книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Боль изучал систему уравнений [7. 2}

где ciik — постоянные, для которых ха­ рактеристическое уравнение

гут быть определены как функции коэффициентов а. Боль рас­ сматривает п линейных форм у относительно х при помощи ли­ нейных подстановок с постоянными коэффициентами и с опре­ делителем, отличным от нуля. Величины у распадаются на две группы: ри р2, ... Pu и <7i, q2 — qi, причем элементы группы р со­ ответствуют корням уравнения (12.13) с положительной вещест­ венной частью, а элементы группы q — корням с отрицательной вещественной частью. Может быть, имеется только одна группа. Затем системы р и q характеризуются условиями

k е

где d > 0, / < 0, б>0 — некоторые постоянные, зависящие от аіп.

300

рода, что решение уравнений (12.12), соответствующее началь­ ным значениям [р\ и [<7] для t = t0, удовлетворяет условиям (12.14) для всех t> t0. Два произвольно выбранных решения та­ кого рода асимптотически приближаются друг к другу для t-*-00.

ченная [#]) такого рода, что решение уравнений (12.12), соот­ ветствующее начальным значениям [р] и [q~\ для t = t0, удовле­ творяет условиям (12.14) для всех t< t0. Два произвольно вы­ бранных решения такого рода асимптотически приближаются друг к другу Д Л Я £-»--- С О .

III. Случай у. Одновременно справедливы упомянутые выше теоремы для случаев а и ß и существует одно определенное ре­ шение уравнений (12.12), удовлетворяющее для всех t условиям (12.14) . Решение, удовлетворяющее для достаточно больших t условиям (12.14), асимптотически приближается к этому реше­ нию для t->-+co. Решение, удовлетворяющее для достаточно малых t условиям (12.14), асимптотически приближаются к это­ му решению для £-»-—оо.

После установления существования ограниченных решений системы (12.12) Боль рассмотрел для их представления метод последовательных приближений и его сходимость. В процессе доказательств он предполагал, что характеристическое уравне­ ние, соответствующее системе (12.12), не имеет корней с нулевой действительной частью. Таковы были основные результаты Боля по интересующему нас вопросу.

В скором времени результаты Ляпунова и Боля были весьма подробно изложены, дополнены и в некоторой части обобщены

вбольшой статье монографического характера Коттона [128.1]

в1911 г. Здесь был использован новый метод, состоящий в пре­ образовании данных дифференциальных уравнений в соответ­ ственные интегральные уравнения и в применении к последним классического метода последовательных приближений. Коттон

дал изложение теорем Боля в собственной уточненной формули­ ровке и отметил приоритет последнего и характерные черты его

метода.

Дальнейшее уточнение выводов Боля—Коттона относительно существования решений системы (12.12) и их асимптотического характера в том случае, когда Аг(0, 0,... О, f) =т^0, но

а также применение полученных выводов к некоторым задачам динамики, рассмотрено в статье Ю. Д. Соколова [68.2].

Ряд статей, посвященных специально исследованию асимпто­ тического представления интегралов некоторых линейных диф­ ференциальных уравнений второго порядка, написал А. Кнезер

301

в 1896—1899 гг. Полученные результаты применялись к теории Бесселевых функций и решению некоторых вопросов механики (90). Но особенно интенсивные исследоцания по этой проблеме проводились в то же время И. Горном (91), получившим ряд важных новых результатов. Так, уже в [177.4] асимптотическое представление интеграла линейного дифференциального урав­ нения в общем расходящимися нормальными рядами проводит­ ся без использования преобразования Лапласа, что имело место и в работах Пуанкаре. Горн начинает исследование рассмотре­ нием уравнения Риккати

+ x2hQw = 0 с точкой неопределенности х=оо ранга k (по терми­ ну Пуанкаре (92)), где Р = р 0+ -J1 + ...; Q= q0+ + ...,,

приводится к уравнению Риккати с вышеуказанными свойства­ ми и получается асимптотическое представление интеграла ука­

занного линейного уравнения через нормальные ряды. Если уравнение kn2+ p0ko+ q0= 0 имело равные корни, то интеграл, асимптотически представлялся в общем через «анормальные

ряды», убывающие по степеням ——. Затем в следующих рабо-

X 2

тах давалось асимптотическое представление посредством нор­ мальных рядов интегралов уравнений вида

302

исключая целочисленные значения Яі, Яг, Яі+Лг, и рассматри­ вался ряд смежных вопросов. Продолжая работы Пуанкаре, Горн обобщил полученные ранее результаты на уравнение вида

Предполагая а0ф 0 и т корней характеристического уравнения

а0ат+ а{а.т~ 1+ ... + ат_ {а + ат= 0

различными, он получил асимптотическое представление инте­ грала уравнения (12.15) через нормальные ряды вида

обозреть поведение интеграла во всей окрестности особой точки х=оо, тогда как у Пуанкаре шла речь о поведении интеграла в определенном направлении, проходящем через особую точку.

Перенесение полученных результатов на более общие случаи выполнено в работах Горна в 1898—1902 гг. Здесь была уточне­ на общая теория, дан обзор полученных результатов и изучено поведение нерегулярных интегралов линейного уравнения вто­ рого порядка с рациональными коэффициентами и с коэффици­ ентами, представляемыми в форме асимптотических рядов. Не­ много раньше, в заметке [177.5] было показано, как можно по­ лучить посредством метода последовательных приближений асимптотическое представление нерегулярных интегралов рас­ сматриваемого уравнения через нормальные ряды Томё. Этот же метод был применен Горном для исследования поведения ин­ теграла уравнения в [177.6].

С большим успехом асимптотический метод применялся в работах В. А. Стеклова с 1896 г., когда он стал заниматься про­ блемой разложения функции в ряд по фундаментальным функ­ циям краевой задачи Штурма—Лиувилля. После докторской диссертации (1901 г.) фундаментальные функции стали основ­ ным объектом его научных исследований. Разработанная Стек­ ловым теория замкнутости 1 открывала новую страницу в исто­ рии математического анализа.

1 См. об этом в [28.1, 370 и след.].

303

Асимптотическому выражению некоторых функций, опреде­ ляемых линейным дифференциальным уравнением второго по­ рядка, был специально посвящен его мемуар [71.2] (1907 г.). Здесь автором был указан общий и весьма простой метод полу­ чения асимптотических выражений для всех последовательностей функций, определяемых некоторым линейным дифференциаль­ ным уравнением второго порядка. Как отметил В. А. Стеклов [71.2, 7], основная идея этого метода, представляющего обобще­ ние метода Боннэ, вытекала из исследований Лиувилля, посвя­ щенных задаче разложения произвольной функции в ряд по функциям Штурма—Лиувилля (1837 г.) и дополненных позже Кнезером. Здесь же была использована установленная им тео­ рема замкнутости. Развитый автором метод получил позже на­ звание метода Лиувилля—Стеклова. Полученные в этой работе результаты были применены затем для эффективного решения вопроса о разложении произвольной функции в обобщенный ряд Фурье по ортогональным многочленам и по функциям Штурма— Лиувилля. При этом получен ряд важных асимптотических фор­ мул для классических ортогональных многочленов, чем были обобщены приемы Лапласа, Эрмита, Боннэ, Дарбу, Дини, Ада­ мова. Среди них назовем многочлены Чебышева—Эрмита, неко­ торые классы многочленов Чебышева—Лагерра, многочлены Якоби и функции Бесселя.

§ 4. Дальнейшие исследования по асимптотическому представлению интегралов

дифференциальных уравнений в начале XX века

Втечение одного десятилетия после первых работ Пуанкаре

иСтилтьеса об асимптотических рядах интерес к ним и вообще к рядам расходящимся настолько возрос, что в 1898 г. Париж­

ская академия объявила конкурс на тему «Исследование рас­ пространения роли, которую могут играть в анализе расходящие­ ся ряды». Большим призом на этом конкурсе был отмечен мему­ ар Бореля 1 [105.1]. Во введении здесь справедливо отмечалось, что для трактовки данного вопроса необходимо было разрешить прежде всего ряд различных проблем анализа и в том числе теории функций, которые приходили в соприкосновение с расхо­ дившимися рядами. С присущей ему скромностью Борель также заметил, что в тексте можно найти больше поставленных про­ блем, чем решенных вопросов. Среди важных его результатов отметим доказательство того положения, что если расходящийся ряд формально удовлетворяет дифференциальному алгебраиче­ скому уравнению и если он суммируем, то он определяет реше­ ние уравнения (т. е., как поясняет автор, представляет средство числового вычисления этого решения). Кстати, понятию сумми­

1 Первая его заметка по этой тематике появилась в 1895 г.

304

руемый он не придавал абсолютного смысла, желая только от­ метить, что имеется бесконечность таких процессов суммирова­ ния, что теорема остается справедливой. Работа его состояла из трех глав: 1) общие положения о сходимости и расходимо­ сти; 2) рассмотрение суммируемости расходящихся рядов вооб­ ще и, в частности, степенных рядов, радиус сходимости которых конечен, и аналитического продолжения; 3) третья посвящалась случаю, когда этот радиус равнялся нулю. Она заканчивалась изучением и толкованием с точки зрения автора результатов Стилтьеса для частного случая таких рядов и общим заключе­ нием. Не имея возможности останавливаться подробно на этом интересном сочинении, отметим лишь, что Борель подошел здесь к разработке своей теории суммирования рядов указанного вида, более общей и полной, чем теория Пуанкаре, и существенно про­ двинул решение вопроса о представимости интегралов указанно­ го ранее вида уравнений. Распространение полученных резуль­ татов на область комплексного переменного вело к уточнению классификации особых точек, порядков бесконечностей и т. д.

Теории асимптотических рядов посвящена большая часть главы III. Борель здесь подчеркивал отличие своей точки зрения на предмет по сравнению с точкой зрения Пуанкаре. Существен­ ное состояло в том, что Борель искал условия, при которых ряд может быть рассмотрен как представляющий определенную функцию, между тем как тот же асимптотический ряд без этих условий для того же аргумента х всегда представляет бесконеч­ ное множество функций. Вместе с тем отмечалось, что изучение асимптотических рядов ведет к понятию особых аргументов или аргументов, для которых ряд перестает представлять асимпто­ тически ту же аналитическую функцию или тот же интеграл диф­ ференциального уравнения, которое изучается.

В скором времени (1901 г.) вышло в свет первое издание из­ вестных лекций Бореля о расходящихся рядах [105.3]. Здесь содержалась весьма полная, более общая и строгая чем у Пуан­ каре и довольно всесторонне освещенная теория асимптотиче­ ских рядов и их применений. После исторического введения, где были кратко рассмотрены основные работы предшественников, Борель изложил основы теории и ее применение к интегрирова­ нию дифференциальных уравнений, рассмотрел связь непрерыв­ ных дробей с теорией Стилтьеса, весьма подробно развил теорию суммируемых рядов и связь их с аналитическим продолжением, а также разложения в ряды полиномов. Во втором издании (1928 г.) была добавлена глава VI о современном развитии тео­ рии расходящихся рядов.

В начале нашего века интегрирование дифференциальных уравнений посредством асимптотических методов изучали также Адамар [166.1], Л. Шлезингер [254.7], А. Гамбургер [168]. Шле­ зингер рассматривал вопрос об асимптотическом представлении решений линейной системы дифференциальных уравнений, когда

ее коэффициенты зависят от параметра ц так, что точка ц = °° была изолированной точкой неопределенности интеграла. Полу­ ченное разложение в отношении ц имело ту же структуру, что и нормальные ряды Томё в отношении х, и оно представляло асимптотически некоторую систему решений для больших зна­ чений ц. Аналогичный вопрос уже трактовался Горном в 1899 г. Шлезингер же дает здесь более общее решение для любой диф­ ференциальной системы и для любой комплексной величины.

В диссертации А. Гамбургера [168] дополнялись результаты А. Кнезера относительно асимптотического представления инте­ гралов определенного вида линейных уравнений второго поряд­ ка и оценивались остатки этих представлений. Некоторые допол­ нения общей теории и новые доказательства ряда известных теорем были предложены в диссертации Г. Гамбургера в 1914 г.

Задача уточнения общей теории степенных асимптотических рядов была рассмотрена затем Ватсоном [273], который ввел понятие о характеристиках асимптотического ряда. Так, он на­ зывал числа k, I, р, а при условии, что функция f(x) представ­ ляется разложением

f(x) = a0 + ^ + ^ + . . . + ^ + Rn,

отметил, что характеристики для асимптотического ряда имели то же значение, что и радиус сходимости для сходящегося ряда. Опираясь на определение характеристик, Ватсон ставил и решал вопрос о единственности функции, определяемой асимптотиче­ ским рядом. Результаты его в смысле уточнения достаточности условий были дополнены Сан-Жуаном [23, 44].

далее основы теории Пункаре. Как весьма важный элемент в этом отношении мы отметим установление им теоремы о возмож­ ности почленного дифференцирования асимптотических рядов для получения асимптотического представления производной. Эта теорема оказалась верной только в случае угловых областей. Исходя из замечания, что один и тот же ряд асимптотически представляет много функций, Неванлинна ищет тот класс функ­ ций, в котором они однозначно определены их асимптотическими разложениями, и получает еще ряд других интересных резуль­ татов.

306

В первые два десятилетия нашего века И. Горн продолжал разработку рассматриваемой проблемы с прежней интенсивно­ стью. В его предыдущих работах применялись два основных ме­ тода. Первый из них, как отметил Хилб [172.2, 493], состоял в использовании результатов, найденных Пуанкаре в работах о граничных значениях логарифмических производных интеграла при приведении дифференциального уравнения п-го порядка к уравнению п—1-го порядка, для которого асимптотическое пред­ ставление принималось как доказанное. Но этот метод терял си­ лу в том случае, когда совпадали действительные части корней соответственного (12.7) уравнения. Он был также мало подхо­ дящим при исследовании поведения интеграла во всей окрест­ ности особой точки, так как при приближении по некоторым на­ правлениям X к оо имели место исключения. Поэтому в дальней­ шем он применялся реже. Второй метод, имевший применение не только в работах Горна, но, как мы видели, и в работах мно­ гих других математиков, состоял в том, что к асимптотическим представлениям применялся метод последовательных прибли­ жений в таком виде, который позволял исследовать полностью поведение интеграла в окрестности особой точки и довольно удобно проводить оценки остатков. И в дальнейших работах Горна этот метод и его развитие занимал основное место. При­ ведение ранее полученных результатов в соответствие с новыми идеями Ватсона выполнено в [177.7]. Ряд последующих статей и заметок посвятил Горн интегрированию линейных дифферен­ циальных уравнений через лапласовы интегралы и факториалряды, опираясь на данное Биркгофом обобщение преобразова­ ния Лапласа и приводя посредством последнего систему линей­ ных дифференциальных уравнений, имевших х=оо точкой не­ определенности высшего ранга (119), к системе линейных инте­ гральных уравнений типа Вольтерра. Проведенное Горном сум­ мирование расходящихся рядов в [177.8] при помощи упомяну­ того интеграла Лапласа представляло обобщение известного метода суммирования Бореля.

Асимптотическое поведение интегралов отдельных видов уравнений рассмотрено в диссертации Свенссена в 1907 г. Бендиксон распространил в [98.6] полученные ранее результаты на асимптотическое представление решений системы уравнений

dX

-ЗГ = Ха(*і’*2>-- -*„) (* = 1 ,2 ,... ,« )

при использовании метода последовательных приближений. Асимптотическое представление функций, теория суммируе­

мости рядов и применение асимптотического метода рассматри­ валось в монографии Н. Парфентьева [53.1], посвященной ис­ следованию теории роста функций. Решение задачи автор дал в форме ряда асимптотических законов, связав рост модуля

функции-ряда с ростом модулей коэффициентов ряда и ростом модулей ее нулей.

Одна из первых крупных работ по асимптотическому пред­ ставлению интегралов линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр, опубликованных в Брюсселе, принадле­ жала Нейлону [224]. В оригинальной обработке и со своими дополнениями он изложил многие известные результаты в свое­ образной системе, начиная с перечисления правил «асимптоти­ ческого исчисления».

Дополнение некоторых результатов Горна об асимптотиче­ ском интегрировании линейных дифференциальных уравнений и применение этого метода к асимптотической теории шаровых функций рассмотрено Блюменталей [103]. Продолжение этих исследований, изучение конкретного случая уравнения четверто­ го порядка с применением идеи Пенлеве рассматривать упро­ щенное уравнение и связь с проблемами упругости (вычисление напряжений в шаровых оболочках) доложено им же в 1912 г.

Изучение асимптотики в американской математической лите­ ратуре нашло отражение главным образом в работах Бохера, Дункеля, Биркгофа, Лава и др.

Проблема асимптотического представления нерегулярных интегралов для того случая, когда корни характеристического уравнения являлись кратными, еще до 1914 г. в общем не трак­ товалась. Для отыскания способов ее решения Лав [209] стал изучать случаи многократных корней подробно для уравнений (с переменными коэффициентами, разлагающимися в асимпто­ тические ряды) второго и третьего порядков. Разрабатываемый метод мог быть применим и для уравнения любого порядка. Осо­ бенно интересные результаты и впервые автором были получены для уравнений третьего порядка. Если характеристическое урав­ нение обладало одним простым и одним двукратным корнем, то в этом случае в асимптотическом разложении интегралов, соот­ ветствующих обоим двойным корням, появлялась степень в об­ щем х'і\ а в особом подслучае log х. В случае тройных корней в общем появлялась степень х1/3, в особых подслучаях снова х1/2 и соответственно log х. Распространение полученных результатов на уравнения п-го порядка при некоторых ограничениях относи­ тельно корней предложено им в том же 1914 г. По существу он дал здесь, опираясь на известные теоремы Дини (1898—1899 гг.), доказательство существования фундаментальных решений, представимых асимптотическими разложениями.

Много интересных и принципиально новых результатов в рассматриваемой проблеме получил Биркгоф, начав ее разра­ ботку еще в диссертации, посвященной асимптотическим свойст­ вам решений обыкновенных линейных дифференциальных урав­ нений, содержащих параметр, и с применением к задаче распро­ странения краевых значений (1907 г.). Этот же вопрос трактовался несколько иначе в его первых опубликованных ра­

308

ботах. Биркгоф рассматривал здесь асимптотический характер решений уравнений вида

Биркгофа подобное свойство рассматривается для области Ѳ< <argp<ip, но другим методом. Здесь он по существу обобщил как случай, рассмотренный ранее Лиувиллем [205.3, § 3], так и результаты упоминавшихся ранее работ Шлезингера и Горна на уравнения n-го порядка и на системы уравнений. (При этом имелся в виду тот случай, когда корни характеристического уравнения оставались простыми на всем промежутке изменения аргумента).

Следующий цикл работ Биркгофа был посвящен изучению в свете новых идей особых точек системы линейных дифферен­ циальных уравнений вида

и а — целое число. Биркгоф исследовал природу ее решений в окрестности точки х—-оо, которая взята как особая точка этой

309