книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

П р и м е р .

3 —2t —(1 + 3t) = (3 — 1) + (—2 —3)t = 2—5t.

В геометрическом истолковании вычитание комплек­ сных чисел означает вычитание соответствующих им векто­ ров. На рис. 134 изображено вычитание из z1= 5-j-3i числа г2= — 2 + t.

§ 212. Умножение комплексных чисел. Два комплексных числа а-\-Ы и а1-\-Ь1і перемножаются по обычному правилу умножения многочленов; в полученном результате і2заме­ няется на —Іи отделяется действительная часть от мнимой:

(а + Ы) (ах+ bÿ) = аах+ ахЫ-f abj + bbxi2= = aax—bbx+ (ajb + abx) i.

действительмнимая часть ная часть

Замечаем, что произведение двух комплексных чисел есть также число комплексное.

Это правило умножения распространяется и на большее число комплексных множителей.

П р и м е р ы . 1) (2—Зі) (3 + 5t) = 6 —Эі + Юі — 15t2 =

=6 -f i— 15-(—1) = 21 + t;

2)(4 + t) • 2i = Si + 2t2 = —2 + 8 t.

Произведение комплексных чисел может оказаться действительным числом. В частности, это будет при умно­ жении двух сопряженных комплексных чисел:

(а + Ьі) (а —Ы) = а2 -\-abi— аЫ—Ь2і2== а2 -\-Ь2= г2,

где г —модуль каждого из сомножителей.

Итак, произведение двух сопряженных комплексных чисел есть число действительное, равное квадрату их общего модуля.

Приведем еще пример, показывающий, что в резуль­ тате действий над комплексными числами могут получиться интересные соотношения в области действительных чисел.

Имеется два произведения:

(.а ф Ьі) (с -фdi) = ас—bd -ф (be -ф ad) i

и

(a —bi) (с—di) = ас—bd—(be -j- ad) i.

Перемножив эти равенства почленно, получим:

(а2-ф Ь2) (с2-f d2) = (ас—bd)2-ф(be -[-ad)2.

Последнее равенство содержит исключительно действи­ тельные числа и выражает следующее соотношение из теории чисел: при умножении двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, получается произве­ дение, представляющее собой также сумму двух квадратов.

П р и м е р ы . 1) (1 + 4 ) ( 9 + 25) = 5-34= 170= 12+ 132; 2) (25 + 4)(1 + 9 ) = 29-10 = 290 = 12+ 172.

§ 213. Деление комплексных чисел. Частным от деле­ ния двух комплексных чисел а-\-Ы и ах-\-Ьхі называется такое комплексное число ху-уі, которое, будучи умножено на делитель, дает в произведении делимое.

Таким образом, если одновременно коэффициенты ах

а + Ы = (ахф Ьхі) (х + уі),

или

а ф Ы = ахх —bху -ф(Ьхх ф аху) і.

Из условия равенства двух комплексных чисел сле­ дует:

jахх —Ьху = а,

\bxx-\-axy — b.

делимого и делителя на сопряженное делителю число:

§ 214. Степени мнимой единицы. Пользуясь равенст­ вом t2 = —1 , легко определить любую целую положитель­ ную степень мнимой единицы. Имеем:

Это показывает, что значения степени іп, где п —целое положительное число, периодически повторяются при увеличении показателя на 4. Поэтому, чтобы возвести число і в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести і в степень, показа­ тель которой равен остатку от деления.

Пр и ме р ы .

ведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплекс­ ных множителей.

Пр и ме р ы, (а + Ы)2 = а%+ 2аЫ + Ь2І2 = (а2 —У1) + 2abv, (а + Ы)3= a3+ 3a 26f+3ôô2/2+ fr3(3 = (а3 —3аЬ2)-\-{За2Ь—Ь3) і.

§ 216. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Пусть требуется извлечь квадратный корень из числа а-\-Ы. Это значит, что требуется найти такое ком­ плексное число х-\-уі, квадрат которого равен а + Ы. Имеем:

V a + Ы = X-f уі,

где X и у —действительные числа. Тогда

аЫ = (х -f-уі)2= X2—у2-f 2хуі.

Применяя условие равенства двух комплексных чисел, получим:

X2 —у2 = а, 2 ху — Ь.

Решаем эту систему относительно неизвестных х и у. Из

второго уравнения находим, что г/ = ^2 . Тогда

откуда

4х4—b2 —4ах2= О,

или

4х4 — 4ах2—Ь2 = О;

следовательно,

х2 _ 2а ± V 4а2-І-4Ь2 . ^ _ а ± V а 2 + Ь2

Так как l/a a-j-ô2 ^ а, то перед радикалом надо взять знак плюс, чтобы х2 было положительным числом или нулем; следовательно,

г+ V а2 + Ь2

§ 217. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Как уже было сказано в § 209, комплексное число а-\-Ыг

не равное нулю, изображается радиусом-вектором ОМ, причем длина этого вектора есть модуль комплексного числа (рис. 135):

г = Y а2-f Ьг.

Угол ф между положительным направлением оси Ох и

вектором ОМ называется аргументом комплексного числа а-\-Ы. Этот угол принято отсчиты­

вать от оси Ох к вектору ОМ, что показано стрелкой на чертеже. Если

комплексное число равно нулю, то ■■—

вектор ОМ обращается в точку (нульвектор) и говорить о его направле­ нии нет смысла. Поэтому считают, что число нуль не имеет аргумента.

Очевидно, что каждое комплексное число, не равное нулю, имеет бесконечное множество значений аргумента; эти значения отличаются друг от друга на целое число полных оборотов, т. е. на величину 2 я&, где k —любое целое число; например, аргументом комплексного числа

2 -f 2 І являются углы вида -‘^-\-2nk (А = 0 , ± 1 , ± 2 ,

± 3, ... ).

Значение аргумента, взятое в пределах первой окруж­

аф-Ы — г соэф-f ir sin ф= г (cos ф -ft sin ф).

Выражение г (cos ф -ft sin ф) называется тригономет­ рической формой комплексного числа, в отличие от формы

а-фЫ, называемой алгебраической.

Для определения аргумента ф пользуемся формулами

cos Ф = ~- и sin Ф = ~ (г = У а2 -\-Ь2).

В зависимости от знака действительной и мнимой частей выбирается соответствующая четверть, в которой должен оканчиваться угол ф.

П р и м е р 1. Представить в тригонометрической форме число —1 + г'К з.

§ 218. Умножение комплексных чисел, заданных в три­ гонометрической форме. Перемножим два комплексных числа:

Zj = r 1 (cos фх + i sin фх)

и

z2 = r2 (cos ф2 “Ь i sin ф2).

Получим:

zx■z2= rxr2cos (p, cos cp2 4 - irxr2sin cpj cos cp2 -f

+ irxr2COS Cpj sin cp2 —rxr2sin <Pj sin ф2.

Короче:

ztzt = rxr2 [cos (cpx + cp2) + І sin (cpx + Ф*)] .

Результат показывает, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произ­ ведения равен сумме аргументов сомножителей.

§ 219. Геометрическое истолкование умножения ком­ плексных чисел. На рис. 136 комплексному числу гх =

— rx (cosepj -H t sin фх) соответствует вектор ОМх, числу

г2= r2(cos ср2 + i sin ср2) соответствует вектор ОМ2.

Рис. 137.

Произведению

zxz2= rxr2 [cos (ф, + ф2) + i sin (фл + ф2)]

соответствует вектор ОМ.

Вектор ОМ получается из вектора ОМх поворотом на угол ф2 и изменением его длины (гх) в г2 раз. Если

— ~ — >-

г2> 1 , то говорят, что вектор ОМх подвергается растя­ жению, при г2< 1 —сжатию.

В частном случае, когда комплексное число zx умно­

жается на і, то вектор 0М Х поворачивается на прямой

(рис. 137).

Следовательно, модуль частного равен частному моду­ лей делимого и делителя, а аргумент частного равен раз­ ности аргументов делимого и делителя.

Пользуясь этим правилом, можно показать, что

= cos(—ф) + t sin (—ф).

Короче:

(cos ф -j- i sin ф) 1 = cos ф—гэіпф.

§ 221. Возведение в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так как п-я

степень, где п —целое положительное число, представляет произведение п равных сомножителей, то по правилу умножения комплексных чисел получим:

[г (cos ф i sin ф)]" = rn(cos «ф 4- i sin Пф),

или

rn(cos ф4- i sin ф)” = rn(cos Пф4 - І sin Пф).

После сокращения имеем:

Эта формула носит название формулы Муавра. В част­ ности, она дает возможность получить косинус и синус дуг, кратных данной.