книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

Произведем над гиперболой У — ~ следующие операции:

1) Сдвиг» в положительном направлении оси Ох на одну единицу масштаба; новому положению гиперболы относительно координатных

1

осей соответствует уравнение г/ = -— j •

2)Растяжение всех ее ординат в три раза, тогда новое уравне­ ние примет вид у = ——j .

3)Сдвиг в положительном направлении оси Оу на две единиц

масштаба (рис. 145), что приведет к графику функции

2 х + \

или у-

Рассмотренный нами пример есть частный случай функции вида ax-\-b , d

^ = ^ приХ5С- Т -

Эта функция называется дробно-линейной, так как представляет собой отношение двух линейных функций. Можно в общем виде показать (аналогично тому, как это сделано в рассмотренном выше примере), что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

§ 227. Элементарные функции. В заглавии этой книги написано «Алгебра и элементарные функции». У читателя должен возникнуть естественный вопрос; что такое эле­ ментарная функция? Ведь об этом в данной книге до сих пор не сказано ни единого слова. В действительности это понятие нельзя было определить, пока не были изучены основные функции.

Основными элементарными функциями принято считать:

1)у —С, где С—действительное число;

2)C T eneH H ÿro функцию у = ха, а —действительное число;

3) показательную функцию у = ах (а > 0 и а ф 1);

4) логарифмическую функцию у = loga х (а > 0 и а Ф 1);

5)тригонометрические функции: sinx, cos*, tgx, ctgx;

6)обратные тригонометрические функции: arcsin х, arccos X, arctgx, arcctgx.

Изучению перечисленных выше функций было отве­ дено значительное место в этой книге. Функции, полу­ чающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и операции взятия функ­ ции от функции, называются элементарными. К ним,

вчастности, относятся:

1)линейная функция у — ах^-Ь;

2) квадратическая функция у = ах2-\-b x с\

3) функции: а) у 2 -2х cosх, б) ---- =— и множество

згcsin X

других.

Элементарные функции находят широкое применение

внауке и технике.

§228« Свойства абсолютных величин. В предыдущих главах нам уже приходилось иметь дело с абсолютной величиной действительных чисел. Вспомним, что абсолют­ ной величиной действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательно, и противоположное

число (—а), если число а отрицательно:

С в о й с т в о 1. Абсолютная величина суммы не больше суммы абсолютных величин слагаемых:

\а + Ь \ ^ \ а \ + \Ь\.

Знак равенства может иметь место только в тех случаях, когда оба слагаемых одинаковы по знаку.

действительных чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел:

\ a — b \ ^ \ a \ — \ b \ .

П р и м е р ы . 1) 115—9 1= J15 I — 19|, 6 = 6;

2) |3 —(—1)1 > [31—I—11, 4 > 2.

§ 229« Предел последовательности« Начальные сведе­ ния о последовательностях были сообщены в § 141. Рекомендуется учащемуся перед изучением этого параграфа прочесть все сказанное ранее о последовательностях. Вначале рассмотрим примеры на нахождение п р е д е л а последовательности.

Решим это показательное неравенство относительно п:

—п lg 2 < —5, п lg 2 > 5,

члены будут отличаться от числа 2 меньше чем на 10~5.

положительного числа е можно указать такой номер М

§230. Геометрическая иллюстрация приближения

е-окрестностыо (читается «эпсилон-окрестность») числа а множество действительных чисел, удовлетворяющих нера­ венству \х —аI < е, т. е. двойному неравенству

а —е < X< а + е,

где е > 0.

Например, если а = 3, е = 0,1, то е-окрестность числа 3 есть промежуток (2,9; 3,1).

Геометрически е-окрестность числа а (или говорят еще—точки а) представляет собой интервал (а—е, a-f-e) (рис. 146).

Теперь легко получить геометрическую иллюстрацию того факта, что число а является пределом числовой после­

(после прибавления ко всем членам неравенства по 4), или

1,999 < * < 2 , 0 0 1 ,

т. е.

делению предела, достаточно убедиться в том, что зна­ чения функции по абсолютной величине могут быть сделаны меньше всякого, как угодно малого, положи­ тельного числа е, если только значения аргумента х до­ статочно близки к числу 2 (т. е, берутся из соответствую­ щей 6-окрестности числа 2).

Пусть

\х2—4 I < 8,

откуда

—е < X2 —4 < е.

Прибавляя ко всем частям неравенств по 4, получим:

4 —s < X2< 4 + е.

После извлечения квадратного корня из всех частей

неравенств имеем:

V 4 — е < X < j/4 + e;

больше любого положительного числа М, как угодно

Назначим сами себе какое-нибудь большое положи­ тельное число, например М = ІО8 (сто миллионов). Най­ дем номер члена последовательности, начиная с которого постоянно будет выполняться неравенство

2" > ІО8.

Решим это неравенство, считая неизвестным п. Логариф­

за ним члены удовлетворяют этому неравенству.

П ри м е р 2. Исследовать изменение функции

щими значениями функции будут: — 10, —100, — 1000, . . .

Это показывает, что значения функции по абсолютной величине неограниченно возрастают.

Действительно, если мы потребуем, чтобы абсолютная величина функции удовлетворяла неравенству

нечно большой функцией (или бесконечно большой величиной) при X—*а, если ее значения, взятые по абсолютной величине, превосходят любое, наперед задан­ ное, положительное число М, как только значения аргу­

lim 2п= о о ;

y —- j —^0. Таким образом, величина, обратная бесконечно

малой, есть бесконечно большая, и наоборот.

Другой пример: tgx при х — есть бесконечно

тогда, когда аргумент х остремится к определенному числу а (х —і-а).

С в о й с т в о 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Если

ß-0

ѵ-»-о

Действительно, чтобы алгебраическая сумма (а—ß-j-y) сделалась по абсолютной величине меньше любого на­ перед заданного положительного числа г, сколь угодно малого, нужно только потребовать, чтобы

М < у > '

І ѵ І < | .