4)

у = {х-\-1,5)2 —2,5.

11. Сдвиг

вправо

на 4 единицы

и

вниз

на

9

единиц,

вершина

параболы —

в точке

(4; — 9);

2) сдвиг влево

на 2 единицы и вниз на 1 единицу,

вершина

параболы —в

точке

(—2;

—1).

12.

1) Параболы

симмет­

ричны

относительно

оси Ох

и

имеют

общую

вершину

в начале

координат;

3)

параболы

имеют

общую

вершину

(—2 ;

3) и симме-

Глава

VII

а

а

89

1. 1) —3,5 и 3; 3) 2; 5)

2а и

26; 7)

у

и — ; 8 )

— — и

9)

b ± Ѵ ь

-4а

10)

а

П)

а — b

а У 6

и

77;

а-\-Ь

а —Ь’

12)

а + bу с ±

V а2у б 2 у с 2— ( a b ас-\-Ьс) _

13)

действительных

корней нет;

14)

т — п

17)

У"аб

2;

19) a-f-б

и а2 —62.

2 .

8 точек.

3. 1у Vüm+ 1

4. 15 м и 25

м.

5. 30 см

и 12,5 см.

7) (2; 2);

9)

(5; 3)

и ( А ; —

і0)

(3;

1 ); ( - 3 ;

- 1 ) ;

( 2

^

УТ)

и (—2 У~2;

— Ѵ~2);

П) (2; 2); (—2; —2);

(2; —2) и (—2; 2);

12)

(7; 4);

(4;

7); ( - 7 ;

- 4 )

и

( - 4 ; - 7 );

13)

(8 ; 4)

и

(4;

8 );

14) (6 ; 3);

(3;

6);

( - 9;

- у

)

и

1 5 )(6 ;3 )и ( - 6 ;- 3 );

17)

(10 +

4

У Т ;

1 0 - 4

У

6);

18)

(8 ; 2) и (2; 8);

19) (9; 4)

и

(4;

9);

20) ( - -----—Ь —

;

\(1 —т)У т

b У

т \

, где

а2 — 2 ±

У а2 (а2 — 4)

,

( а

Ь \

;

„

т = --------------

--------------- :

2 1 )

22) (8 ; 64)

и

(64;

8 );

23)

(4; 9);

(9;

4);

(—4;

—9)

и

(—- 9У; —4);

24)

а2+ 2Ь + У а2 (а2 + Щ

_

а2 + 2Ь— У а2 (а2+ 46) ^ _

25)

(6 ;

3);

; - 4 ) ; ( W p s i l 2 + m ) , 2 (

^

;

-

—3

12—■у351J ;

26)

(4;

2).

32.

(15;

9) и

(—15;

—9).

33.

12

и

8 .

-

М

-

35.

1)

1

< лг <

4;

2)

х < 1

и

* >

2;

3)

1

<

* <

7;

4)

1 и

xjä=4;

3-

У із

^

и

^ з + У із ..

„

„

7)

5 — У 41

5 ) ----- g-----< К

І

О ------ g-----;

6)

-3 <С X <

3;

~-----<

< л: <

1

и 4 < я <

АЬАі і ; 8 ) х < — У 12; —6 <

: 6

и х ^ У

1 2 .

36.

1) —4 <

л: <

—1

и 2 <

л: < 3;

2)

2 <

л: < 5;

3)

1,5 <

ж

; —1.

Глава ѴШ

3.

а +

& + с=--0.

6 . пр/а = —4.

7.

АВ — 4І-, BC = 6j;

CD = —47;

5Л = —6/;

ЛС = 4і + 6у; ZM = —47. 8 . /Ш = 27+6,/;

АѴ =

4/ +

3/;

АШ = 2і —3j.

9.

Равнодействующая

OM = {8 ,

—2 },

\ О М \= У § & .

12.

a b —- -5.

13.

cos ф =

уТ П з

14. прг,а

У п ' п р аЬ = у 34

15.

cos<p =

21

16. у — —6 .

19.

1 .

2 0 .

2 У з

5 V^37

Глава

IX

2,

1)

А ;

4)

7)

—

.4 .1 ) 120°; 3)270°;

5) 22°30';

17) 18°.

6 .

102°.

Отт

!

тт

^

д

2 2

2я;

3,5л; 0,06я;

0,01я;

0,75л.

7 . у

-Q-;

у л ;

g-я;

о

И .

15,9 см,

13. Р =

44,1

см; S = 1 0 6

см2.

15.

2тг

8 . — (рад),

1)

3 ) ~ , 2 2 .

1)

s in

285° < 0 ;

4)

t g 327°20' <

0.

24.

1)