книги из ГПНТБ / Слэйгл Д. Искусственный интеллект. Подход на основе эвристического программирования

282

П Р И Л О Ж Е Н И Е

STATEMENT: (ух) [MACHINE

(x)=î~ANIMAL

(л-)]1,

QUESTION: (ух) ANIMAL

(х),

ANSWER: NO, х =

Rob.]

Ответ показывает, что

~

AN I MAL

(Rob)

есть теорема.

Заметим,

что ответ N0

есть результат нахождения контр­

примера

для переменной

х под квантором

всеобщности.

1 Символ •—' означает отрицание

и соответствует знаку «ми­

нус» в основном тексте книги. — Прим.

ред.

В О П Р О С Н О - О Т В Е Т Н А Я П Р О Г Р А М М А (QA3)

283

11. STATEMEHT: (yz) Р(г,

f(z)),

вопрос

где / — некоторая

функция.

Мы

задаем

12.

QUESTION: (ух) Ш

Р(х,

у),

ANSWER: YES,

у =

/(*).

у,

Заметьте, что частная

реализация

найденная

при отве­

те на вопрос,

есть

функция

от х, указывающая на зави­

симость у от X. Предположим,

что вместо предложения

11

в QA3 введено другое предложение относительно Р.

Ответ

на вопрос

12 может быть таков:

ANSWER: N0,

х =

а,

где а — некоторый

частный

случай

х , служащий

контр­

примером.

Терм (или термы), яляющийся ответом, может быть

константой,

функцией,

переменной

или

некоторой

их

комбинацией.

Если

ответ

есть

константа

или

известная

функция, то смысл ответа

ясен.

Однако ответ может быть

торов

существования.

В этом случае ответом

является

объект,

существование

которого

утверждается

породив­

шим функцию Сколема

квантором

существования. Чтобы

должна выдать

входное

предложение,

которое привело

к

образованию

функцию

Сколема. Свободные

переменные

в

дизъюнктах соответствуют

переменным

под

квантором

всеобщности,

так что

если

ответ представляет собой

формуле и,

таким

образом, отвечает

на вопрос.

Имеются

еще два типа ответов: zNO PROOF

FOUND*

(«доказательство

не найдено»)

и

«IN SU FF ICI EN Т

INFORMATION-»

(«недостаточно

информации»).

Пред­

положим, что система доказательства

теорем не

сумела

дено. Ответ в этом случае будет: «N0

PROOF

FOUND*.

Предположим теперь, что

попытка доказательства

или опровержения оказалась

безрезультатной и без

превышения лимитов времени

или

памяти.

Поскольку

QUESTION: (gx) R (x).

Отрицание

вопроса

представляет

собой

дизъюнкт

( < ~

и

ни один из имеющихся в

памяти QA3

других

дизъюнктов не может с ним дать

разрешения.

Тогда

система

ответит:

ANSWER: INSUFFICIENT

INFORMATION.

3.2. Конструирование

ответов

Метод

резолюции

в доказательстве теорем

позволяет

означает, что

если,

например,

(зх)Р(х)

есть теорема, то

в

процедуре доказательства могут быть

найдены

термы

к,

4. ....

такие,

что Р((г)

\у P(l2)

V

••• V

P{Q

есть

теорема.

Приведем

прежде

всего несколько

примеров

построе­

В О П Р О С Н О - О Т В Е Т Н А Я П Р О Г Р А М М А (QA3)

285

Рассмотрим вопрос

QUESTION: (зу) ANIMAL

(у),

ANSWER

(у),

и мы получаем

выражение

[~ ANIMAL

(у) V ANSWER

(у)}.

Когда

С Л О Е О

ANIMAL

(х) разрешается

со

словом

r-~ANIM

AL

(у),

терм у принимает частное значение, по­

рождающее терм X. В новом дизъюнкте, полученном в ре­

зультате резолюции, аргументом предиката ANSWER

тог­

да будет X. В следующей резолюции

аргументом

преди­

ката ANSWER

становится

Smith. Приведем

полное

мо­

дифицированное

доказательство,

которое заканчивается

дизъюнктом

ANSWER (Smith).

1.

{г--ANIMAL

(у) V ANSWER

(у)}

Модифицированное

{~MAN

(х) V

ANIMAL

(х)}

отрицание сопроса

2.

Аксиома из памяти

3.

[~MAN

(х) V

ANSWER

(х))

Резолюция

1 и 2

4.

[MAN

(Smith))

Аксиома из памяти

5.

[ANSWER

(Smith))

«Противоречие»из

3 и 4 для у=Smith

Аргумент

предиката

ANSWER

есть

частный

случай

у,

а

именно

Smith,

что и требовалось доказать для

ответа

на

вопрос. QA3

выдает

В О П Р О С Н О - О Т В Е Т Н А Я П Р О Г Р А М М А (QA3)

287

чатанный ответ

имеет

вид

ANSWER:

YES,

x=f(y).

(1)

Пусть Р(и,

ѵ)

истинно, если и — человек,

находящийся

на работе,

au

— стол этого человека. Тогда

предложение

процессе преобразования

предложения

(yz) (3:0) P(z, w)

в дизъюнкт {P(z, /(г))).

О функции f{z)

можно говорить

нием смысла

в

терминах

дескриптивного

оператора

і

как <lw,

P(z,

w)»,

т. е. «такого w, что

P(z, w)», хотя w

не

обязательно

единственно.)

Вопрос

(уу)

(зх) Р(у,

х)

касается

того,

существует

ли для

каждого

человека

у

соответствующий стол.

От­

рицание

вопроса

(з</) (ух) ~

Р(у,

х)

постулирует,

что

существует

такой

человек,

что

для

всех х

неверно,

что

X — его стол. Функция

Сколема

Ь,

не имеющая аргумен­

нии дизъюнкта {~Р(Ь,

х)). Функция b есть, таким обра­

зом, внутреннее

имя, данное программой гипотетическо­

му человеку, «который не имеет стола».

Одношаговое

доказательство только устанавливает,

что b имеет стол, f{b).

Пользователь системы обычно не

288

П Р И Л О Ж Е Н И Е

видит внутреннего представления

дизъюнкта,

за исклю­

чением случаев, когда такая информация

специально

запрашивается. Если терм f(b)

входит в

ответный

дизъюнкт, выданный

пользователю, например

«YES,

x = f(b)y>, то символы /

и b будут с его точки зрения

ли­

шены смысла. Но программа помнит, что b соответствует

у,

ся

пользователю в виде

первоначального

предложения

(yz)

P[z, /(2)) .

[Другая

возможность состоит в том, что

используется

дескриптивный

оператор,

указывающий,

что /(2) есть ію, P(z, w).]

Как

правило, пользователь пом­

бовать

выдачи

ответного

предложения.

Рассмотрим

вывод ответа на вопрос Q из

набора

ак­

сиом В — [Ви

В2,

Вь). Из

В

логически

вытекает Q

тогда и только тогда, когда

В A

~ Q

не

выполнимо.

Предложение

В A

может

быть

записано в

предва­

рительной форме

PM(Y,

X),

где

Р—кванторная

при­

ставка,

M(Y,

X)

— матрица,

Y

— [уи

уг,

уи)

—

ществования,

а X = {хг,

х2,

хе\ — множество пе­

ременных, стоящих в Р

под квантором

всеобщности.

Устраняя

кванторную

приставку

Р

введением функ­

ции Сколема при замене кванторов

существования и опу­

ская кванторы всеобщности, получаем формулу M(U,

X).

Здесь U множество термов [ии иг,

«„}, так что

для

множество

U =

{ н ь іы,

и,,}

термов функции

Сколема

в 5. Найдем в F0 один частный случай, скажем и\ терма в

U. Выберем символ г-, который не входит в F-.

Заменив

каждое

вхождение

иг в F0

на zx,

получим

предложение

FТеперь

снова

применим эту

процедуру к Fx и, под­

ставляя

новую переменную в Fx

повсюду там, где имеется

другая частная

реализация

терма функции Сколема в

Flt

получим F-. Этот процесс может быть продолжен до тех

пор,

пока

для

некоторого

числа

п не останется

больше

ни одной частной реализации терма из U в

Fn.

Предложение F: для 0 ^

і ^

п невыполнимо

по сле­

дующим

причинам.

Рассмотрим любые два вхождения атомарных формул,

скажем та

и mb,

в FQ. Если іпа

и іпь из F-

тождественны,

то соответственно и две преобразованные

атомарные фор­

мулы

та1

и тьх

в F-

будут

тождественны.

Если

та

и ть

нетождественны, то та1

и тЬ1

также будут нетождест­

венны. Таким образом,

F-

должно иметь

ту

же истин­

ние), что и F0. Это свойство сохраняется на каждом

шаге

построения, так что каждое из предложений F-,

F-,

Fn

должно быть с учетом функции истинности

невыпол­

посредственно при подстановках, т. е. для каждого

пред­

ложения

Fh

0 < і < п, существует

подстановка о',-, та­

кая, что Ft

=

La,. Мы докажем это, показав, как строит­

ся такая подстановка at.

Пусть а0

=

ХѲ = {tx/vi,

t-/v2,

tplVp).

По

определению,

F- = La0.

Пусть

t}

обозна­

чает терм,

образованный

заменой

каждого

вхождения

и[ в tj на Zx. Подстановка

аг

= \t\hx,

t'Jv2,

t'p/vp)

в L

дает Fx, т. е. Fx = La х- Подобным же образом

конструи­

руется о-,- и методом полной математической

индукции

показывается,

что Ft = La;

для 0 <

і < п.

Рассмотрим внутреннюю структуру F-. Допустим, что

5 = M(U, X) образуется следующим образом.

Аксиомы

могут быть представлены как PBB{YBXB),

где Рв

— кван-

торная приставка, Yв — множество переменных,

стоящих