книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

Ио 1-j- Дх > 1, а потому согласно правилу задания данной функции (при X > 1 функция /(х) = Зх + 7) / ( 1 + Д х ) —

— / (1) = [3 (1 4- Дх) 4-7] —3,5,

Дг/ = 3-Дх + 6,5.

Если Ах —>0, то А г/—>-6,5. Таким образом, в точке х = 1 функция разрывна (рис. 153).

значение (Л4) и хотя бы в одной точке свое наименьшее значение (т):

1) На рис. 154 наибольшее значение соответствует точке х = с,, наименьшее значение —точке х = с2.

2)На рис. 155 показано, что наибольшее значение достигается в двух точках сх и с3, наименьшее значе­ ние—только в одной точке с2.

3)Если функция на данном отрезке всюду возра­

стает (график —восходящая кривая), то наименьшее значение функции соответствует левому концу отрезка, наибольшее —правому концу (рис, 156), в случае убы­ вания—наоборот.

Г Л А В А XVII

ПРОИЗВОДНАЯ

§ 249. Вводное замечание. При изучении линейной функции y = kx-i-b (§ 51) было отмечено, что путь S, пройденный телом при равномерном движении, есть ли­ нейная функция времени: S = vt + S0. Здесь роль коэффи­ циента пропорциональности k играет скоростью, постоянная

вданном движении и понимаемая как путь, пройденный

вединицу времени.

Всякий равномерный процесс характеризуется линей­ ной функцией и имеет ту особенность, что изменение функции пропорционально изменению аргумента:

Вычитая из равенства (3) равенство (2), придем к соот­ ношению (1). Естественно назвать число k —~ скоростью

линейной функции независимо от того, какой конкретный физический смысд имеют переменные х и у в каждом отдельном случае, так как всегда при Ах = 1 приращение Ay = k означает изменение функции, приходящееся на единицу изменения аргумента, что, по аналогии с равно­ мерным движением, есть скорость изменения данной функции.

Другое дело, когда мы сталкиваемся с неравномер­ ными процессами, такими, например, как неравномерное движение, остывание нагретого тела в среде с постоягь ной температурой, истечение жидкости из отверстия под

меняющимся давлением и ряд других явлений. Здесь воз­ никает два вопроса:

1)что называть скоростью неравномерного процесса?

2)как вычислять эту скорость после того, как дано

само определение скорости?

Ответы на поставленные вопросы даются в следующем параграфе.

§ 250. Задачи, приводящие к понятию производной.

где t —время в секундах, 5 —пройденный путь в метрах. Найти скорость движения в конце четвертой секунды, считая с момента начала движения.

Составим следующую таблицу:

Из этой таблицы видно, что в равные промежутки времени лифт проходит различные пути: за первую се­ кунду 3,5 м, за вторую секунду 6,5 м, за третью секунду 9,5 м и т. д. Движение лифта все ускоряется, и мы пока не знаем, что принять за скорость движения в конце четвертой секунды и вообще для любого другого момента времени.

Рассмотрим промежуток времени от конца четвертой секунды до (4 + АП с. Пройденный за этот промежуток

как бы из различных материалов), то уже нельзя говорить о плотности стержня вообще, ибо масса, приходящаяся на 1 см его длины, будет различна, в зависимости от того, на каком расстоянии от начала стержня выделяется уча­ сток стержня длиной 1 см.

Предположим, что нам известен закон распределения массы: M = f{x). Масса есть функция расстояния от на­ чала стержня. Требуется определить плотность в сечении X (рис. 159). Проведем

близкое сечение на рассто­ янии х+Ах . Приращению длины стержня на вели­ чину Ах соответствует приращение массы на ве­ личину AM. Таким обра-

\///>///\----------

Х+Ах

гГ

1---------------

Рис. 159.

30М,’д7— средняя линейная плотность участка стержня

между сечениями х и jt-j-Ax.

Предел средней плотности при условии, что прира­ щение длины стержня А х —> 0, называется линейной плот­ ностью в сечении х:

ДМ

Ъ= bra

Д* - 0

неподвижной, фиксированной точкой. Сместимся по кривой от точки М в новое положение Mj, причем координаты

положение—точка М2), тогда секущая M M t при этом будет поворачиваться вокруг точки М и в момент слияния точки Mj с точкой М станет к а с а т е л ь н о й МТ к кри­ вой в точке М.

О п р е д е л е н и е . Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей М М Х.

Точку М на кривой, в которой проводится касательная, обычно определяют по ее абсциссе х, так как, зная абсциссу и уравнение кривой, легко отыскать и саму точку М.

Исходя из данного определения касательной, можно вычислением найти положение касательной: прямая (ка­ сательная есть прямая) в координатной системе вполне определяется точкой, через которую она проходит, и своим направлением, т. е. угловым коэффициентом &= tgcp. Приняв во внимание эти соображения, решим конкретную задачу о проведении касательной к параболе у —0,5х2 в произвольной точке с абсциссой х.

Возьмем две точки на параболе: М (х; у) и

.Mj (х + Ax; у-\- Ay). Секущая ММХобразует с положитель­ ным направлением оси Ох угол а, причем угловой коэф­

фициент секущей, т. е. tga, равен ^ (см. рис. 160). Но

у=^0,5-х2, у + A«/ = 0,5(x-f- Ах)2,

откуда вычитанием находим:

углу ср, образованному касательной МТ с осью Ох. Сле­ довательно,

или tg<p = x.

Таким образом, мы нашли, что угловой коэффициент

однако их решение требовало применения одних и тех же рассуждений: искомая величина в каждой задаче ока­ залась пределом отношения двух приращений. Можно было бы привести ряд других задач из техники и есте­ ствознания, которые решались бы тем же методом.

Ввиду исключительной важности отмеченного выше предела для математики и прикладных наук ему при­ своено особое название.

аргумента стремится к нулю, называется производной от данной функции:

Ііш — = г/' = / ' {*) = % — производная.

ного движения, то скорость движения (мгновенная ско­ рость) для любого момента времени есть производная от пути по времени:

^мгн — (задача 1).

2) Если дан закон распределения массы по длине не­ однородного стержня, т. е. M —f(x), то линейная плот­ ность стержня в сечении х есть производная от массы по расстоянию (по длине):

3) Если дано уравнение кривой у —/(%), то производ­ ная от ординаты по абсциссе есть угловой коэффициент

касательной МТ, проведенной к кривой в точке М:

лифта. Здесь требовалось найти скорость в момент времени

а остается произвольным, то производная от данной функ­

даже во всех точках) не имеют производной. Пример

В таких случаях говорят, что нет никакой касательной,

стремится ли Ах к нулю справа или слева, т. е. правая

илевая касательные должны совпасть.

Вдальнейшем речь будет идти только о дифферен­ цируемых функциях. Фразы «найти Производную» и «продифференцировать функцию» по своему смыслу равно­ значны.