книги из ГПНТБ / Лоскутов В.И. Основы современной техники управления

Для объектов с большой инерционностью изменение коор­ динаты Y(i) = (yl} у2, ..., уп) зависит не только от состояния объ­ екта в соответствующий момент времени, но и от состояния объекта в фиксированные моменты времени в прошлом, т. е. от предыстории рассматриваемой системы уравнения.

В этом случае математическое описание системы осуще­ ствляется либо дифференциально разностными уравнениями

Процесс изменения состояния систем значительно услож­ няется при наличии большого количества факторов управле­ ния. В этом случае вектор состояния системы должен изме­ няться заранее предписанным образом под воздействием соот­ ветствующего вектора управления x ( t ) .

Функционирование системы описывается дифференциаль­

При этом часто на поведение систем накладываются до­

89

бражающие точки — концы радиусов-векторов у и х .

Выбор управляющего воздействия x(t) необходимо произ­ водить таким образом, чтобы состояние системы y(t) в течение всего времени управления как можно ближе подходило к за­ ранее заданной функции E(t), являющейся критерием оптими­ зации состояния системы во времени.

При наличии критерия оптимизации £ 0 п т решение задачи сводится к многовариантным ответам для отыскания из них наиболее удовлетворяющего условию

Еопт Е {у, X, t),

где Е — некоторый обобщеннвій параметр для отыскания опти­ мальных условий ведения процесса.

В этом случае поиск наивыгоднейшего решения целесооб­ разно осуществлять на основе математической модели, воспро­ изводящей исследуемый процесс в масштабе времени, зна­ чительно меньшем реального. Задавая различные значения вектору выходных величин y(t), можно многократно воспроиз­ водить значение Еу последовательно приближая его к £ о п т , а затем найденное решение взять за основу для формирования

под воздействием внешних возмущений, в большинстве слу­ чаев имеющих характер случайных воздействий.

Это означает, что для любого значения t вектор возмуще­ ний £(0 является случайной величиной с распределением, за­ висящим от времени.

С учетом этого случайного фактора поведение системы мо­

90

Эту задачу можно представить уравнением вида

* а = А у + в х + і , dt у

где А и В — матрицы коэффициентов, принимаемых постоян­ ными на определенных интервалах. Тогда управляющая век­ тор-функция

Х = Х(у, А, В, I)

считается известной, т. е. закон управления определен, если известны матрицы А и В и закон распределения на данном отрезке времени для |.

Системами линейных дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами описывается большой класс фи ­ зических процессов, особенно в стадии их первоначального исследования. При последующем уточнении явлений контро­ лируемые процессы описываются более сложными классами дифференциальных уравнений: неоднородными, линейными с переменными коэффициентами, нелинейными уравнениями.

Вопросы управления технологическими процессами часто бывают связаны с решением уравнений математической фи ­ зики. В этом случае выбор наивыгоднейшего течения процесса сводится к постановке краевых задач, в которых при выде­ лении нужного решения следует учитывать заранее заданные значения искомой функции на границах закрытой области G. Для построения математической модели исследуемого процесса необходимо знать точную конфигурацию и геометрические размеры области, физические свойства вещества внутри нее, значение искомой функции на границе области и начальное состояние объекта для нестационарных процессов.

Решение краевых задач математической физики имеет смысл в том случае, если есть уверенность в устойчивости получаемых результатов относительно граничных и началь­ ных условий.

Следует отметить, что решение указанных задач обычными методами приближенных вычислений часто бывает настолько громоздким, что в этих условиях трудно применять даже сов­ ременные быстродействующие вычислительные машины.

В ряде случаев для исследования такого рода объектов применяют сеточные электромодели.

Задавая в нужном масштабе граничные значения изучае­ мой функции и в случае необходимости приводя их в требуе­ мое соответствие начальным условиям, можно с достаточной для практики точностью получать распределение искомого по­ тенциала на плоскости или в пространстве.

91

Отечественной промышленностью выпущена электромодель УСМ-1, предназначенная для исследования физических про­ цессов, описываемых дифференциальными уравнениями в ча­ стных производных эллиптического и параболического типа, а также некоторых процессов, интерпретируемых уравнениями четвертого порядка.

Как известно, уравнениями эллиптического типа описыва­ ются различные стационарные процессы: стационарные элек­ трические и магнитные поля, потенциальное движение несжи­

блока дополнительной сетки, блока задания граничных усло­ вий, блока начальных условий, шкафа питания, автоматиче­ ского измерительного устройства, измерительного устройства нестационарного режима.

Большой интерес представляет аналого-цифровой вычисли­ тельный комплекс (АЦВК) типа «Сатурн», предназначенный для решения нелинейных краевых задач большой сложности, связанных с рациональной разработкой нефтяных месторож­ дений с учетом переменной нефтенасыщенности и загазированности пласта при упругопоршневом вытеснении из него

92

нефти. АЦВК «Сатурн» позволяет также решать аналогичные задачи из других областей науки и техники.

Аналого-цифровой вычислительный комплекс «Сатурн» .яв­ ляется дальнейшим развитием направления сеточных анало­ говых вычислительных машин и представляет собой сочета­ ние комплекта автоматизированных аналоговых устройств «Вега» с цифровой вычислительной машиной, соединенных в единую систему с помощью устройств прямого и обратного аналого-цифрового преобразования, а также коммутирующих устройств (рис. 23).

Этот комплект может рассматриваться как цифровая вы ­ числительная машина с аналоговой программой для обраще­ ния матриц. Полное время набора и замера моделируемой области на 1000 ячеек не превышает 10 сек, что позволяет решать задачи с уравнениями в частных производных с экви­ валентным быстродействием 106 операций в секунду.

Задача решается методом моделирования с дискретным представлением времени. Аналоговая часть комплекса обеспе­ чивает моделирование задачи в каждом шаге. Цифровая вы ­ числительная машина используется для первоначального ввода исходных данных, расчета и корректировки сопротив­ лений сетки и значений граничных условий с учетом нелинейностей, вывода и обработки результатов решения.

Основой решения широкого круга задач, связанных е пла­

Эта область математики позволяет находить экстремальные значения целевой функции, выраженной в линейных зависи­ мостях переменных, при условии выполнения определенных ограничений в виде линейных равенств и неравенств.

93

Предполагается, что все коэффициенты в целевой функ­ ции — положительны (с,-> 0).

Область решения задач линейного программирования пред­ ставляет собой выпуклое многогранное множество, каждая точка которого называется планом, а каждая вершина — опор-

ным планом.

Задача линейного программирования является разрешимой при условии существования набора чисел х=(Х\, х2, . . ., хп), удовлетворяющих условиям задачи и обращающих линейную форму в максимум или минимум.

Для решения задач линейнего программирования, разрабо­ тано несколько общих алгоритмов: симплекс-метод, модифи­ цированный симплекс-метод и др.

Широкое применение получили также универсальные алго­ ритмы для решения так называемых транспортных и растгре-

делителъных задач.

Неразрешимость задачи обычно вызывается противоречи­ востью условий или неограниченностью самой линейной формы.

При наличии единственности решения значение искомого экстремума' совмещается с одной из вершин многогранного множества. В условиях множественности решений искомые экстремумы достигаются в ряде точек грани многогранного множества.

На практике методы линейного программирования нашли шировое применение при решении вопросов рациональной пе­ ревозки грузов, при определении наилучшего состава смесей, при оптимизации выпуска комплектной продукции, при вы ­ боре наилучшего варианта использования посевных площадей, при рационализации раскроя материалов и др.

Одним из перспективных методов исследования сложных систем является метод декомпозиции. В линейном программи­ ровании эти идеи привели к созданию метода Данцига-Вулъфа, который известен под названием способ разложения. В более общей постановке этот метод блочного программирования раз­ работан советскими учеными Д. Б. Юдиным и Е. Г. Гольдштейном.

Ряд задач техники и экономики, связанных с исследова­ нием и управлением динамических объектов и процессов с многоэтапным характером их развития, решаются с помощью

методов динамического программирования.

Управление такими процессами связано с оптимизацией стратегии по их регулированию на отдельных временных этапах.

95

При этом, помимо математического описания процесса, должен быть сформулирован критерий качества функциониро­ вания, с помощью которого осуществляются оценки величин управляющих сигналов и вырабатывается оптимальная стра­ тегия управления.

В условиях использования метода динамического програм­

Принцип оптимальности, сформулированный американским математиком Р. Беллманом, состоит в том, что оптимальная стратегия в процессах управления обладает следующим свой­ ством: каковы бы ни были начальное состояние и принятое начальное решение, последующие решения должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, возникшего в результате первоначального решения.

Основной смысл динамического программирования заклю­ чается в том, чтобы сложную задачу многошагового управле­ ния свести к большому числу более простых задач на оптими­ зацию.

Методы динамического программирования используются в основном для решения задач оптимального управления си­ стемами с небольшим числом переменных. В частности, этими методами решаются задачи, связанные с согласованием имею­ щихся в распоряжении ресурсов с заранее поставленными це­ лями. К числу таких задач относится многоэтапное производ­ ственное планирование, распределение капиталовложений, наилучшее использование оборудования и др. В сложных си­ стемах методы динамического программирования использу­ ются в сочетании с другими способами комплексного управ­ ления.

В условиях многофакторности и сложности поведения уп­ равляемых комплексов имеется ряд способов, упрощающих нахождение оптимальных решений при выборе управляющих воздействий.

Наиболее универсальным способом определения экстре­ мума функции многих переменных при соблюдении дополни­ тельных требований и граничных условий является метод множителей Лагранжа, позволяющий выявить и определить взаимосвязи между локальными и глобальными целями функ­ ционирования системы. Множители Лагранжа определяют ве­ совое значение отдельных функциональных зависимостей в их

96

общей взаимосвязи, описывающей функционирование всей управляемой системы. Но при наличии сложных комплексов метод Лагранжа приводит к огромному объему вычислений. Часто его трудно реализовать даже в условиях современных быстродействующих ЭВМ.

При создании сложных систем приходится прибегать к по­

в условиях использования управляющих систем в режиме раз­ деления времени.

Классическая теория массового обслуживания рассматри­ вает задачи главным образом с многократным повторением однородных операций, необходимость в которых возникает в случайные моменты времени. Примерами таких процессов является обслуживание пассажиров городским транспортом, работа телефонной станции в удовлетворении запросов або­ нентов, обслуживание покупателей в магазине и т. д. В этих случаях образуется поток однородных событий, переработка которых определяется качеством функционирования соответ­ ствующей системы обслуживания.

Материальные затраты на создание систем лимитированы и поэтому одновременное выполнение операций по обслужи­ ванию потребителей ограничено.

Показатели, характеризующие качество систем массового обслуживания, связаны с некоторыми средними количествен­ ными величинами: длительность обслуживания, длина оче­ реди на обслуживание, среднедопускаемое время ожидания

ит. д.

Большинство такого рода реальных систем носит стахостический характер из-за наличия случайных неравномерностей элементарных операций. Поэтому требования к функциониро­ ванию систем массового обслуживания формулируются в тер­ минах статистических средних. Система массового обслужива­ ния оценивается входящим потоком требований на обслужи­ вание, которые могут носить равномерный или неравномерный (случайный) характер. В последнем случае анализ входящего потока можно осуществить с помощью теории вероятностей.

Системы массового обслуживания определяются канальным характером функционирования. Пропускная способность каж ­ дого канала определяется количеством заявок, которое может быть обслужено в единицу времени.

Существует три типа систем массового обслуживания: си­ стемы с отказами, с ожиданием и системы смешанного типа.

97

В первом случае при занятости канала обслуживания на тре­ бование потребителя следует отказ. Типичным примером такой системы является автоматическая телефонная станция, когда на вызов соответствующего номера абонента слышны частые гудки. Примером системы с ожиданием может служить оче­ редь покупателей в магазине. И, наконец, в качестве системы смешанного типа может быть рассмотрен аэропорт. Время ожидания самолета в воздухе перед посадкой ограничено. По истечении его он должен покинуть данный аэродром и отпра­ виться в другой пункт.

В качестве показателей работы систем массового обслужи­ вания могут быть приняты такие величины, как среднее время простоя каналов, средняя длина очереди, среднее время ожи­ дания, средний процент отказов и т. д. Эффективность работы таких систем определяется характером входящего потока тре­ бований, пропускной способностью каналов и их количеством. Если поток детерминирован, его характеристика полностью оп­ ределяется рекурентными зависимостями, позволяющими ус­ тановить текущие значения tj по предыдущим их значениям. Но детерминированные потоки заявок на обслуживание пред­ ставляют собой лишь частные случаи. При наличии случай­ ного потока однородных событий последний характеризуется свойством стационарности, наличием или отсутствием после­ действия и свойством ординарности.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления фиксированного числа событий за промежуток вре­ мени (т, ^ + т) зависит только от t и k. Это свойство определяет как бы постоянство режима работы системы.

Свойство отсутствия последействия связано с тем, что ве­

Свойство ординарности фиксирует невозможность одновре­ менного поступления на обслуживание двух или большего ко­ личества требований.

Простейший поток однородных событий, характеризуемый описанными выше свойствами, в большинстве случаев опре­ деляется законом распределения Пуассона.

Вероятность Pk(t) наступления k событий за интервал вре­ мени определяется в этом случае выражением

-XI

k y ' kl

08